精品解析：四川成都市邛崃市第一中学校等校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

高二期中试卷数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 17 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 过点与曲线相切的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知数列满足，，数列的前项和为，若恒成立，则M的最小值为（ ） A. 不存在 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为数列的前项和，，下列结论正确的是（ ） A. 若为等差数列且，则 B. 若，则数列为等差数列且公差为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 10. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，则（ ） A. 当时， B. 当，，，时，数列为常数列且 C. 当，，，时，数列的前项和 D. 当，，，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，则______. 13. 记为数列的前项和，若，则______. 14. 如果存在两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. （1）求证：； （2）若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，求三角形面积的最大值. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值 （2）讨论函数的单调区间； （3）若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 19. 记平面内条直线最多将平面分成个部分，空间中个平面最多将空间分成个部分，. （1）请写出，，，的值（无需说明理由）； （2）求； （3）设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中试卷数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，， 则. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性即可求解. 【详解】， 令，得， 当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的单调递减区间为. 3. 已知等比数列的前项和为，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， ，，解得：，， . 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，. 5. 数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】该数列的前项和为. 6. 过点与曲线相切的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设切点为， ，切线斜率，解得：，. 7. 点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 求导可得，设， 则，解得，代入可得， 点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最小值为. 8. 已知数列满足，，数列的前项和为，若恒成立，则M的最小值为（ ） A. 不存在 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用累加法可求得，进而得到；利用错位相减法可求得，由此可得的取值范围. 【详解】，， 当时， ， ， 又时，满足，，， ，， ，， ，；又，，. 所以M的最小值为1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为数列的前项和，，下列结论正确的是（ ） A. 若为等差数列且，则 B. 若，则数列为等差数列且公差为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质和求和公式可求得A正确；利用等差数列定义可判断出B正确；利用与关系可求得C错误；根据等差数列前项和的二次函数性可求得D错误. 【详解】对于A，为等差数列，，解得：， ，A正确； 对于B，，，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列，， ，， 数列为等差数列且公差为，B正确； 对于C，当时，， 当时，不满足，，C错误； 对于D，，，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 则当或时，取得最小值，最小值为，D错误. 10. 下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，是定义在上的增函数，A正确； 对于B，，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，，当时，， 在上单调递减，C错误； 对于D，，是定义在上的增函数，D正确. 11. 已知数列满足，则（ ） A. 当时， B. 当，，，时，数列为常数列且 C. 当，，，时，数列的前项和 D. 当，，，时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推关系可推导得到A错误；根据递推关系可得为常数列，采用构造法可求得，知B正确；利用递推关系可求得数列的周期，结合周期性可求得C正确；采用构造法可构造出等比数列、等差数列，由此可得，采用放缩法和裂项相消法可证得D正确. 【详解】对于A，，，，A错误； 对于B，，， 又，数列为常数列且， ，又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，，B正确； 对于C，，， ，数列是周期为的周期数列， 又，，，，，， ， ，C正确； 对于D，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， ， 当时，， 当时，； 综上所述：，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 记为数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果. 【详解】当且时，， ， 又，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， . 14. 如果存在两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，分别表示出切线方程，将问题转化为方程有两个不等实根的问题；采用分离变量的方法进一步将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得单调性和最值，进而得到图象，由此可确定的取值范围. 【详解】设直线与曲线和分别相切于点， 和的导数分别为，， 切线方程为：， ， ，，， ，则， ，即， 存在两条不同的直线与两曲线都相切，方程有两个不等实根， ， 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减；， 又当时，；当时，， 可得图象如下图所示， 则当，即时，与有两个不同交点， 即方程有两个不等实根， 实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， . 【小问2详解】 由（1）得：， . 16. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. （1）求证：； （2）若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 连接，∵在中，且为的中点， ∴， 又∵平面， 故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，， 故，，，，， ∵，， ∴，即， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，进而结合题意，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）结合（1）的坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ∵，∴，， ∴，即，令，则，， ∴， ∴， 又∵二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，求三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标、椭圆上的点坐标和椭圆之间关系可构造方程组求得结果； （2）利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出，利用基本不等式可求得结果. 【小问1详解】 椭圆的左、右焦点分别为，； 椭圆经过点，，又， ，，椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意知：直线的斜率不为，可设，， 由得：，，， ， 点到直线的距离， （当且仅当，即时取等号）， 面积的最大值为. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值 （2）讨论函数的单调区间； （3）若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义和切点坐标可构造方程组求得； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到的单调区间； （3）利用导数可求得单调性，从而将恒成立的不等式转化为单调递减，进而得到恒成立，采用分离变量法可求得结果. 【小问1详解】 ，，解得：， 又，，解得：； ，. 【小问2详解】 由题意知：的定义域为，； ①当时，若，则；若，则； 的单调递减区间为，单调递增区间为； ②当时， i.若，则当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； ii.若，则在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； iii.若，则当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 的定义域为，， ，，即，在上单调递增， 不妨设，则， 则由得：， 令，则在上单调递减， 在上恒成立，， 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 19. 记平面内条直线最多将平面分成个部分，空间中个平面最多将空间分成个部分，. （1）请写出，，，的值（无需说明理由）； （2）求； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过位置关系可分析出结果； （2）分析可得，采用累加法可求得； （3）类比（2）中结论，结合累加法可求得，进而得到，采用裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 ， ，如图所示： ，如图所示： ，如图所示： 【小问2详解】 由题意知：当条直线两两相交且交点互不相同时，分平面的部分最多； 第条直线与前条直线有个交点，这个交点将第条直线分成段，每一段将原来的部分分成两部分，故新增加部分，即， ； 当时，满足； . 【小问3详解】 当个平面两两相交且交线互不相同时，分空间的部分最多； 第个平面与前个平面有条交线，这条交线两两相交且交点不同， 由（2）知：将第个平面分成个部分，每部分将原来的空间分成两部分，故新增加部分，即， ， ， ， 又满足， ； ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $