广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期数学周测试题（4.28）

广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期数学周测试题（2026.4.28） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是( ) A． B． C． D． 3．已知，，且与不共线，则“向量与垂直”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数在点处的切线方程是( ) A． B． C． D． 5．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是( ) A． B． C． D． 6．在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是( ) A．38 B．42 C．50 D．56 7．设椭圆：的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 8．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则( ) A．与负相关 B． C．预测第6个月的下载量是万次 D．残差绝对值的最大值为 10．已知点，，圆：，则( ) A．圆：与圆公共弦所在直线的方程为 B．直线与圆总有两个交点 C．圆上任意一点都有 D．是，的等差中项，直线：与圆交于，两点，当最小时，的方程为 11．已知，，且，．若，，则( ) A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若双曲线的离心率为3，则_______． 13．已知，为锐角，且，，则______． 14．两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角的大小为，则的边长为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求． 16．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 17．（15分）已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点． ①求直线的斜率；②证明：直线与交于定点 18．(17分)已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围．． 19．(17分)设是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为，其中，，则称为二维随机变量的联合分布列．定义：，称为关于的边际分布列，，称为关于的边际分布列；对于固定的，称为给定条件下的离散型随机变量的条件分布列，则二维离散型随机变量的联合分布列与边际分布列如表： (1)求证：对于，； (2)若的联合分布列与边际分布列如表，求给定条件下的条件分布列； (3)把三个相同的小球等可能地放人编号为1，2，3的三个盒子中．记放人1号盒子的球的个数为，放人2号盒子的球的个数为，则是一个二维离散型随机变量．列出的联合分布列与边际分布列． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2025-2026学年高三下学期数学周测试题答案 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】C 【解析】法1：对甲进行分类， ①接待组只有甲，则相当于余下4人安排2项工作，共种(只需安排按待)； ②接待组不只有甲，则相当于余下4人安排3项工作，共有，故共有50种． 法2：5个人分三组，可以是或是，含有甲的组直接安排接待工作； 若是分组，则；若是，则是，故共50种； 法3：5人参与三类工作不同分配方案的种数有种， 但是甲只能参加接待工作，故只占有种可能性，故有50种不同的志愿者分配方案的种数． 7.【答案】D 【解析】法1：设，则， 在中，，，， 由椭圆的定义知①，则， 在中，由正弦定理，即， 可整理成，② 在中，由正弦定理得，即， 可整理成，③， ②③两式相相得，④ 结合①④得，即， 由于，，，从而， 得，故． 法2：在中，，由勾股定理可得, 由椭圆定义，，结合可得，根据对称性， 设点，则，得， 由于，得， 得代入到上得得， 整理得，，同除以，得， 由于，解得． 8.【答案】A 【解析】为奇函数，， 由于，则无意义，得，可得, 此时， 当时，在上递增， 当时，，， 在上递减，上递增，根据奇函数的图像的对称性和单调性的对称性， 要使得在区间上有最小值，则，得． 9.【答案】ACD 【解析】A：，知，故与负相关，故A对； B：将样本中心点代入，，故B错； C：由选项B可知，，当时，，故C对； D：列表得： 从表中可以看出残差的绝对值的最大值为，故D对． 10.【答案】BCD 【解析】A：圆：，即，圆心，半径；圆：，即，圆心，半径， 圆心距，故两圆相交， 联立相减得，故A错； B：直线过定点在圆内部，直线与圆总有两个交点，故B对； C：设圆：上任意一点， ， ， 显然，则圆上任意一点都有，故C对； D：是，的等差中项，则， 直线：可转化为， 由于，可知直线过定点，要使最小，此时， ，则，的方程为，故D对； 11.【答案】AC 【解析】，，在上递减，上递增，极小值，由于，及知，，，， 在上递增，上递减，极大值， 由于及知， A：， 记，， ， 在上递减且，由于， 故，即，知，由于， 故，在上递增，，，故A对； D：， 记，，同理，在上递减且， 由于，故，即，知， 由于，故， 在上递减，，，故D错； B：易看出，， 由于且在上递增，故，，故B错； C：同选项B，易得，，在上递减，， 故，故C对． 12.【答案】 【解析】方程表示双曲线，故，故，可知，，知，即，得． 13.【答案】 【解析】，， 由两角和与差的正切公式， ， 由于，为锐角从而可解得，，则，， 则； 14.【答案】 【解析】如图，由于正三棱锥与的各顶点均 在半径为1的球面上，设球心为，的截面圆圆心为， 半径为，设，取的中点为， 易知为二面角的平面角，即， 法1：在中，，同理， 在中，由余弦定理， 即，① 在中，由勾股定理得，② 将，代入①式整理得，解得，， 故，则的边长为． 15.【详解】（1）在三角形中，，， 所以由余弦定理得，所以，........3分 又，所以， 又，所以. ...........5分 （2）在三角形中，，所以， 所以，......6分 所以在中，为的中点，所以，，， 所以由余弦定理得：， 所以，......9分 在中，，，， 所以由余弦定理得： 所以，......11分 所以在中，由余弦定理得： .......13分 16.【详解】（1）∵，∴,∴, ......1分 又∵是公差为的等差数列，∴, ......2分 ∴, ......3分 ∴当时，， ∴, ......4分 整理得：,即, ......5分 ∴， ......8分 显然对于也成立，......9分 ∴的通项公式；......10分 （2） ......12分 ∴ ......15分 17.【解析】(1)设圆心，动圆半径为，则， 即．整理得曲线：．......4分 (2)设，，，， ①设中点，中点． ，......6分 同理：．......7分 因为，．......8分 由平面几何，，，三点共线，故．．......9分 ②，直线方程为：．......10分 将代入，整理得．......11分 又直线过点，代入得：． 由，，代入上式：， 整理得：．.....12分 同直线方程，可得直线方程：．......13分 令，解得：．即直线过定点，......14分 同理：直线也过定点． 直线与交于定点．......15分 18.【详解】（1）当时，， 故，......2分 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而，......3分 故当时，，当时，，......4分 故在处取极小值且极小值为，无极大值.......5分 （2）， 设， 则，......7分 当时，，故在上为增函数，......8分 故，即，......9分 所以在上为增函数，故 .......10分 当时，当时，， ......11分 故在上为减函数，故在上， ......12分 即在上即为减函数， ......13分 故在上，不合题意，舍. ......14分 当，此时在上恒成立， ......15分 同理可得在上恒成立，不合题意，舍；......16分 综上，. ......17分 19.【解析】(1)．......3分 (2)，用第二行的值分别除以0.3， 可得给定条件下的条件分布列： ......7分 (3)由题意可知的可能取值为0，1，2，3，Y的可能取值为0，1，2，3， ......9分 设，由概率的乘法公式知， ，，......10分 ，，......11分 ，， ......13分 当时，显然， ......14分 的联合分布列与边际分布列如表： .....17分 学科网（北京）股份有限公司 $