19.1 二次根式及其性质 第2课时 二次根式的性质 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第2课时 二次根式的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 二次根式的性质 5. 课堂小结 3. 新课导入 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 对接中考 8. 拓展与延伸 2. 知识回顾 1. 了解并掌握二次根式的性质. 2. 会运用二次根式的性质进行化简计算. 学习目标 知识回顾 什么叫二次根式？如何表示？ 二次根式有意义的条件是什么？ 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中“”称为二次根号. 被开方数（式子）为非负数，（≥0）. 新课导入 【问题1】正数有平方根吗？负数呢？0呢？ 正数、0都有平方根，但负数没有平方根. 【问题2】计算下面两题： ①；② ；③ . 2 4 0 新课讲解 知识点 二次根式的性质 性质1：二次根式具有双重非负性. ①，二次根式的被开方数非负； ②，二次根式的值非负. 我们知道，当>0时，表示的算术平方根，因此；当=0时，表示0的算术平方根，因此，这就是说， . 1. 三类常见的非负数：，|a|，a2； 2. 若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0 拓展 新课讲解 例 1. (1)若y＝＋＋2，则xy＝_____. (2)若实数m，n满足|m－n－5|＋＝0，则3m＋n＝______. 9 7 解：(1)由二次根式中被开方数的非负性，得故x＝3. 由y＝＋＋2，得y＝2. 所以xy＝32＝9. 当互为相反数的两个数同时作为二次根式的被开方数时，这两个被开方数都为0 (2)由绝对值的非负性和二次根式的非负性，得 解得 所以3m＋n＝3×3－2＝7. 几个非负数的和等于0，那么每个非负数都等于0 新课讲解 练一练 1. 已知与互为相反数，求的值. 解：∵与互为相反数， ∴ 又 ∴ 解得 ∴ 新课讲解 根据算术平方根的意义填空： 3 0.5 0 解：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数，因此，()2=3. 同理，，，分别是，，0的算术平方根. 探究 新课讲解 一般地，()2= (≥0). 性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 1. 正用公式：()2＝2，()2＝a2＋2； 2. 逆用公式：若a ≥ 0，则a＝()2，如5＝()2，＝()2； 3. 对于公式 ()2＝a(a ≥ 0)，无论是正用，还是逆用，都要注意前提：a ≥ 0. 拓展 新课讲解 例 2. 计算： (1) ()2； (2) (2)2. 解：(1) ()2 =1.5. (2) (2)2 =22×()2=4×5=20. 对于形如(b)2(a≥0)的式子，要结合积的乘方运算法则来计算，即(b)2=b2·()2=b2·a=ab2. 新课讲解 练一练 2. 计算：①()2； ②(-)2； ③()2； ④(5)2； ⑤(-7)2 . 解：①()2 =5； ②(-)2 =()2 =0.2； ③(2 = ； ④(52 =52×2 =25×5=125； ⑤(-72 =(-7)2×()2 =49× =14. 新课讲解 探究 填空： 根据算术平方根的意义，可以得到 ； ； ； . 2 0.1 0 一般地， . 文字描述：一个非负数的平方的算术平方根等于这个数本身. 新课讲解 当a为任意实数时，都有意义，如果前一探究中的a为负实数，那么下面各式还成立吗？为什么？ . 2 0.1 思考 一般地， . 文字描述：一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数. 新课讲解 性质3：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 1. 正用公式：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π； 2. 逆用公式：若a ≥ 0，则a＝，如3＝ 拓展 新课讲解 例 3. 计算：(1) ( )2； (2) ； (3) ； (4)(－2)2； (5) . 解：(1)()2＝. (2)＝ |－6|＝6. (3)＝＝10－1＝. (4)(－2)2＝(－2)2×()2＝4×2＝8. (5)＝ |3.14－π|＝π－3.14. 幂的乘方的逆用，即amn＝(am)n＝(an)m a－n＝(a≥0) (b)2＝b2()2＝b2a(a≥0) 新课讲解 练一练 3. 计算： (1) ； (2) ； (3). 两步法计算 (1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式； (2)去绝对值符号. 解：(1) 方法一：= = 10. 方法二：= |-10| = 10. (2) 方法一= = . 方法二：= =. (3) 方法一：= = . 方法二：= =. 新课讲解 ()2 不同点 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方，再平方. 先平方，再开方. 的取值范围  为任意实数. 结果的表达形式 相同点 ()2与的结果都是非负数，且当a≥0时，()2 =. ()2与的相同点与不同点？ 课堂小结 二次根式 二次根式的性质 ≥0 (≥0)(双重非负性) ()2=(≥0) 当堂小练 1. 下列计算正确的是 (　　) A．＝－a B． ＝－a C．a3·(－a)2＝a4 D．(－a2)3＝a6 B 当堂小练 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为； 当b为腰长时，三角形的周长为． 2. 已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 若，则根据被开方数大于等于0，可得. 归纳 当堂小练 3. 已知＝1－2a, 那么a 的取值范围是(　　) A．a＞ B．a＜ C．a ≥ D．a ≤ D 当堂小练 4. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示.试化简：＋＋＋－ . 方法点拨： 解：由数轴上点的位置可知0＜a＜1，b＜－1， 所以a－b>0，b－1＜0，a－1＜0. 则＋＋＋－ ＝|a|＋|b|＋|a－b|＋|b－1|－|a－1| ＝a－b＋a－b＋1－b－(1－a) ＝3a－3b. 当堂小练 5. 若已知实数a，b，c满足＋＋＝2，求ab＋bc的值. 方法点拨： 解：由题意得(a2＋2 025)(b－6)≥ 0. 又∵ a2＋2 026>0，所以 b－6 ≥ 0. 所以b ≥ 6. ∴ ＝ |10－2b|＝2b－10. ∴ ＋＋2b－10＝2. ∴ ＋＋(2b－12)＝0. ∵ ≥ 0，≥ 0 ， 2b－12 ≥ 0， ∴ a＋b＋c＝0，(a2＋2 025)(b－6)＝ 0 ， 2b－12＝0. ∴ b＝6，a＋c＝－6. ∴ ab＋bc＝b(a＋c)＝6×(－6)＝－36. 当堂小练 6. 已知x为任意实数，化简：＋. 方法点拨： 解：＋＝＋＝|x－1|＋|x＋3|. (1)当x＜－3时，x－1＜0，x＋3＜0， ∴原式＝1－x－x－3＝－2x－2； (2)当－3≤x≤1时，x－1≤0，x＋3≥0， ∴原式＝1－x＋x＋3 ＝4； (3)当x＞1 时，x－1＞0，x＋3＞0， ∴原式＝x－1＋x＋3＝2x＋2 . 当堂小练 7. 若a 满足|2 026－a|＋＝a，则a－2 0262的值为 (　　) A．0 B．1 C．2 026 D．2 027 D 当堂小练 C 对接中考 1. 若m，n 为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为_______． 1 解：∵ m，n 为实数，且(m＋4)2＋＝0， ∴ m＋4＝0，n－5＝0，解得m＝－4，n＝5. ∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1． 对接中考 2. 已知1＜x＜2，化简＋|x－2|的结果为(　　) A．－1 B．1 C．2x－3 D．3－2x B 解：∵ 1＜x＜2， ∴ x－1>0，x－2<0. ∴ ＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1． 拓展与延伸 B 拓展与延伸 B 8．若是一个整数，则n的最小正整数的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵是一个整数， ∴45n是一个完全平方数． ∵45n＝3×3×5×n， ∴n的最小正整数的值是5. 1．已知p＝＋＋2 026(m，n为两个连续奇数，0<m<n，q＝mn)， 则下列对p的表述中正确的是(　　) A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数也可能是无理数 解：∵m，n为两个连续奇数，0<m<n， ∴n＝m＋2. ∴p＝＋＋2026 ＝＋＋2026＝m＋2＋m＋2026＝2m＋2028. ∵m为奇数， ∴2m为偶数． ∴p＝2m＋2028为偶数． 2．若对任何实数x，不等式＋≥a都成立，则a的取值范围是(　　) A．a≥6 B．a≤6 C．0≤a≤3 D．a≥3 解：＋＝＋＝|x＋1|＋|x－5|， 由绝对值的几何意义可得，|x＋1|＋|x－5|表示的是数轴上表示数x的点到表示数－1和数5的两个点的距离之和， ∴当－1≤x≤5时，|x＋1|＋|x－5|有最小值，最小值为x＋1＋5－x＝6，此时|x＋1|＋|x－5|＝6. ∵若对任何实数x，不等式＋≥a都成立， ∴＋的最小值要大于或等于a. ∴a≤6. $