精品解析：福建省永春第一中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学科试卷

永春一中高二年级期中考试数学科试卷 （2026.4） 命题：高二年数学备课组 审题：高二年数学备课组 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 1 2. 某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（ ） A. 27 B. 54 C. 60 D. 78 3. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 第项的二项式系数最大 B. 各项的系数和为 C. 奇数项二项式系数和为 D. 常数项为 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，，，则事件与事件独立 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量服从正态分布，若，则 7. 如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则使得的最大整数的值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知m，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. 若，则 C. D. 11. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 13. 若，则_________． 14. 若实数满足，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）过原点作曲线的两条切线，切点分别为，.求的面积. 16. 已知等差数列和正项等比数列满足，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 17. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. （1）求的分布列和数学期望； （2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 18. 某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． （1）现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 19. 已知函数（） （1）若，求函数的极值点； （2）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中高二年级期中考试数学科试卷 （2026.4） 命题：高二年数学备课组 审题：高二年数学备课组 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数的导函数为，且，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由，得到， 又因为，所以 ， 解得 2. 某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（ ） A. 27 B. 54 C. 60 D. 78 【答案】B 【解析】 【详解】2人掌握的技艺类别不同的选法共有种. 3. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案. 【详解】由题意知，解得. 故选：B. 4. 已知数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：分析可知数列是首项为，公差为1的等差数列，结合等差数列运算求解；方法二：根据递推公式求，发现规律，结合选项可得结果. 【详解】方法一：由题意可得：，则， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，即，所以； 方法二：因为，， 可得，，， 据此可以发现规律，所以． 故选：C． 5. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 第项的二项式系数最大 B. 各项的系数和为 C. 奇数项二项式系数和为 D. 常数项为 【答案】D 【解析】 【分析】对A和C，根据条件，利用二项式系数的性质，即可求解；对B，令，代入求出各项系数和，即可求解；对D，利用展开式的通项公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以第项的二项式系数最大，故A错误， 对于B，令，代入，得到，所以各项的系数和为，故B错误， 对于C，因为，则奇数项二项式系数和为，故C错误， 对于D，因为展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式的常数项为，故D正确. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，，，则事件与事件独立 C. 若随机变量的方差，则 D. 若随机变量服从正态分布，若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对A：随机变量，则，故A正确； 对B：，所以，即事件与事件独立，故B正确； 对C：随机变量的方差，则，故C错误； 对D：随机变量服从正态分布，， 则，故D正确． 7. 如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意数列中…，观察数列特点可知，利用累加法求得，再由裂项求和计算可得出结果. 【详解】根据题意数列中…， 观察数列特点可知， 则， 显然满足上式，则， ， . 故选：D. 8. 若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则使得的最大整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与曲线切于点，根据条件，利用导数的几何意义，可得使成立，即成立，构造函数，求出的最小值，即可求解. 【详解】设直线与曲线切于点， 又，由导数的几何意义知曲线在点处的切线方程为， 即，则， 设直线与曲线切于点， 又，由导数的几何意义知曲线在点处的切线方程为， 即，所以，且， 由，得到，代入，得到， 由，得到，即， 令，则，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以，则使得的最大整数的值为. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，因是常数，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：BC. 10. 已知m，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解；对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为m，且， 对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确； 对于选项B：因为， 整理得，解得或（舍去），故B正确； 对于选项C：因为 ， 即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可知，故D错误； 故选：ABC. 11. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以． 故答案为：. 13. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式和组合数的性质可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项为且， 且， 则. 14. 若实数满足，则的最小值为__________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】通过对等式进行变形构造辅助函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】令，则等式变为，即. 设函数，则在上单调递增， 此时等式可写为，又， 所以，即. 所以. 令，则. 令，则， 所以单调递增，即单调递增. 令，则，则，当时，， 所以是的唯一解， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值，此时. 因为的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）过原点作曲线的两条切线，切点分别为，.求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将所给点代入函数解析式，解得的值即可； （2）先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线；求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 由已知得，即， 又，所以.故. 【小问2详解】 当时，. 不妨设切点.所以. 故切线的方程为. 因为过原点，故，解得. 所以切线的方程为. 又为偶函数，其图象关于轴对称， 故切线的方程为. 所以切线的方程为. 可知，，由对称性可知， 为等腰三角形，其面积为 16. 已知等差数列和正项等比数列满足，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【小问1详解】 设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 17. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. （1）求的分布列和数学期望； （2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 【答案】（1）分布列为： 2 3 4 （2） 【解析】 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； 【小问1详解】 由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. 【小问2详解】 记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 18. 某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． （1）现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. 【小问2详解】 设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 19. 已知函数（） （1）若，求函数的极值点； （2）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （3）若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1）极大值点为，极小值点为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，分析函数单调性即可得到极值点； （2）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （3）结合函数零点的概念和韦达定理得到两个根的关系，将表示为关于的函数，令，利用导数求得函数的值域即可得解. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， ，得， 当时，，在上单调递减； 当或时，，在和上单调递增. 因此，极大值点为，极小值点为. （2）函数的定义域为. 对求导得. 因为在其定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得在上恒成立. 根据基本不等式（，，当且仅当时等号成立）， 对于2，其中，，则， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数m的取值范围是. （3）由（2）知，因为有两个零点，， 所以，是方程的两个不相等的正实数根. 根据韦达定理，对于一元二次方程（）， 两根，有，， 则在方程中，，. 因为，所以，且. 已知，即，解不等式， 两边同时除以，得，移项得，即， 因为，所以该不等式恒成立. 解不等式，两边同时乘以（）得， 因式分解得，解得，结合，可得. 设，， ，所以在上单调递减. 则，， ， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $