第4章 平行四边形 综合练习 2025—2026学年 浙教版 数学八年级 下册

平行四边形综合练习1 一、选择题 1.下列命题是真命题的是（   ）。 A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，命题真假的判定，熟练掌握和运用各特殊四边形的判定方法是解决本题的关键。 根据特殊平行四边形的判定定理即可一一判定。 【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题； B.一组对边平行，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故该命题错误，是假命题； C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题； D.对角线相等的菱形是正方形，故该命题正确，是真命题； 故选：D。 2.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（   ）。 A．一组对边平行，另一组对边也平行 B．一组对角相等，另一组对角也相等 C．一组对边平行，一组对角相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意平行四边形的判定方法有①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判断A；根据有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可判断B；根据平行线推出，，推出，根据有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可判断C；根据等腰梯形的判定即可判断D。 【详解】解： A、， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； C、， ，， ，， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； D、根据，，可以得出四边形可能是等腰梯形，错误，故本选项符合题意； 故选：D。 3.在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件： （1），； （2），；   （3），；   （4），；   （5），。 能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组。 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定。根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可。 【详解】解：（1）由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； （2）由“，”可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （3）由“，”可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （4）由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （5）由“，．”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：B。 4.对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直。选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成一个命题，其中真命题的个数为（   ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质，根据平行四边形的判定、菱形的判定及性质逐一判定即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键。 【详解】解：①②为条件，③为结论时为真命题：对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直，故①②为条件，③为结论时为真命题； ①③为条件，②为结论时为假命题：由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分，故①③为条件，②为结论时为假命题； ②③为条件，①为结论时为真命题：对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等，故②③为条件，①为结论时为真命题； 综上，真命题的个数为个。 故选：。 5.如图，已知线段，线段和射线，且，在射线上找一点C，使四边形是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断正确的是（   ）。 甲：过点D作，与交于点C； 乙：以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 A．只有甲的作法一定可行 B．只有乙的作法一定可行 C．甲、乙的作法都一定可行 D．甲、乙的作法都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定。根据平行四边形的判定方法对两种方法进行判断。 【详解】解：甲：由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以甲的做法可行； 乙：由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以乙的做法不一定可行。 故选：A。 6.如图，和是两个完全相同的三角形，，，将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合，连接，，有下列结论： 结论1：以点，，，为顶点的四边形总是平行四边形； 结论2：当最短时，。 下列判断正确的是（   ）。 A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1、结论2都正确 D．结论1、结论2都不正确 【答案】A 【分析】当点在点，点之间时，证明四边形是平行四边形；当点在点的右侧时，证明四边形是平行四边形，即可对结论1作出判断；根据垂线段最短可得当，根据平行四边形的性质可得，即可对结论2作出判断。 【详解】解：当点在点，点之间时， ∵和是两个完全相同的三角形，，， ∴， ∴， ∴， 将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 当点在点的右侧时， ∵和是两个完全相同的三角形，，， ∴， ∴， ∴， 将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 综上所述，以点，，，为顶点的四边形总是平行四边形， ∴结论1正确； 当最短时， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与只相交不垂直， ∴结论2不正确； 综上分析可知，只有结论1正确，故A正确； 故选：A。 7.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（   ）。 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】设点A到的距离为h，根据平移的性质可得，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解。 【详解】解：设点A到的距离为h， 则， ∴， ∵沿方向平移的距离是边长的两倍， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积 故选：D。 8.如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点且 ，给出下列结论：①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤，其中正确的结论有（   ）。 A．①⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出，得出四边形是平行四边形，求出即可判断④，最后根据，即可判断⑤。 【详解】①∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③根据已知的条件不能推，故③错误； ④连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故④正确； ⑤∵， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上分析可知，正确的是①②④⑤； 故选：D。 9.如图，在中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（   ）。             甲方案     乙方案           丙方案 甲方案：在上取连接、、、    乙方案：作于点，于点．连接、 丙方案：作、分别平分、，分别交于点、，连接， A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键。 对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论。 【详解】解：甲方案：连接交于O，如图， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案： 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确； 丙方案： 在中，，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙方案正确； 故选：A。 10.如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，正确的个数是（ 　）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案。 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示： 则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误； 综上所述，正确的是①②③，共3个； 故选：B。 二、填空题 11.如图，在四边形中，、相交于点O．若，则四边形是______，理由是______。 【答案】平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，特别是对角线互相平分的四边形是平行四边形这一性质。通过给定的条件，判断四边形是平行四边形。 【详解】解：， 四边形是平行四边形，理由是：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 故答案为∶平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 12.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 。 【答案】20 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可。 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20。 13.如图，在四边形中，，垂足分别为点E，F，连接，请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 。 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，添加条件即可。 【详解】解：添加条件为：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 故答案为：。 14.如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为________。 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可。 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：。 15.已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为_______。（用含S的代数式表示） 【答案】 【分析】该题考查了平移的性质，平行四边形的性质和判定，设，则，的高为，表示出，即，根据平移的性质说明四边形是平行四边形，根据求解即可。 【详解】解：设，则，的高为， 则，即， 根据平移的性质得，和的高都为， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：。 16.如图，，以为圆心，长为半径的圆弧交射线于点，连接。若，则的度数为________。 【答案】/50度 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边对等角，根据作图可知，，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，等边对等角即可得出结果。 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 故答案为：。 17.知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）。且，、分别交于点P、Q，连结、。给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，；上述结论中，所有正确结论的序号是___________。 【答案】①③④ 【分析】根据菱形性质可以判定出四边形为平行四边形，结合等腰三角形的判定与性质可以判定出为菱形，即可判断出①②③，利用勾股定理可以求出的长从而得出结论④。 【详解】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为平行四边形，故②四边形是矩形无法判定，不符合题意； ， 垂直平分，， ， ， 为菱形， ，即 ①平分四边形的周长，正确，符合题意； ③平分，正确，符合题意； 为菱形， ，， ， 当时，， ， ，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有：①③④ 故答案为：①③④。 三、解答题 18.如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，。求证：四边形是平行四边形。 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是牢记平行四边形的判定定理。已知是的角平分线， ，易证；又由，可得，即可证得四边形是平行四边形。 【详解】证明：是的角平分线，   ，   ，   ，   ，   ；   ，   ， ∵，   四边形是平行四边形。 19.如图，在四边形中，已知，求证： （1）； （2）。 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键。 （1）运用直接证明即可； （2）由得，则，再证四边形是平行四边形，即可得出结论。 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴ （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴。 20.如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边向点C以每秒的速度运动，动点Q从点B开始沿向点A以每秒的速度运动，点P、Q分别从点D、B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。 （1）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当t为何值时，将四边形的面积分成相等的两部分？ 【答案】（1）当秒时，四边形是平行四边形； （2）当为何值时，将四边形的面积分成相等的两部分。 【分析】（1）根据，构建方程求解即可； （2）先计算得出梯形的面积，再列式计算即可求解。 【详解】（1）解：由题意得，，则，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 则有， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； （2）解：∵，，，， ∴梯形的面积为， ∵，，， 由题意得， 解得， 当为何值时，将四边形的面积分成相等的两部分。 21.如图，点、、、在同一条直线上，。连接、，判断四边形的形状，并说明理由。 【答案】四边形是平行四边形，见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理并灵活应用。 先利用线段的和差找出相等的线段，根据三边相等两个三角形全等得出，然后得出，，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论。 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形。 22.如图，某航模社团小组在一个等腰直角三角形模型板内设计一个飞机机翼模型。已知，，是边上一点（点不与、重合），按照模型要求，过点作交于点，过点作。且。连接、。 （1）用含的式子表示和的长； （2）当的长度取得最小值时，求的最小值，并求出此时的长度。 【答案】（1）； （2）的最小值为，此时 【分析】（1）本题需要利用等腰直角三角形的性质求出的长度，再通过构造矩形和直角三角形，运用勾股定理求出的表达式。 （2）连接，证明四边形为平行四边形，易得，当时，的长度取最小值，即的长度取得最小值，进一步可得此时，然后根据“平行四边形两对角线相互平分”确定的长度，即可获得答案。 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴∠DAC=∠CDA=45°， ∴， ∵， ∴， 如图，过作于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点为线段上一点， ∴当时，的长度取最小值，即的长度取得最小值， ∵，， ∴， ∴此时， 又∵， ∴，即， ∴此时， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形综合练习1 一、选择题 1.下列命题是真命题的是（   ）。 A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 2.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（   ）。 A．一组对边平行，另一组对边也平行 B．一组对角相等，另一组对角也相等 C．一组对边平行，一组对角相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 3.在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件： （1），； （2），；   （3），；   （4），；   （5），。 能判定此四边形是平行四边形的有（   ）组。 A．5 B．4 C．3 D．2 4.对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直。选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成一个命题，其中真命题的个数为（   ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 5.如图，已知线段，线段和射线，且，在射线上找一点C，使四边形是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断正确的是（   ）。 甲：过点D作，与交于点C； 乙：以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 A．只有甲的作法一定可行 B．只有乙的作法一定可行 C．甲、乙的作法都一定可行 D．甲、乙的作法都不可行 6.如图，和是两个完全相同的三角形，，，将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合，连接，，有下列结论： 结论1：以点，，，为顶点的四边形总是平行四边形； 结论2：当最短时，。 下列判断正确的是（   ）。 A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1、结论2都正确 D．结论1、结论2都不正确 7.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（   ）。 A．5 B．10 C．15 D．20 8.如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点且 ，给出下列结论：①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤，其中正确的结论有（   ）。 A．①⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤ 9.如图，在中，，为锐角，要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（   ）。             甲方案     乙方案           丙方案 甲方案：在上取连接、、、    乙方案：作于点，于点．连接、 丙方案：作、分别平分、，分别交于点、，连接， A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 10.如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，正确的个数是（ 　）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11.如图，在四边形中，、相交于点O．若，则四边形是______，理由是______。 12.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 。 13.如图，在四边形中，，垂足分别为点E，F，连接，请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 。 14.如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为________。 15.已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为_______。（用含S的代数式表示） 16.如图，，以为圆心，长为半径的圆弧交射线于点，连接。若，则的度数为________。 17.知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）。且，、分别交于点P、Q，连结、。给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，；上述结论中，所有正确结论的序号是___________。 三、解答题 18.如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，。求证：四边形是平行四边形。 19.如图，在四边形中，已知，求证： （1）； （2）。 20.如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边向点C以每秒的速度运动，动点Q从点B开始沿向点A以每秒的速度运动，点P、Q分别从点D、B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。 （1）当t为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当t为何值时，将四边形的面积分成相等的两部分？ 21.如图，点、、、在同一条直线上，。连接、，判断四边形的形状，并说明理由。 22.如图，某航模社团小组在一个等腰直角三角形模型板内设计一个飞机机翼模型。已知，，是边上一点（点不与、重合），按照模型要求，过点作交于点，过点作。且。连接、。 （1）用含的式子表示和的长； （2）当的长度取得最小值时，求的最小值，并求出此时的长度。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $