21.3特殊的平行四边形阶段培优测 2025-2026学年人教版八年级数学下册

特殊的平行四边形阶段培优测 [时间: 45分钟分值: 100分] 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.[2025 成都]下列命题中，假命题是 ( ) A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直 C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O,B的坐标分别是(0,0),(2,0),则顶点 C的坐标是 ( ) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1) 3.如图,AC是矩形ABCD 的对角线,分别以点A,C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧交于点E,F,直线EF交AD 于点M,交BC于点N,若AM=8,DM=2,则边AB的长为 ( ) A.6 B.10 C.2 D. 4.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.小陶家有一个菱形的中国结装饰，其示意图如图所示,测得 BD=12 cm,AC=16 cm,直线 EF⊥AB交两对边于点 E,F,则 EF的长为 ( ) A. B. C. D. 5.如图,在正方形 ABCD 和正方形 CEFG中,点 D在CG上,BC=1,CE=3,H是 AF的中点,那么CH的长是 ( ) A.2.5 B. C. D.2 6.如图,在菱形ABCD中,AB=2,AE⊥BC于点 E,点F,G分别是AB,AD的中点,连接 EF,FG,若∠EFG=90°,则 FG的长为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题6分，共24分) 7.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°,点 E 在 BC 边上,将菱形纸片 ABCD 沿 DE折叠，点C对应点为点 C'，且 DC'是AB的垂直平分线，则∠DEC的度数为 . 8.[2025北京]如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在边CD上,CF⊥BE,垂足为 F.若 AB=1,∠EBC=30°,则△ABF的面积为 . 9.在矩形 ABCD 中，M为对角线BD的中点,点 N在边AD上,且AN=AB=1.当以点 D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 . 10.[2025 镇江期中]如图,正方形 ABCD 的边长为2,点 E从点 C出发，沿边 CD 的方向向点 D 移动，同时点 F 从点 D 出发，沿边 DA 的方向以相同的速度向点 A 移动,AE,BF 相交于点 O.点 M是边 AD 的中点，连接OM，则 OM 的最小值是 . 三、解答题(共40分) 11.(10分)如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,分别连接 BE,DF,BD. (1)求证:△AEB≌△CFD. (2)当△ABD满足什么条件时,四边形 EBFD 是菱形?请说明理由. 12.(14分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD相交于点 O. (1)尺规作图：在菱形ABCD的边AD上方找一点E，使得△AED≌△BOC;(不写作法,保留作图痕迹); (2)判断四边形 AODE的形状，并给出证明. 13.(16分)在正方形 ABCD中,E,F分别是 BC,CD上的点,AE,BF相交于点 P,并且AE=BF. (1)如图①,判断 AE 和 BF 的位置关系,并说明理由. (2)若AB=8,BE=6,则 BP的长度为 . (3)如图②,FM⊥DN,DN⊥AE,点 F 在线段 CD上运动时(点 F 不与点 C,D 重合),四边形 FMNP能否成为正方形?请说明理由. 一、1. D 2. C 3. D 4. C 5. B 【点拨】连接AC,CF,如图.∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形,∴∠ACD=45°,∠FCG=45°, 3.∴∠ACF=90°. 在 Rt△ACF中， 2.∵H是AF的中点,∴CH= 6.A 【点拨】如图,连接 BD 交AC 于点O.∵四边形AB-CD是菱形,∴AC⊥BD,AB=BC.∵点 F,G分别是AB,AD的中点， ∴GF⊥EF.∴BD⊥EF.∵AC⊥BD,∴EF∥AC.由 F为AB 的中点,可得 E 为 BC 的中点.∴BE = EC.又∵AE⊥BC,∴AB=AC=BC.∴△ABC是等边三角形.∵AB=AC=2,∴OA= AC= 且 二、7.75°【点拨】连接 BD,设 C'D 与AB 的交点为P,如图所示.∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴AB∥CD,∠C=60°.∵DC'是AB 的垂直平分线,∴∠APD=90°.∴∠PDC=90°.由折叠的性质得到 ∠CDE=∠PDE=45°.在△DEC 中,∠DEC = 180°-(∠CDE+∠C)=75°. 8. 【点拨】如图,过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足为M,N,连接AM,则∠FMC=90°.∵四边形AB-CD为正方形,∴∠ABC=90°,AB=BC.∴∠ABC=∠FMC.∴AB∥FM.∴FN=BM.∵S△ABF= AB·FI AB=1=BC,∠EBC=30°, ∴∠BFC=90°,∠BCF= 9.2或 【点拨】以点 D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图①，当∠MND=90°时.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∴MN∥AB.由M为对角线BD 的中点可得 AN=DN.∵AN=AB=1,∴AD=2AN=2; ②如图②,当∠NMD=90°,即 MN⊥BD时,连接 BN.∵M为对角线BD的中点,∴BM=DM.∴MN 垂直平分 BD.∴BN=DN.∵∠A=90°,AB=AN=1,∴DN=BN=.∴AD=AN+DN=1+综上所述，AD 的长为2 或 【点拨】由题意得 CE=DF.∵四边形 ABCD为正方形,∴AB=AD=CD=2,∠BAF=∠ADE=90°.∴AD-DF=CD-CE,即AF=DE.∴△ABF≌△DAE(SAS). ∴∠DAE = ∠ABF. ∵∠DAE +∠BAE=90°,∴∠BAE+∠ABF=90°.∴∠AOB= .如图,取AB的中点 N,连接 NO,MN, 则 为AD的中点， 根据三角形三边关系可知 OM≥MN- 的最小值为 三、11.(1)【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C,AD=BC,AB=CD. ∵点 E,F分别是AD,BC的中点, ∴△AEB≌△CFD(SAS). (2)【解】当△ABD满足∠ABD=90°时,四边形 EBFD是菱形.理由如下： 易得BF=DE,BF∥DE, ∴四边形 EBFD是平行四边形. ∵∠ABD=90°,点 E 是AD 的中点, 平行四边形 EBFD是菱形. 12.【解】(1)如图,△AED 即为所求. (2)四边形 AODE 为矩形.证明如下： ∵四边形 ABCD为菱形， ∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. ∴∠AOD=90°. ∵△AED≌△BOC,∴AE=BO,DE=OC. ∴AE=DO,DE=AO. ∴四边形 AODE 为平行四边形. ∵∠AOD=90°, ∴四边形 AODE为矩形. 13.【解】(1)AE⊥BF.理由如下: ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°. 又∵AE=BF, ∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL). ∴∠BAE=∠CBF. ∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°. ∴∠BPE=90°,即AE⊥BF. (2)4.8 【点拨】在 Rt△ABE中,AB=8,BE=6,根据勾股定理得 (3)四边形 FMNP 不能成为正方形，理由如下：由(1)知AE⊥BF,∴∠APF=∠APB=90°. ∵FM⊥DN,DN⊥AE, ∴∠FMN=∠MNP=∠MNA=90°. ∴四边形 FMNP 是矩形. ∵∠BAP + ∠NAD = ∠NAD + ∠ADN = 90°, ∴∠BAP=∠ADN. 又∵∠APB=∠MNA=90°,易知AB=AD, ∴△BAP≌△ADN.∴AN=BP. ∵AE=BF,∴AE-AN=BF-BP.∴EN=PF. ∵点 F 在线段CD 上运动且点 F 不与点 C，D重合， ∴点 P,E不重合.∴PN≠PF. ∴四边形FMNP不能成为正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $