8.3.1 分类变量与列联表、8.3.2 独立性检验（2课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.3.1分类变量与列联表；8.3.2独立性检验（2课时）P114-P124 陶新军 1 1（1） 学习目标 核心素养 1.了解分类变量,理解2X2列联表，会看等高堆积条形图． 数学抽象 2.通过实例理解独立性检验的过程． 数据分析 3.应用探究： （1）独立性检验； （2）卡方χ2的含义解读； （3）填2X2列联表、识别等高堆积条形图及应用； 数据分析 1分钟（读）（改） 2（3） 一.新课引入：分类变量、2X2列联表． 问题1 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性, 某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响 , 为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查 , 全校学生的普查数据如下: 523名女生中有 331 名经常锻炼 ; 601名男生中有 473 名经常锻炼 . 你能利用这些数据 , 说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 思考1：如何比较好的整理题目中的数据？ 不经常锻炼（Y=0） 经常锻炼（Y=1） 合计 女生（X=0） 男生（X=1） 合计 192 331 523 601 473 128 320 804 1124 两个变量：性别；锻炼； 2（5） 二.概念形成：分类变量、2X2列联表． 我们经常会使用一种特殊的随机变量 , 以区别不同的现象或性质 , 这类随机变量称为分类变量. 分类变量的取值可以用实数表示 , 例如, 学生所在的班级可以用1, 2, 3等表示 , 男性、女性可以用1 , 0表示 , 等等. 在很多时候 , 这些数值只作为编号使用, 并没有通常的大小和运算意义 , 本节我们主要讨论取值于{0 , 1}的分类变量的关联性问题. 不经常锻炼（Y=0） 经常锻炼（Y=1） 合计 女生（X=0） 男生（X=1） 合计 192 331 523 601 473 128 320 804 1124 两个变量： 性别；锻炼； 形如上表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 2（7） 二.概念形成：等高堆积条形图． 思考2 你能利用这些数据 , 说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 该校的男生更经常锻炼，性别在体育锻炼的经常性方面有差异. 不经常锻炼（Y=0） 经常锻炼（Y=1） 合计 女生（X=0） 男生（X=1） 合计 192 331 523 601 473 128 320 804 1124 “性别对体育锻炼的经常性有影响”即X与Y有关联 2（9） 二.概念形成：事件独立性与条件概率． “性别对体育锻炼的经常性没有影响”即X与Y独立 问题1 变式： 不经常锻炼（Y=0） 经常锻炼（Y=1） 合计 女生（X=0） 5 20 男生（X=1） 18 合计 11 （1）补全2X2列联表，据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性； （2）说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因。 （2）可能犯错，样本随机抽到，频率具有随机性，因而可能犯错。 1（10） 二.概念形成：事件独立性与条件概率． 不经常锻炼（Y=0） 经常锻炼（Y=1） 合计 女生（X=0） 男生（X=1） 合计 192 331 523 601 473 128 320 804 1124 问题1： 不经常锻炼（Y=0) 经常锻炼（Y=1) 合计 女生（X=0) 5 15 20 男生（X=1) 6 18 24 合计 11 33 44 问题1 变式： “性别对体育锻炼的经常性有影响” 即X与Y有关联 “性别对体育锻炼的经常性没有影响”即X与Y独立 问题2 寻找更合理的判断方法，同时对犯错的概率进行控制？ 5（15） {X=0}和{Y=1}独立 二.概念形成：独立性检验． （Y=0） （Y=1） 合计 （X=0） （X=1） 合计 思考1 补全2X2列联表，如何判断事件之间是否有关联？ 问题2 寻找更合理的判断方法，同时对犯错的概率进行控制？ {X=0}和{Y=0}独立 零假设H0：分类变量独立. 下面四个等式 {X=1}和{Y=1}独立 {X=1}和{Y=0}独立 数学家构造出如下的统计量： 2（17） 二.概念形成：独立性检验． （Y=0） （Y=1） 合计 （X=0） （X=1） 合计 问题2 寻找更合理的判断方法，同时对犯错的概率进行控制？ 上述表达式是χ2的计算公式， χ2读作“卡方”. 基于小概率值α的检验规则是: （1）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； （2）当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立. 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，简称独立性检验. 4（21） 二.概念形成：独立性检验． 问题2 寻找更合理的判断方法，同时对犯错的概率进行控制？ 思考2 怎样判断χ2大小的标准呢? 零假设H0：分类变量独立. χ2取值较大时推断H0不成立， χ2取值较小时推断H0成立， P(χ2 ≥xα)=α成立. 我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大. 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4（25） 三.概念深化：独立性检验． （1）零假设H0：分类变量独立. （3）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，H0成立，可以认为X和Y独立. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 独立性检验步骤： （2）算 例如，当χ2=5，我们有如下的具体检验规则: (1)当χ2 ≥x0.05=3.841时，我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05; (2)当χ2 <x0.01=6.635时，我们没有充分证据推断H0不成立，H0成立，可以认为X和Y独立. 2（27） 四.应用探究：1独立性检验．课本P132 例1-1 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良. 采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据: 抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名; 抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名. 试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异. 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 零假设H0: 疗法与疗效独立 解： 2（29） 四.应用探究：1独立性检验． 解：零假设H0：吸烟和患肺癌之间无关联. 例1-2 为研究吸烟是否与肺癌有关, 某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法, 调查了9965人 , 得到成对样本观测数据的分类统计结果, 如表所示. 依据小概率值α=0.001的独立性检验, 分析吸烟是否会增加患肺癌的风险. 推断H0不成立,即认为吸烟与患肺癌有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 10（39） 四.应用探究：1独立性检验． 练习1(2025·高考 Ⅰ 卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 10（39） 四.应用探究：1独立性检验． 练习1(2025·高考 Ⅰ 卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 3（42） 四.应用探究：2卡方χ2的含义解读． 例2 (多选)(2025·聊城高二期末)某学校调查学生对神舟二十号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了1 000名学生，进行独立性检验，计算得到χ2≈7.936，依据表中给出的χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是 (　　 ) A.零假设H0：对神舟二十号的关注与性别独立 B.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别无关 C.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005 D.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别独立 α 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 ACD 解：因为χ2≈7.936，对于A选项，零假设H0：对神舟二十号的关注与性别独立，A项正确；对于B，C选项，因为χ2≈7.936＞7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于0.005，B项错误，C项正确；对于D选项，因为χ2≈7.936＜10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为对神舟二十号的关注与性别独立，D项正确． 四.应用探究：2卡方χ2的含义解读． 3（42） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A A.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C.根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 零假设H0:爱好跳绳与性别无关 四.应用探究：2卡方χ2的含义解读． 3（45） 例3 网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．完成2X2列联表，利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？ 解：根据题目所给的数据得到如下2×2列联表： 成绩 上网 合计 经常上网 不经常上网 不及格 及格 合计 等高堆积条形图如图所示： 可以认为经常上网与学习成绩不及格有关． 成绩 上网 合计 经常上网 不经常上网 不及格 80 120 200 及格 120 680 800 合计 200 800 1 000 四.应用探究：3识别等高堆积条形图、2X2列联表 3（48） 练习3-1 某学校对高三学生做了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生有426人，其中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生有594人，其中有213人在考前心情紧张．完成2X2列联表,作出等高堆积条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．   性格类别 合计 性格内向 性格外向 考前心情紧张 考前心情不紧张 合计   性格类别 合计 性格内向 性格外向 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张 94 381 475 合计 426 594 1 020 可以认为考前心情紧张与性格类别有关． 四.应用探究：3识别等高堆积条形图、2X2列联表 3（51） 练习3-2(2025·达州高二期末)某省将从某年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3＋1＋2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高堆积条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是 (　　) C A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数 B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数 C．样本中选择物理意愿的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数 四.应用探究：3识别等高堆积条形图、2X2列联表 3（54） 解：根据题图1可知样本中选择物理意愿的人数较多，故C正确； 根据题图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误； 样本中选择物理意愿的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低， 所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误； 样本中女生选择历史意愿的人数少于男生选择历史意愿的人数，故B错误． 四.应用探究：3识别等高堆积条形图、2X2列联表 五.总结归纳： 2（80） 知识点 题型. 1.2X2列联表 2.堆积等高条形图 3.独立性检验 1.独立性检验； 2.卡方χ2的含义解读； 3.填2X2列联表、识别等高堆积条形图及应用； 六.板书设计 2（40） 1.2X2列联表 2.堆积等高条形图 3.独立性检验步骤： （1）零假设H0：分类变量独立. （3）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，H0成立，可以认为X和Y独立. （2）算 正态曲线与正态分布共用一个图形，1.P（a<x<b),P(X<x)画图 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2＝， 解：(1)根据表格可知，检查结果不 正常的200人中有180人患病， 所以p的估计值为＝. (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2＝， (2)零假设H0：超声波检查结果与患该疾病无关， χ2＝＝765.625>10.828， 我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患 该疾病有关，犯错概率不超过0.001． 练习2 (2025·天津高二期中)通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由χ2＝计算得χ2≈7.822，参照附表，则下列结论正确的是 (　　) $