2026届高考数学预测卷(二)（新课标I卷）

2026届高考数学预测卷(二) 2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2．设复数（为虚数单位），则（    ） A．2 B． C． D．1 3．已知等差数列中，为其前项和，，则等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于两点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．函数的定义域为，对任意，，则的解集为 A． B． C． D． 8．一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线，点，为曲线上任意两点，且，则（    ） A．曲线由两个圆构成 B． C． D． 10．已知函数，，下列成立的是（    ） A．若是偶函数，则 B．的单调增区间是 C．的值域为 D．当时，方程都有两个实数根 11．如图，在棱长为6的正四面体中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则（   ） A． B．点C到平面的距离为 C．如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．动点Q在平面ABC内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率为______． 13．已知在处有极值，则______. 14．在锐角△ABC中，角，，所对应的边分别为，，，若，则_________；若，则的最小值_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为 （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值． 16．(15分)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，． （1）求证：平面； (2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF?若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点D到平面BCF的距离；若不存在，请分析说明理由． 17．(15分)某科研团队准备攻克甲、乙、丙三项新技术，已知甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为，，，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，可分别获得科研奖金30万元、20万元、10万元.若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术不会获得科研奖金. (1)求该科研团队获得30万元科研奖金的概率； (2)记该科研团队获得的科研奖金（单位：万元）为随机变量X，求X的分布列及均值. 18．(17分)已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2． (1)求的方程； (2)若点A、B在椭圆上，为坐标原点，且，求△AOB面积的最小值． 19．(17分)已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，数列满足． ①若首项，证明数列为递增数列； ②若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 2026届高考数学预测卷(二)参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C C B B C ACD ABD 题号 11 答案 BD 部分题解析: 6． 不妨设在的右侧，作出示意图如图： 根据双曲线的定义：，则， 且有，代入可得，则， 因为，则，且， 则，则， 在中，，则， 即， 整理可得，则，故选：B． 7．令，则， 所以为上的增函数，又， 故的解是的解，所以的解为. 故等价于即，所求解集为，故选B. 9.对于A，依题意，方程即， 即或， 所以曲线由以，为圆心，1为半径的两个圆构成，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，设，， ，， 因此，C选项正确； 对于D， ， 令，则，当，时等号可成立. 显然反向，且在x轴上时，，因此，D选项正确.    10．对于A选项，， 若函数为偶函数，则，则， 即，即对任意的恒成立，则，A对； 对于B选项，内层函数的增区间为，外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是，B对； 对于C选项，对任意的，， 则，C错； 对于D选项，当时，， 由可得，则， ，所以，当时，方程都有两个实数根，D对. 11．取的中点，连接，则且为靠近的一个三等分点，过点作交于点，则， 又平面，如图建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则，，，，， 所以，， 所以，所以与不垂直，故A错误； 因为，所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 即点C到平面的距离为，故B正确； 对于C：因为，设正四面体的内切球的半径为， 则，即，解得， 所以在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为，故C错误； 对于D：连接，因为，平面，平面， 所以，所以，所以， 则点在平面所表示的图形为以为圆心，为半径的圆面， 所以动点的轨迹表示图形的面积为，故D正确. 故选：BD 填空题 12． 椭圆的短半轴为，长半轴为，且， ， 椭圆的离心率为； 13．3 由题， 且在处有极值， 所以 所以 此时 令或， 令， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以为极小值点，满足题意， 所以 所以. 故答案为：3. 14． / 因为，故， 而为三角形内角，故. 若，则， 故， 因为为锐角三角形内角，故， 所以， 而 ， 因为为锐角三角形内角， 故， 故，当且仅当时等号成立， 而此时△ABC为等腰直角三角形，与题设矛盾，故， 由基本不等式可得，当且仅当等号成立， 故的最小值为8， 故答案为：. 解答题 15． 解：（1），导函数的最小值为，， 又函数图象在点处的切线与直线垂直，而直线的斜率为， 函数图象在点处的切线的斜率为， 即，解得， 所以； 由得到， 列表如下： x 0 0 极大值 极小值 函数的单调递增区间是和， ， 函数在上的最大值是18，最小值是． 16．（Ⅰ）由于平行四边形ABCD中，，，所以又∵平面底面，平面底面=， 底面ABCD，可得平面，又平面，所以，又，由线面垂直的判定定理，即可证明结果；（Ⅱ）连结AC交BD于点O，取PC中点F，连结，则有PA∥平面BDF，然后再根据等体积法即可求出结果． 试题解析：解：（Ⅰ）∵平行四边形ABCD中，， ∴ 又∵平面底面，平面底面= 底面ABCD ∴平面 ∵平面 ∴ 又，，、平面 ∴平面 （Ⅱ）连结AC交BD于点O，取PC中点F，连结DF，FO，FB 则有PA∥平面BDF，证明如下： ∵平行四边形ABCD中， ∴点是AC中点 ∴当F是PC中点时，FO是的中位线 ∴ 又∵平面，平面 ∴PA∥平面BDF 设点D到平面BCF的距离为，则 ∵F是PC中点 ∴ ∵由（Ⅰ）知：平面， 又 ∴ ∴ ∵由（Ⅰ）知：平面，、平面 ∴， ∴， 又∵F是PC中点 ∴， ∴ ∴ ∴由，得： ∴即点D到平面BCF的距离为． 考点：1．线面垂直的判定定理；2．空间几何体的体积公式． 17． （1）解：记甲、乙、丙三项新技术被攻克分别为事件A，B，C， 则，，， 该科研团队获得30万元科研奖金的概率为， ， ； （2）X所有可能的取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ， ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为 x 0 10 20 30 40 50 60 P 所以. 故所求的均值为. 18． （1）设， 所以，由直线的斜率与直线的斜率之商为2， 可得，所以， 又离心率，所以，则， 所以的标准方程为. （2）   当直线，直线其中一条直线斜率不存在时，不妨令， 此时面积为；    当直线，直线的斜率均存在时，不妨设直线的方程为， 则直线的方程为，设点， 联立方程可得， 所以， 联立方程可得， 所以， 所以， 因为，又， 所以，又， 所以△AOB面积的最小值为，当且仅当，即时等号成立. 19．（1）可知的定义域为，且． 当即，则，得在单调递增； 当，即时，若，则；若或，则， 此时在单调递减，在，单调递增； 当，即，可得在单调递减，在单调递增． 综上，当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）若，则，由（1）知函数在区间上单调递增． ①因为，所以，可知．假设，因为函数在区间上单调递增， 所以，即得．所以，由数学归纳法可得．因此数列为递增数列． ②由①知：当且仅当，数列为递增数列．所以， 且为正整数．得．令，则，显然时，， 可知函数在区间递增．由于． 所以，首项的最小值为6． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $