精品解析：陕西西安市第八十三中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一年级数学试题

西安市第八十三中学 2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】易知在复平面内对应的点为，位于第三象限. 2. 如图，在中，向量是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等的向量 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由图形判断；对于B，根据圆的半径为向量的模判断；对于C，由共线向量的定义判断；对于D，由相等的向量的定义判断. 【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确； 对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误； 对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误， 故选：B． 3. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得，整理得. 又因，，则得. 4. 向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 5. 在中，角､､所对的边分别为.若，则为（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系、正弦和角公式计算即可. 【详解】易知，由正弦定理可知， 即，所以， 则，即，该三角形为钝角三角形，选D. 6. 如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 7. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，，，即， 解得. 在中，，即. 故选：A. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解 【详解】在中，， 故题干条件可化为，由余弦定理得， 故，又由正弦定理化简得： ， 整理得，故或（舍去），得 为锐角三角形，故，解得，故 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的（ ） A. 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若是关于x的实系数方程的根，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD. 10. 对于三角形形状的判断，以下说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形； B. 若，则此三角形有2解 C. ，则为直角三角形. D. 若，则为钝角三角形. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用正弦定理、余弦定理，结合同角的三角函数关系式、特殊值法逐一判断即可. 【详解】A：根据正弦定理，得 ， 因为，所以， 所以或， 即，或， 因此为等腰三角形或直角三角形，所以本选项说法不正确； B：根据正弦定理，得 ， 所以存在两个解，因此本选项说法正确； C：若，显然满足，但是此时三角形是钝角三角形，所以本选项说法不正确； D：， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 所以三角形是钝角三角形，所以本选项说法正确. 11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断. 【详解】对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确； 对于B，设正的边边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，所以B错误； 对于C，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，若，，且为单位向量， 则当时，， 此时，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以有. 13. 四面体的所有棱长都为，则这个四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先判断该四面体为正四面体，将其补成正方体，利用正方体的体对角线长即正四面体的外接球的直径即可求得答案. 【详解】由题意，四面体即为正四面体，将其补成一个正方体，则正四面体的棱长即正方体的面对角线长， 故正方体的棱长为，正方体的体对角线长为， 正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长， 外接球的表面积为， 14. 将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为20的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示： ，， 在三角形中，， 由余弦定理得，． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数及. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据和为纯虚数列关于的方程组求解，求出复数； （2）求出，求出，求出，求出. 【小问1详解】 由，所以， 又为纯虚数，所以， 解得，所以复数； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故，. 16. 已知向量，. （1）若，求m的值； （2）当时，若，求的最小值. 【答案】（1）-7 （2）3 【解析】 【分析】（1）先写出的坐标，再由，求解即可； （2）根据，展开运算，利用配方法，求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，，， 所以＝＝ ＝， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3. 17. 如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【解析】 【分析】先确定旋转体的形状，再利用圆柱和圆锥的表面积公式与体积公式求解即可. 【详解】在梯形中，，， ，，， 如图，作， 由题意得四边形是矩形，故， ，， ，． 由于以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体 为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径． 圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． 设圆柱体体积为，圆锥体体积为， ，， ． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角B； （2）当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）利用余弦定理将目标转化为，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出；或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出. 【小问1详解】 由题可得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：，， 由余弦定理可得：，即. 所以，即. ， 由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以 所以，所以 解法二：由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以， 所以， 所以. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为.向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为.若，，且角的平分线，求边上的高及边上的中线长； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）高线长为，中线长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果. （2）首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过余弦定理、三角形面积公式，结合平面向量线性运算的几何性质、平面向量数量积的运算性质进行求解即可； （3）求出，设，由数量积为0列出关于的方程，结合三角函数性质即可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以函数的相伴向量； 【小问2详解】 依题意，， 由，得， 又，即，则， 因为角的平分线，且， 所以由三角形面积公式，得， 即，化简，得， 由余弦定理可得， 化简，得，解得，或舍去， 设边上的高为， 由三角形面积公式，得； 设的中点为， 所以有，平方，得 ， 所以； 【小问3详解】 由（2）知， 则， 设，由，得， 由，得，则， 即，于是． 由，得，则， 而，因此当且仅当时，和同时等于， 所以在图象上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十三中学 2025-2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，在中，向量是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等的向量 3. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角､､所对的边分别为.若，则为（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 7. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的（ ） A. 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若是关于x的实系数方程的根，则 D. 若，则的最小值为1 10. 对于三角形形状的判断，以下说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形； B. 若，则此三角形有2解 C. ，则为直角三角形. D. 若，则为钝角三角形. 11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则______． 13. 四面体的所有棱长都为，则这个四面体的外接球的表面积为__________. 14. 将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数及. 16. 已知向量，. （1）若，求m的值； （2）当时，若，求的最小值. 17. 如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角B； （2）当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为.向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为.若，，且角的平分线，求边上的高及边上的中线长； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $