各类考试题中常见指数函数模型的应用专项训练-2026届高三数学二轮专题复习

各类考试题中常见指数函数模型的应用原题 1．随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（   ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 2．Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A． B． C． D． 3．某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（   ） （参考数据：，，） A．4个月 B．5个月 C．6个月 D．7个月 4．2023年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔•阿戈斯蒂尼，费伦茨•克劳斯和安妮•吕利耶三位科学家，以表彰他们在阿秒脉冲领域的开创性贡献．已知1阿秒秒，光速约为米／秒，现有一条1米长的线段，第一次截去总长的，以后每次截去剩余长度的，要使其剩余长度小于光在1阿秒内走的距离，至少需要截（参考数据：）（    ） A．13次 B．14次 C．15次 D．16次 5．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 6．纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x(每单位代表4年)与剩余电池容量占比在某阶段(剩余电池容量占比)近似满足如下函数关系式．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（    ）（参考数据：，，） A．48年 B．68年 C．76年 D．80年 7．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小正整数值为（    ）（参考数据） A．5 B．7 C．9 D．10 8．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（    ）（参考数据：，） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了360mg，在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度下降，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）（参考数据：，） A．13小时 B．11小时 C．12小时 D．10小时 10．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 12．为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 学科网（北京）股份有限公司 $ 各类考试题中常见指数函数模型的应用原题 1．随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（   ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 2．Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A． B． C． D． 3．某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（   ） （参考数据：，，） A．4个月 B．5个月 C．6个月 D．7个月 4．2023年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔•阿戈斯蒂尼，费伦茨•克劳斯和安妮•吕利耶三位科学家，以表彰他们在阿秒脉冲领域的开创性贡献．已知1阿秒秒，光速约为米／秒，现有一条1米长的线段，第一次截去总长的，以后每次截去剩余长度的，要使其剩余长度小于光在1阿秒内走的距离，至少需要截（参考数据：）（    ） A．13次 B．14次 C．15次 D．16次 5．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 6．纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x(每单位代表4年)与剩余电池容量占比在某阶段(剩余电池容量占比)近似满足如下函数关系式．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（    ）（参考数据：，，） A．48年 B．68年 C．76年 D．80年 7．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小正整数值为（    ）（参考数据） A．5 B．7 C．9 D．10 8．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（    ）（参考数据：，） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了360mg，在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度下降，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）（参考数据：，） A．13小时 B．11小时 C．12小时 D．10小时 10．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 12．为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 各类考试题中常见指数函数模型的应用解析讲义 在考试问题设置和各类考试题中，指数函数模型常用于描述那些随时间快速递增或递减的现象；以下是一些常见的应用领域和对应的模型类型：人口增长或减小模型，放射性衰变模型，复利计算模型，学习效应或技能掌握模型，化学反应速率模型，环境问题模型及一些综合数学题等问题中的应用. 1．随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（   ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 1.C 设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，由题意得，两边同时取对数，得，即，即，所以秒.故选C. 点评：本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算及对数的运算性质的应用，考题涉及指数函数型的应用．根据处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，可得到，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 2．Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A． B． C． D． 2.B 根据题意，，当时，，代入公式，得；所以当时，．故选B． 点评:本题主要考查对数的运算性质的应用及指数函数模型的应用；通过由，，确定容量的值，尽管容量的数值比较复杂，但利用整体代换的思想将的数值代入式中计算是解题的突破口，进而利用对数恒等式可使问题获解. 3．某实验室新型AI处理器的算力每月提升10%，传统处理器的算力每月衰减5%．若初始二者算力相同，则当新型处理器算力是传统处理器的2倍时，大约需要经过（   ） （参考数据：，，） A．4个月 B．5个月 C．6个月 D．7个月 3.B 设经过个月，新型AI处理器算力是传统处理器的2倍．若初始算力均为，则，整理得，两边取常用对数，得，所以大约需要经过5个月．故选B. 点评：本题考查指数函数模型的应用，根据题意得出方程是解题的关键所在,再通过取对数的方法解指数方程即得. 4．2023年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔•阿戈斯蒂尼，费伦茨•克劳斯和安妮•吕利耶三位科学家，以表彰他们在阿秒脉冲领域的开创性贡献．已知1阿秒秒，光速约为米／秒，现有一条1米长的线段，第一次截去总长的，以后每次截去剩余长度的，要使其剩余长度小于光在1阿秒内走的距离，至少需要截（参考数据：）（    ） A．13次 B．14次 C．15次 D．16次 4.B 据题意可知，光在1阿秒内走的距离为米，截次后，剩余的长度为米，所以，解得，所以至少需要截14次，故选B． 点评：本题考查指数函数模型的应用，考查对数的运算性质的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化等数学运算能力和逻辑推理能力；首先求出光在1阿秒内走的距离，又截次后，剩余的长度为米，依题意得出是解题关键，再根据指数与对数的关系、对数的运算性质及换底公式计算可得结果. 5．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 5.C 根据题意由可得，两式相除可得，即可得，两边同时取对数可得，即可得；即.故选C. 点评：本题考查对数的运算性质的应用和指数函数模型的应用；利用给定函数模型解决实际问题，通过利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数的值. 6．纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x(每单位代表4年)与剩余电池容量占比在某阶段(剩余电池容量占比)近似满足如下函数关系式．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（    ）（参考数据：，，） A．48年 B．68年 C．76年 D．80年 6.B 因为，令，则，所以,所以.，所以该电池大约使用了年.故选B. 点评：本题考查指数函数模型的应用，通过利用给定函数模型解决实际问题，涉及指数式与对数式的互化及对数的运算性质的应用，根据函数关系式，令，求得相应的，即可计算出该电池的使用时长. 7．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小正整数值为（    ）（参考数据） A．5 B．7 C．9 D．10 7.B 当时，由，所以，由，得，，所以的最小整数值为.故选：B 点评：本题考查用给定的指数函数模型解决实际问题，利用对数运算性质化简和对数函数的单调性解不等式；根据已知条件求得的值是解题的突破口，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小正整数值. 8．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（    ）（参考数据：，） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 8.C 设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元，因为该市年全年用于垃圾分类的资金为万元，每年投入的资金比上一年增长，所2019年后第年该市全年用于垃圾分类的资金为，由已知，所以，两边取常用对数可得，又，，所以.所以后第年，即年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元.故选C. 点评：本题考查指数函数模型的应用及对数运算性质的应用；通过设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元，结合等增长率模型列出不等式计算即可得结论. 9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了360mg，在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度下降，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）（参考数据：，） A．13小时 B．11小时 C．12小时 D．10小时 9.A 设至少需要等待小时，依题意可得，则，两边取对数得，即小时，所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，至少需要等待13小时.故选：A． 点评：本题考查指数函数模型的应用和对数运算性质的应用；通过依题意列出不等式，再由对数运算法则化简变形，代入参考数据计算可求得所需结果. 10．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.C 令，则，由指数函数性质知：在上单调递减．根据复合函数“同增异减”，在上单调递增，则在上单调递减．二次函数的对称轴为，单调递减区间为，故，即．故选C. 点评：本题考查复合的单调性、指数函数的单调性及二次函数的单调性；最后通过函数的单调性求解参变量的取值范围. 11．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 11.A 由于，把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，再向左平移1个单位长度得到函数的图象.故选A. 点评：本题考查指数函数的图象变换，涉及图形的伸缩变换和平移变换；对于图形的伸缩变换，可仿照对比三角函数的图象变换来识别和判断就会容易做对，例如:将函数的图象上的所有的点保持纵坐标y不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象. 12．为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）12.B 对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，知A错误；对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，知B正确；对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，知C错误；对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，知D错误.综上，故选B. 点评：本题考查指数函数图像的应用和函数图象的伸缩变换；法2，令将其图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得函数的图象，结合题意知选项B正确，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $