精品解析：四川眉山市仁寿县仁寿中学、龙正中学 、汪洋中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷

2024级第四学期期中质量检测数学试卷 出题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分； 2．本堂考试120分钟，满分150分； 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂； 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式可求. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则， 故含的项的系数为. 故选：A 3. 用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（ ）个 A. 504 B. 648 C. 720 D. 1000 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先排百位数字，再排个位和十位数字，结合排列数公式，即可求解. 【详解】先排百位数字共有9种可能，再排个位数字和十位数字，共有种， 由分步计数原理得，共有 4. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】按两类情况分组讨论即可. 【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 7. 被7除所得的余数为4，则实数m可以为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】 展开得， 展开式中前项均含因子，能被整除，仅最后一项， 因此除以的余数为1， 因为被除余，所以，， 所以，所以可以为3. 8. 定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据满足的条件构造函数，求导说明在上单调递减，再由，，可得. 【详解】，， 又，所以， 令，则， 故在上单调递减， ， ，，， 因为在上单调递减，所以， 即，又，所以 ， 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在的二项展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项是60 B. 各项系数之和是64 C. 二项式系数最大值是20 D. 不含的项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，二项展开式通项为，对于A，当时即为常数项，再计算判断即可；对于B，利用赋值法求各项系数之和即可；对于C，由可知二项式系数最大值是；对于D，根据，令，解得即可判断． 【详解】对于A，二项展开式通项为， 当时，，所以常数项是60，故A正确； 对于B，当时，，所以各项系数之和是1，故B错误； 对于C，，二项式系数最大值是，故C正确； 对于D，， 当时，解得，所以二项展开式中含的项，故D错误． 故选：AC． 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C. 甲乙不相邻的排法种数为70种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项，结合捆绑法和倍缩法计算即可求解. 【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体， 与丙，丁，戊全排列，有种排法，故A正确； 对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，故B错误； 对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排， 再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，故C错误； 对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法， 甲乙丙全排列有种排法， 则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确． 故选：AD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若函数恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解. 【详解】由题意可知：. 对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确； 对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在定义域内单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为， 当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D正确. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为_______ 【答案】 ## 【解析】 【详解】从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，共种情况. 两个球都是红色的，共.两个球都是白色的，共. 因此概率为. 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导判断函数在上单调递增，再利用奇函数性质将不等式转化为，解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】函数的定义域为，，即是奇函数， 求导得，∴在上单调递增， 由，得，∴，解得. 14. 函数的两个极值点、满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】由得， 由得， 因为函数两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 所以，所以，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在及处取得极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）在上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点得导数零点，结合韦达定理可求； （2）根据（1）的结果得到在上的单调性，从而可得最值. 【小问1详解】 ，因为在及处取得极值， 故有两个解及，故，故， 此时， 当或时，；当时，， 故在及处取得极值，符合题设，故. 【小问2详解】 由（1）可得且在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，而，， ，. 故在上的最大值为，最小值为. 16. 高二某班计划从3名男生，3名女生中选出3人参加社会实践活动． （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？ （3）若要求选出的3人中有2名男生1名女生，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】（1）20 （2）19 （3）54 【解析】 【小问1详解】 从6名学生中选出3人不同的选择方法有种； 【小问2详解】 选出的3人中至少有1名男生，不同的选择方法有种； 【小问3详解】 选出的3名学生中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作不同的选择方法 有种； 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用组合数的计算公式，化简得，即可求解； （2）求得二项展开式的通项，得到为正数，为负数，分别令和，即可求得的值． （3）由（1）得到，两边求导，再令，即可求解. 【小问1详解】 解：由组合数的计算公式，可得， 即，解得或（舍去）． 【小问2详解】 解：二项式展开式的通项公式为， 由 二项式展开式中的系数为, 当为偶数时，；当为奇数时， 令，可得， 令，可得，即， 所以． 【小问3详解】 解：由（1）知，可得 两边求导得 可得， 令，代入得， 所以． 18. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明：由（2）知，当时，，则， 所以， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 则，即，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性； （2）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）结合（2）可得，进而证明即可求证. 【小问1详解】 当时，，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，则的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数（）. （1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（ⅰ）可知，，所以， 又函数在单调递增，，，， 所以， 又，所以，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）转化为无变号零点，利用导数求解即可； （2）（i）转化为函数有三个零点，进而转化为有两个不相等的正根，根据单调性和零点存在性定理即可求解；（ii）根据，的关系，，结合的单调性，结合（i）中的两根关系、a的取值范围即可得证. 【小问1详解】 （），令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点. 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 由上可知，，∴. 【小问2详解】 （ⅰ）（，）， （，），令，则， 因为有三个不同的极值点，即有三个变号零点， 所以必有两个不相等的正根， 所以方程必有两个不相等的正根， 记为，则，且， 由得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，且，所以必有，且为极小值点，，且为极大值点. ，当时，，在上有唯一零点， 因为，， 必有为极大值点. 综上，当且仅当时，有三个不同的极值点，即a的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级第四学期期中质量检测数学试卷 出题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分； 2．本堂考试120分钟，满分150分； 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂； 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 3. 用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（ ）个 A. 504 B. 648 C. 720 D. 1000 4. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 7. 被7除所得的余数为4，则实数m可以为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在的二项展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项是60 B. 各项系数之和是64 C. 二项式系数最大值是20 D. 不含的项 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C. 甲乙不相邻的排法种数为70种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若函数恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为_______ 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为______. 14. 函数的两个极值点、满足，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在及处取得极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16. 高二某班计划从3名男生，3名女生中选出3人参加社会实践活动． （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？ （3）若要求选出的3人中有2名男生1名女生，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？ 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 19. 已知函数（）. （1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $