精品解析：吉林长春市公主岭市第三中学校2026届高三下学期4月调研数学试题

2026届高三4月调研数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. ，，已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8 3. 已知等比数列，满足，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳（无弹性）的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为，细绳长为，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（    ） A. 如果，那么 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 6. 将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递增 C. ，均有 D. 函数与的图象有9个交点 二．（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. ，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆长轴两端点分别为为椭圆上异于的任意一点，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积 C. 的最大值为25 D. 当的面积取得最大值时的内切圆半径为 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，3，并记，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量ξ服从正态分布，且，则 ________ ． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与C交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设C的离心率为，则 ___________________ ． 14. 对于三次函数，定义：设是函数的函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”；此时的图象关于“拐点”对称. 已知函数的“拐点”为，则点坐标为______，在点的切线为，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是________. 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知圆的圆心是抛物线的焦点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 16. 在四棱锥中，底面为正方形，平面. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 17. 迎“七一”党建知识竞赛，竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员若有机会参加这两关比赛，通过的概率见下表： 队员 第一关 第二关 甲 乙 丙 丁 比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员通过第一关可以得60分，且有资格参加第二关比赛，若没有通过，得0分且没有资格参加第二关比赛，若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分.两名参赛队员所得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表队”称号.假设两名参赛队员不相互影响. （1）求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率； （2）若这次比赛中，选中了甲乙两名队员参赛，记该代表队的得分为，求随机变量的分布列和期望. 18. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若为上一点，且，，，求的面积； （3）若，，是中线，求的长． 19. 已知函数，． （1）求在处的切线方程； （2）当时，，数列满足，且，证明：； （3）当时，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三4月调研数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. ，，已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 因，则. 2. 已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程，可得，利用向量共线的坐标表示可求. 【详解】取，由可得，解得． 故选：A. 3. 已知等比数列，满足，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，再根据即可求出答案. 【详解】由题意得， 所以. 故选：B. 4. 一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳（无弹性）的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为，细绳长为，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】解：根据题意，结合椭圆定义得：椭圆的长轴长为，焦距为， 所以，椭圆的短半轴长为, 因为过椭圆中心的弦中，最短的弦为椭圆的短轴，即为， 所以，过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为米. 故选：B 5. 设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（    ） A. 如果，那么 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如果，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，因为，所以存在直线，使得， 又，所以或， 当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知， 所以由平行传递性可得； 当时，因为，，所以直线与直线重合，故. 综上，若，，则，故C正确； 对于D，若，，所以或， 当时，存在直线，使得， 又因为，所以，则； 当时，因为，所以. 综上，若，则，故D正确. 6. 将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件A为：，事件B为：，用列举法写出事件事件和事件的各种情况，计数后由条件概率公式计算． 【详解】设事件A为： 当时， 分两种情况： 第一次掷出4，第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4，5，6，7，8，共5种情况; 第二次掷出4，第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4，5，6，7，8，共5种情况， 两种情况都有第一次和第二次都掷出4，共1种情况， 所以事件A包含的基本事件数为 设事件B为：， 则事件AB为：且， 有，和，两种情况. 由条件概率公式： 故选：B． 7. 若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心半径，由题意即可求解. 【详解】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得. 故选：C 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递增 C. ，均有 D. 函数与的图象有9个交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义求出函数值域，判断A，结合单调性的定义判断B，根据函数的定义判断C，作出函数与的图象，结合对数函数性质判断D． 【详解】由取整函数的定义知，，所以，∴，故函数的值域为∴A正确； ∵时，∴时，∴在区间上单调递增，∴B正确； ∵均有，均有，∴C正确； 对于D，结合函数与的图象可知，如图，函数与的图象有8个交点，∴D错误， 故选：D． 二．（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. ，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理，利用赋值法可得解. 【详解】由已知二项式的展开式通项为， 令，可得，A选项正确； 由， 令，得，B选项正确； 根据二项式定理可知等于将展开后所有项的系数和， 将代入，可得，C选项错误； 设， 则令，可得 且， 令，可得； 则，D选项正确； 故选：ABD. 10. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆长轴两端点分别为为椭圆上异于的任意一点，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积 C. 的最大值为25 D. 当的面积取得最大值时的内切圆半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线共焦点求出，可判断A；根据点坐标满足椭圆方程，代入化简可判断B；利用椭圆定义和基本不等式可判断C；利用等面积法求出内切圆半径可判断D. 【详解】双曲线化为标准方程：，焦点在轴上， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，所以，A正确； 记椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则 由椭圆方程可知，不妨记， 设，则， 又，所以，所以，B错误； 由椭圆定义可知，，所以， 当且仅当，即点为短轴端点时，等号成立，C正确； ，所以点为短轴端点时，的面积取得最大值， 设的内切圆半径为，则， 所以，D错误. 故选：AC 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，3，并记，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算得到通项公式计算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,3，此时 第2次得到数列1,3,3,9,3，此时 第3次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3，此时 第4次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3,81,27,243,9,243,27,81,3，此时 第次得到数列1，，3，此时，故B正确. 所以 所以，故A错误， 因为 所以 所以，故C正确. 所以，所以是以3为公比，以为首项的等比数列，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，得到通项公式即可求解. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知随机变量ξ服从正态分布，且，则 ________ ． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为， 所以由对称性可知，. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与C交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设C的离心率为，则 ___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设，则.由双曲线定义可知，.又以AB为直径的圆过点，所以，解得.在和中，分别求即可得到关于与的二次齐次式，离心率即可求解. 【详解】根据题意，过点的直线与双曲线的左支交于A，B两点，如图所示. ，∴设，则. 由双曲线定义可知，. ∵以AB为直径的圆过点，，即， 化简整理得，即，解得（舍去），或. ∴，，，. 在中，. 在中，， 即，即. . 14. 对于三次函数，定义：设是函数的函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”；此时的图象关于“拐点”对称. 已知函数的“拐点”为，则点坐标为______，在点的切线为，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意对已知函数进行二次求导，由，解得，求出，即可得到“拐点”的坐标；求出，由点斜式可得，代入，可得存在，成立， 令，利用导数求出，即可得到实数的取值范围. 【详解】由题意，由函数，得， 则，由，解得， 又， 所以函数的“拐点”的坐标为； 由，得， 所以在点的切线方程为，即， 所以， 若存在，使不等式成立， 即若存在，使不等式成立， 即成立，即成立， 令，则， 由，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，所以， 即存在，使不等式成立，. 故答案为：；. 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知圆的圆心是抛物线的焦点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 16. 在四棱锥中，底面为正方形，平面. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球， 则， 因为底面为正方形， 所以为对角线与的交点， 因为平面，平面， 所以，即， 所以，与矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球. 【解析】 【分析】（1）由已知得出，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，建空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再利用向量法即可求解； （3）利用反证法证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 则， 因为二面角为钝二面角，二面角大小为法向量夹角的补角， 所以钝二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 17. 迎“七一”党建知识竞赛，竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员若有机会参加这两关比赛，通过的概率见下表： 队员 第一关 第二关 甲 乙 丙 丁 比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员通过第一关可以得60分，且有资格参加第二关比赛，若没有通过，得0分且没有资格参加第二关比赛，若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分.两名参赛队员所得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表队”称号.假设两名参赛队员不相互影响. （1）求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率； （2）若这次比赛中，选中了甲乙两名队员参赛，记该代表队的得分为，求随机变量的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，130 【解析】 【分析】（1）先求出选出的是哪两名队员参赛的概率，继而考虑这两名队员得分不低于160分的情况，根据互斥事件的概率公式即可求得答案. （2）确定变量X的取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式即可求得答案. 【小问1详解】 记选出甲乙两名队员参赛为事件， 选出甲乙、丙丁各一人参赛为事件， 选出丙丁两名队员参赛为事件， 活动“党建优秀代表队”称号为事件. 则，，. . 【小问2详解】 的可能取值为：0，60，100，120，160，200， ，， ，， ，. 所以随机变量的分布列为： 0 60 100 120 160 200 所以. 18. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若为上一点，且，，，求的面积； （3）若，，是中线，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，求得，即可求解； （2）由三角形面积公式求得，得到，结合，即可求解； （3）由，求得，再由余弦定理求得，结合，利用向量的运算法则，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得， 由，故， 所以， 可得 因为，可得），所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：因为点为上一点，且，，， 由三角形面积公式可得，所以， 所以，则. 【小问3详解】 解：由，可得，所以， 又由，由余弦定理得， 即，可得， 因为是中线，可得， 所以，所以. 19. 已知函数，． （1）求在处的切线方程； （2）当时，，数列满足，且，证明：； （3）当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，， 所以，则， 令，得；令，得； ∴在上单调递减，在上单调递增，∴， ∵， 要证，即证， 又，，即证， 令，则， ∴在上为减函数，且， 因为， 又，∴， ∴，则， ∴，即， ∴成立，原式得证． （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解； （2）先利用导数证得，再构造函数，利用导数证得，进而证得，从而得证； （3）构造函数，将问题转化为恒成立，利用导数，结合分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ∵，∴， 所以，， ∴在处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵恒成立，， 令，则， 所以当时，等价于恒成立． 由于，， （i）当时，，函数在上单调递增， 所以，在区间上恒成立，符合题意； （ii）当时，在上单调递增，． ①当，即时，， 函数在上单调递增， 所以在上恒成立，符合题意； ②当，即时，，， 若，即时，在上恒小于0， 则在上单调递减，，不符合题意； 若，即时，存在，使得， 所以当时，，则在上单调递减， 则，不符合题意． 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $