广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期数学周测试题（5.5）

广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期数学周测试题（5.5）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1、在复平面内，对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、设集合，，若，则 A．2 B．1 C． D． 3、已知向量，满足，则 A． B． C．1 D．2 4、已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（   ） A． B． C． D．1 5、函数是（ ） A. 偶函数，且最小值为－2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 周期函数，且在上单调递增 D. 非周期函数，且在上单调递减 6、数列中，，，若是数列的前项积，当的最大值时，n的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10.5 D. 10或11 7、已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．在R上单调递增 C．函数的值域是 D．方程有两个实数根 8、已知直线：与直线：相交于点P，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 10、如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 11、已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点．若，则（ ） A．直线的斜率为 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知双曲线：的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 13、若直线与曲线和都相切，则的方程为 14、现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. （13分）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 16、（15分）如图所示，在梯形中，，，， 平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 17、（15分）已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，判断是否为定值?若是，求出定值：若不是，说明理由， 18、（17分）已知函数． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求的最大值． 19、（17分）如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，． （1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率； （2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）记，，，其中． 证明：数列是等比数列，并求. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期数学周测试题答案（5.5） 1、 A 2、B．【解析】由，得且，或且，则，故． 3、C【解析】因为，，，所以， 即，所以，故选C． 4、A【详解】∵角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，， 且，∴，解得，∴，∴， ∴．故选：A． 5、【答案】B【详解】定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，又，令，，， 当时，即，有最小值，最小值为， 当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确； 因为，所以为周期函数， 因为在上单调递减，在上单调递减， 当，，令，，，在单调递减，在单调递增， 当，，令，，，在单调递减， 由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增；故C，D错误， 6、【答案】D【解析】【详解】依题意，，， 所以，所以， 所以， 函数的开口向下，对称轴为，所以当或时，取得最大值为. 故选：D 7 B 【详解】对,对于任意，，故正确； 对对于函数，当时，， 所以为单调递减函数，又因为函数为奇函数，所以函数在R上单调递减，故错误； 对,当时，．当时，， ∵，∴，又因为函数为奇函数，函数的值域为，故正确； 对,当时，方程显然成立，所以是方程的解，当时， 方程，即在有一个正根．故正确． 8、【答案】B【详解】解：圆半径，圆心， 直线与垂直，又过定点，过定点， 点轨迹是以为直径的圆，方程为，圆心，半径， 取的中点，连接，由，则，则， ，的最小值为． 9、BD 【解析】若，则， 此式不一定成立（反例：1，2，3，4，5，7），故A错误； 因为分别是的最小值、最大值， 所以的中位数的位置与的中位数的位置相同，故B正确； 因为分别是的最小值、最大值， 所以的波动性大于的波动性，所以前者的标准差较大（反例：0，2，3，4，5，10），故C错误； 无妨设，则的极差为，的极差为，因为，所以D正确． 10、ABD.【详解】对于A，连接，交于，连接、，则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以，由正方体性质有、平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面，所以平面，又平面，所以，，又，所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角，由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 11、 ACD 【解析】设中点为，由，得，所以 ，所以，故直线的斜率，故A正确； 直线的方程为，代入，整理得， 所以，又，所以，所以， 所以，故B错误； 因为，故C正确； 由选项A，B，知 ，， 所以，所以为钝角； 又 ，所以为钝角， 所以 ，故D正确． 12、 【解析】由双曲线的渐近线方程为,可得． 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以． 由 ，解得 ，则双曲线的方程为 ． 13、【解析】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则，解得，（舍）， 则直线的方程为，即． 14、【答案】【详解】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、， 若、、都没有取到，则有种不同的取法； 若、、取到一个，则有种不同的取法； 若、、取到两个，则有种不同的取法； 若、、取到三个，则有种不同的取法； 综上可得一共有种不同的取法. 15、【答案】（1） （2） （1）因为，，为的内角，所以............1分， 因为........2分，所以可化为：， 即，即...........4分， 因为........5分，解得：，即..........6分． （2） 由三角形面积公式得........8分， 代入得：，所以........9分， 由余弦定理得：,........11分 解得：或舍去，...12分 即，所以的周长为........13分 16、【详解】（1）连接CM， ，，是AB中点，且， 四边形是平行四边形，........1分 而平面平面，所以平面，......2分 又因为，平面，平面，所以平面.......3分 又平面，，平面，平面，平面平面......4分 又平面，平面.。.......5分 （2），平面，平面，.平面，，.....6分 又，四边形是平行四边形，平行四边形为正方形，．......7分 又，平面，平面，平面，.....8分 平面，......9分 （3）平面，平面，平面， 所以，因为四边形是正方形，所以，两两垂直． 建立直角坐标系，以为原点，AB为轴，AD为轴，AP为轴........10分 设平面的法向量，，， 则 ，即，当时，法向量，........12分 设平面的法向量，，， 则，即，当时，法向量，.....14分 设平面与平面夹角为，则=......15分 所以平面与平面夹角的余弦值为 17、【答案】(1) (2)是； 【详解】（1）由题可知，，.......2分 解得，.....3分 又，解得，故椭圆的标准方程为：；......4分 （2） 如图所示，当平行于轴时，恰好平行于轴，，，；......5分 当不平行于轴时，设，设过点的直线为，.......6分 联立得，.......8分 令得，......9分 化简得，.......11分 设， 则，......12分 又，故，......14分 即. 综上所述，.......15分 18、（1）由题意得.......1分，则，.....2分 令，......3分 显然时，，即此时单调递减，时，，即此时单调递增，....4分 所以，.....5分 则 ，实数a的取值范围为；.....6分 【小问2详解】若，则， 令，则，.....7分 若，则，此时在R上单调递增，当时，，不符合题意；....8分 当，则时，，此时单调递增，时，，此时单调递减，.....9分 即，即，.....10分 所以，.....11分 令，......13分 易知当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，即 .......15分 所以， 当且仅当时，.......16分 ，所以最大值为......17分 19、.（1），....1分 ，....2分 ....3分 ，....4分 ，.... 5分 .... 6分 综上， 棋子位置 掷骰子次数 2 3 （2）随机变量的可能数值为1，. .......7分 综合（1）得 ，.....8分 ， .....9分 故随机变量的分布列为 ...........10分 . ......11分 （3）易知 因此，而当时，，...12分 又，即.因此，.....13分 故......14分 即数列是以为首项，公比为的等比数列. 所以，......15分 又......16分 故. ........17分 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $