吉林省吉林市田家炳中学2026届高三年级4月阶段性测试数学试题

吉林市田家炳中学高三年级4月阶段性测试

数学

一、单选题（每题5分，共40分）

1．“”是“或”的（   ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ）

A．5 B．10 C．15 D．20

3．若，则的虚部为（   ）

A．1 B． C．2 D．

4．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ）

A． B． C． D．

5．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

6．在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ）

A．8 B．4 C．2 D．1

7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题6分，共18分）

9．函数（，，是常数，且，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（   ）

A．

B．

C．

D．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数

10．在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（    ）

A．

B．当点在上运动时，三棱锥的体积为

C．

D．周长的最小值为

11．已知圆，双曲线，经过原点的直线与交于点，与交于点．设点是直线上的动点，且满足，记的轨迹为曲线，如图所示，则（    ）

A．曲线的方程为 B．与有公共点

C．的最大值为2 D．点到轴的最大距离为

三、填空题（每题5分，共15分）

12．已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________．

13．在棱长为1的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为______.

14．已知函数，在点处作曲线的切线，其纵截距记为，若对恒成立，则实数的取值范围为___________．

四、解答题

15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（10分）

(1)求C的值.

(2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.

（i）若，，求的周长；

（ii）求的最大值.

 

 

 

 

16．如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，与交于点O，在底面的投影为O，为中点，其中.（17分）

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求多面体的体积.

 

 

 

 

 

 

 

17．在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为.（17分）

(1)求；

(2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

(3)求.

 

 

18．已知函数，其中（15分）

(1)若函数在处有极值，求，的值；

(2)当，时，设，求的最小值.

 

 

 

19．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数．（18分）

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点．

（i）求证：点在定直线上；

（ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围．