精品解析：浙江省稽阳联谊学校2026届高三下学期4月联考数学试题

2026年4月稽阳联谊学校高三联考 数学试题卷 命题人：诸暨中学 张焕萍 柯桥中学 许柏祥 嵊州中学 张小川 审题人：诸暨中学 吕丹 考生须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】先求解集合，解不等式，因式分解得，解得，即. 已知，根据交集定义得. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 70 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为，令得， 故，故系数为70． 3. 已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先由抛物线的标准方程得到，再利用抛物线的定义进行求解. 【详解】因为抛物线的标准方程为， 所以，，准线方程为， 因为是上一点，，， 所以，解得． 故选：B． 4. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 5. 已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 2026 【答案】C 【解析】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数的图象关于直线对称. 所以， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数，. 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. 1025 B. 1023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 7. 某无人机在风速为的西风（西风是从西面吹来的风）中，以的航速沿北偏西方向飞行，则当无风时无人机的航速和航向为（ ） A. 航速为，方向为北偏西 B. 航速为，方向为北偏西 C. 航速为，方向为北偏西 D. 航速为，方向为北偏西 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的实际应用，结合解直角三角形，表示出无风航速向量，最后求出航速和航向. 【详解】设表示风速，表示有风时无人机的航速，表示无风时无人机的航速，如图所示． 由题，，， ，故， 又， 所以，在直角中，，则， 故航速为，方向为北偏西． 8. 已知函数在内恰好有2027个零点，则实数与正整数的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】法1：参变分离，结合函数的周期，奇偶性，只需研究时，图象与的交点情况即可，从而求出实数与正整数的值； 法2：换元，由根的个数，结合根的判别式，得到答案 【详解】法1：当，即时，此时，方程不成立， 因而可等价于，． 令，．显然函数的最小正周期为，且为奇函数， 故研究在时，图象与的交点情况即可． 由，故为图象的一条对称轴， 由复合函数的单调性可知，在区间上单调递增，且值域为． 在区间上单调递减，且值域为． 因为为奇函数，故当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 因而在一个周期上， 当时，图象与在上无交点，在上有2个交点； 当时，图象与在上有2个交点，在上没有交点； 当时，图象与在与上均有2个交点； 由函数的周期性可知，当时，图象与在上总有偶数个交点， 从而不存在正整数，使得图象与在内恰有2027个交点． 又当或时，图象与在上有3个交点， 由周期性，所以有2025个解， 因而在必须有2个解，所以，． 法2：，令， 则．．故有两个根， 设为，，则， 在内恰好有2027个零点， 因为为奇数，所以为奇数，中有一个根为， 且，故需有两个根， 需，，满足要求， 此时时可产生3个根，故， 将代入得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C. 决定系数越小，模型的拟合效果越好 D. 样本相关系数越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】AB 【解析】 【分析】由正态分布的性质判断A；由残差平方和的意义判断B；由决定系数的意义判断C；由样本相关系数的意义判断D. 【详解】对于A，因为随机变量， 由正态分布的性质可得，故A正确； 对于B，残差平方和是指每个样本点的残差的平方和，残差平方和越小，说明模型对数据的预测值与实际值的偏差越小，拟合效果越好，故B正确； 对于C，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故C错误； 对于D，样本相关系数越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误. 10. 设函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 在区间上单调递增 B. 函数是奇函数 C. 直线与曲线的公共点个数不相等 D. 直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出单调区间及极值判断AC；利用奇函数定义判断B；构造函数并利用导数确定单调性，结合零点存在性定理判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，当时，，函数在上单调递减，A错误； 对于B，， 令函数，其定义域为R，， 函数是奇函数，B正确： 对于C，由，得或，函数在上单调递增， 在上单调递减，则，， 又，因此直线与曲线的公共点个数分别为3和2，C正确； 对于D，由消去得，， 令函数，求导得， 当且仅当时取等号，函数在R上单调递增， ， 函数有唯一零点，因此直线与曲线有且仅有一个公共点，D正确. 11. 已知四面体的内切球球心为，棱，的中点分别为，，若，，三点共线，则（ ） A. 点到的距离等于点到的距离 B. 无法确定，的面积大小关系 C. ，且 D. 四面体的外接球球心恒在直线上 【答案】ACD 【解析】 【详解】为内切球球心， 到面和面距离相等． 在上， ． ，， 所以到面的距离与到面距离相等，即． ， ． 是两三角形的公共边， 、到的距离相等，同理、到的距离也相等，故A正确，B错误. 下证为、的公垂线． 设、在上的射影分别为、． 由，故可以认为、是在以为轴，以为半径的圆柱面上． 过的中点作平面与轴垂直，则这个平面平分线段，因此，这个平面过点． 设在圆柱上底面的射影为，则在上底面的射影为的中点． 因为，， 所以． 于是面，． 这说明是和的公垂线，即和的公垂线经过的中点． 同理，它们的公垂线也经过的中点．即为它们的公垂线，故正确. 下证的中垂面与相交． 否则，． 过分别作平面与垂直，则，，， 注意到，，，从而，，这与矛盾． 于是的中垂面与相交． 设中垂面与交于点，则． 又为的公垂线且、分别为、的中点，所以，． 故，即为四面体外接球的球心，且在上．故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 13. 已知等比数列的首项为2，若，，成等差数列，则的前项和为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等差中项求公比，根据等比数列前项和即可求解. 【详解】，，为等差数列， 则， 得或1， 所以或, 则或． 14. 已知双曲线，左顶点为，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，（在的上方），设点，，在轴上的投影分别为，，，直线平分，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，根据题意可用，，的纵坐标表示角度之间的关系，联立切点弦方程与双曲线方程，根据韦达定理可得到之间的关系，进而求解. 【详解】设，，，如图： 由题意知，，，， 因为在的上方，所以， 所以，，， 因为直线平分，所以， 所以，即， 所以，代入相应数据得， 整理得；① 因为切点弦的方程为，即， 联立切点弦与双曲线的方程得， 消去x得，所以， 代入①式得，所以，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合正弦定理化简运算得解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式列式求解； （3）由前面所得结合正弦定理求得，进而由平方关系求得，利用两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得 ， ，又，则，得， 由，故. 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理，则． ，，又，解得，. 【小问3详解】 因为，，，由正弦定理得，且，则为锐角，故， 故. 16. 某中学数学竞赛培训共开设有代数、平面几何、数论、组合四门课程，要求代数、平面几何都要合格，且数论和组合至少有一门合格才能取得参加数学竞赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立． 课程 代数 平面几何 数论 组合 合格的概率 （1）若已知甲同学取得参加数学竞赛的资格，求甲同学四门课程都合格的概率； （2）记X表示三位同学中取得参加数学竞赛的资格的人数，求X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 数学期望为【解析】 【小问1详解】 分别记甲对这四门课程考试合格为事件，，，，则事件，，，相互独立． 记“甲同学取得参加数学竞赛的资格”为事件，则 ， 记“甲同学四门课程都合格”为事件，故所求概率为． 【小问2详解】 由题意知，的所有可能取值为，，，，． 所以的分布列为 0 1 2 3 故．（或） 17. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形． （1）设为与的交点，在棱上，且． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）设是棱（不含端点）上一个动点，若平面与平面的夹角的余弦值是，求线段的长度． 【答案】（1）（ⅰ）证明如下： ，， ， ，， ， 平面，平面， 平面． （ⅱ）； （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由题意可得，从而可得，由线面平行的判定定理即可得证明； （ⅱ）取的中点，连接，由题意可得，由面面垂直的性质定理可得平面，根据，求解即可； （2）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， ； 【小问2详解】 取的中点，因为平面，所以， 所以，，两两垂直， 所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 所以，， 设平面的法向量为． 由，得，取， 即． 设，， 则， 同理：平面的法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，解得， 所以． 故线段的长度为． 18. 已知椭圆的左焦点为，直线，动点到的距离与到直线的距离相等． （1）求点的轨迹方程； （2）过点作斜率分别为，的直线，，且交于，两点，交于，两点，若直线平行于直线（，均在的右侧）． （ⅰ）证明：． （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：如图，作出符合题意的图形， 法一：设直线，， 直线，，联立方程组， 得，得到， 联立方程组，得， 得到， ，，得到， 所以， 故，， 令，，可得， 得到，． 法二：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 根据焦半径公式得，可得， 而，得到， ，，得到， 则 ，得证． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合题意列出等式，进而化简得到方程即可. （2）（ⅰ）法一联立方程组得到和，再结合平行线的性质得到，进而结合换元法得到，最后证明结论，法二利用焦半径公式得到，，再结合平行线的性质得到，最后证明目标结论即可，（ⅱ）结合题意将目标式用一元函数表示出来，再求出自变量范围，最后求出目标式取值范围即可. 【小问1详解】 设，设点到直线的距离为， ，椭圆的左焦点为的坐标为， ，化简得． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由已知得，， 而， ， 结合图形可得，则， ，得，相似于， 得，令，由，得． 又，而 ，所以， 解得，． 19. 已知函数． （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）设正数满足，证明：． 【答案】（1） （2）证明如下： 由（1）知，取，则成立， 所以，，， 以上个式子累加得． 右边得证； 令，在处的切线方程为， 构造函数，则， 当时，，所以在上单调递减， 同理，在上单调递增， 所以，即， 所以，，， 所以， ，， 累加可得 ，左边得证. 综上，可得证． 【解析】 【分析】（1）分离参数a后构造函数，利用导数研究所构函数的单调性即可； （2）由（1）知，取，可得到一个不等式，进而可证右边不等式，令，在处的切线方程为，构造函数，利用导数研究的最值，可得到一个不等式，通过累加法可证左边不等式. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以. 令，则， 所以在上单调递增，且当时，，则， 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月稽阳联谊学校高三联考 数学试题卷 命题人：诸暨中学 张焕萍 柯桥中学 许柏祥 嵊州中学 张小川 审题人：诸暨中学 吕丹 考生须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 70 D. 56 3. 已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 2026 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. 1025 B. 1023 C. D. 7. 某无人机在风速为的西风（西风是从西面吹来的风）中，以的航速沿北偏西方向飞行，则当无风时无人机的航速和航向为（ ） A. 航速为，方向为北偏西 B. 航速为，方向为北偏西 C. 航速为，方向为北偏西 D. 航速为，方向为北偏西 8. 已知函数在内恰好有2027个零点，则实数与正整数的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C. 决定系数越小，模型的拟合效果越好 D. 样本相关系数越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越强 10. 设函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 在区间上单调递增 B. 函数是奇函数 C. 直线与曲线的公共点个数不相等 D. 直线与曲线有且仅有一个公共点 11. 已知四面体的内切球球心为，棱，的中点分别为，，若，，三点共线，则（ ） A. 点到的距离等于点到的距离 B. 无法确定，的面积大小关系 C. ，且 D. 四面体的外接球球心恒在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知等比数列的首项为2，若，，成等差数列，则的前项和为______． 14. 已知双曲线，左顶点为，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，（在的上方），设点，，在轴上的投影分别为，，，直线平分，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 某中学数学竞赛培训共开设有代数、平面几何、数论、组合四门课程，要求代数、平面几何都要合格，且数论和组合至少有一门合格才能取得参加数学竞赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立． 课程 代数 平面几何 数论 组合 合格的概率 （1）若已知甲同学取得参加数学竞赛的资格，求甲同学四门课程都合格的概率； （2）记X表示三位同学中取得参加数学竞赛的资格的人数，求X的分布列及期望． 17. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形． （1）设为与的交点，在棱上，且． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； （2）设是棱（不含端点）上一个动点，若平面与平面的夹角的余弦值是，求线段的长度． 18. 已知椭圆的左焦点为，直线，动点到的距离与到直线的距离相等． （1）求点的轨迹方程； （2）过点作斜率分别为，的直线，，且交于，两点，交于，两点，若直线平行于直线（，均在的右侧）． （ⅰ）证明：． （ⅱ）求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）设正数满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $