精品解析：陕西韩城市象山中学2025-2026学年度第二学期培优部高二数学期中考试试题

培优部高二数学期中考试试题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）. 1. 已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ） A. 13 B. C. 3或 D. 或13 2. 的展开式的第4项的系数是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 4. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 5. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 若，则函数的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1011 B. 1022 C. 1033 D. 1044 8. 已知数列的前项和为，且，则　　 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 点的坐标为 C. D. 三角形的面积为（为坐标原点） 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ . 13. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则_____. 14. 已知直线是曲线与的公切线，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数； （1）求曲线在点的切线方程． （2）求曲线过点的切线方程． 16. 设是数列的前项和，已知. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. （1）设函数f（x）＝（3x2+x+1）（2x+3），求f′（x），f′（﹣1）； （2）设函数f（x）＝x3﹣2x2+x+5，若f′（x0）＝0，求x0的值； （3）设函数f（x）＝（2x﹣a）n，求f′（x）． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正切值. 19. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优部高二数学期中考试试题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）. 1. 已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（ ） A. 13 B. C. 3或 D. 或13 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项得到，根据等比中项得到，计算得到答案. 【详解】a是4与6的等差中项，故， b是与的等比中项，则，则，或. 故选：D 2. 的展开式的第4项的系数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】二项展开式通项为：，所以第4项为：，其系数为. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 4. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即可. 【详解】由题意得，则， 得到曲线在点处的切线的斜率是3，故B正确. 故选：B 5. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次计算即得. 【详解】数列中，， . 故选：B 6. 若，则函数的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得，令，得到关于的方程，解方程求得即可. 【详解】由，得，即，解得， 则，所以函数的函数关系式为：； 故选：B. 7. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1011 B. 1022 C. 1033 D. 1044 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，分别求出和的通项公式，再求出的通项，并利用分组求和法求解即得. 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列，得， 因此，所以. 故选：C 8. 已知数列的前项和为，且，则　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列递推关系：时，，解得；时，．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】，时，，解得；时，， 化为：． 数列是等比数列，公比为2． ，． 则． 故选：A． 【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】当，求出，当时，，进而判断选项A；令判断选项B；令判断选项C；根据的表达式求解最值，判断选项D. 【详解】当，， 当时，， 则，，则满足题意，故，故选项A正确； ，故选项B正确； 当时，，故选项C错误； ， 当时，取最大值，但是，所以当时，取最大值，故选项D正确； 故选：ABD 10. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 点的坐标为 C. D. 三角形的面积为（为坐标原点） 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求的准线方程，再求焦点的坐标为，接着求出，，中位线，最后求出，即可得到答案. 【详解】如图，不妨设点位于第一象限， 设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点. 由抛物线的解析式可得准线方程为， 点的坐标为，则，， 在直角梯形中，中位线， 由抛物线的定义有，结合题意，有， 故，，. 故选：ACD. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题. 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ . 【答案】5 【解析】 【分析】利用韦达定理，可得，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可. 【详解】因为与是方程 的两个根，所以， 因为为正项等比数列，所以， 所以， 故答案为：5. 13. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以，所以，所以， 直线的斜率为，因为，所以， 故答案为：. 14. 已知直线是曲线与的公切线，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】分别求导，然后设出切点坐标，表示出切线方程，然后用待定系数法即可求解. 【详解】对曲线求导得：，对曲线求导得：， 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为：，即：； 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为： ， 即： 因为是公切线，所以 化简得：，即：，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数； （1）求曲线在点的切线方程． （2）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【小问1详解】 由题可得，切点为点，所以所求切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，则所求切线斜率为， 当时，所求切线切点为，斜率为4， 则所求切线方程为，即. 当时，所求切线切点为，斜率为， 则所求切线方程为，即. 综上，曲线过点的切线方程为或. 16. 设是数列的前项和，已知. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）由①， 所以，当时，， 解得. 当时，，② ①式减去②式，得 . 所以， 又因为， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式，可得，再两边同时除以即可证明为等差数列． （2）先求得数列的通项公式，代入得数列的通项公式．再由分组法分别求得两个部分的和，即可求得数列的前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，即. 所以 . 所以 . 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，等差数列的证明，分组求和法的应用，考查内容丰富，属于中档题． 17. （1）设函数f（x）＝（3x2+x+1）（2x+3），求f′（x），f′（﹣1）； （2）设函数f（x）＝x3﹣2x2+x+5，若f′（x0）＝0，求x0的值； （3）设函数f（x）＝（2x﹣a）n，求f′（x）． 【答案】（1）f′（x）＝18x2+22x+5，f′（﹣1）＝1；（2）x0＝1或；（3）f′（x）＝2n（2x﹣a）n-1. 【解析】 【分析】（1）先展开函数解析式，用和的导数法则和幂函数的导数公式求导函数，再代入﹣1求函数值． （2）用和的导数法则和幂函数的导数公式求导函数，代入得方程解二次方程求值． （3）用复合函数的导数法则求导函数． 【详解】（1）f（x）＝6x3+11x2+5x+3， ∴f′（x）＝18x2+22x+5，f′（﹣1）＝1； （2）∵f（x）＝x3﹣2x2+x+5， ∴f′（x）＝3x2﹣4x+1 由f′（x0）＝0得：3x02﹣4x0+1＝0，解得：x0＝1或； （3）. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正切值. 【答案】（1） 因为底面，且面，所以， 因为底面是正方形，所以， 又，、面，所以面， 又面，所以 因为，所以且， 所以是等腰直角三角形，又是斜边的中线，所以， 又，、面，所以面， 因为面，所以， 因为，又，、面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直证线线垂直，再证线面垂直，接着利用等腰直角三角形性质得线线垂直，继续证线面垂直，最后结合两条线线垂直证出线面垂直 （2）方法一：由线面垂直确定二面角平面角，设边长计算线段长度，利用面积法求高，结合线面垂直得直角三角形，通过三角函数求角大小，最终算出面面角正切值.方法二：先以 为原点，结合、、两两垂直的条件建立空间直角坐标系，确定各点坐标；再分别求出平面 与平面 的法向量，利用法向量夹角公式计算夹角余弦值；最后根据夹角为锐角，求出夹角正切值，得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 由（1）可知，又 ， 面 ， 面 ， 面 面 ，故是平面与平面的夹角. 假设，则. 在中，，， ， 又面，因为面，所以， 在中，. 所以，所以. 所以平面与平面的夹角的正切值为. 方法二： 由题可知 、、 两两垂直. 以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设 . 则 ，，，. 设面 的法向量为 ， 则 ，， ，，即.令 ，则可知 ， 设面 的法向量为 ， ，， ，，即令 ，则 ， 设面 与面 夹角为 . ， 由图可知 为锐角，所以，. 所以平面与平面的夹角的正切值为. 19. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． 【小问2详解】 解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $