解三角形 课件-2026届高三数学二轮复习

3.3 解三角形 新高考数学二轮专题复习 同学，解三角形是高考数学中的核心考点之一，让我们梳理下近年高考都是如何考查的，高效备考. 考情分析 考查方式 五年真题统计 正余弦定理的应用 2025天津卷，2024北京卷、天津卷、新课标I、II卷， 2023全国甲卷、乙卷，2022年天津卷 正余弦定理的综合 2025北京卷，2023新课标I卷，2022年上海卷、全国乙卷 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将正余弦定理，三角恒等变换，三角函数性质和三角形面积，中线、角平分线等综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深入理解概念、熟练运用公式． 考点剖析 知识梳理 知识点1 正余弦定理的应用 1．正弦定理：在中，若角和所对边的边长分别为和，则有． 2．正弦定理的变形： ①② ③ ④，，（可实现边到角的转换） ⑤，，（可实现角到边的转化） 知识梳理 3．余弦定理及其变形 ① ② ③ 知识点1 正余弦定理的应用 知识梳理 知识点2 正余弦定理的综合 三角形中线问题 1．如图在中，为的中点， 2． 知识梳理 知识点2 正余弦定理的综合 三角形角平分线问题 在中， 平分，内角，，的对边分别为，， 1．内角平分线定理：或 2．角互补： 在中有： 在中有： 解析 典型例题 正余弦定理的应用 考点1 例1 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． （1）， 即：，由正弦定理可得：， ，，. （2）由（1）知，，所以由，得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． 正弦定理边角互化 辅助角公式化简 解析 典型例题 正余弦定理的应用 考点1 例2 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求. （1）由正弦定理得： 即整理，得 因为，则又， （2）由正弦定理得： ， ，， 即，所以 正弦定理边角互化 三角恒等变换 解析 典型例题 正余弦定理的应用 考点1 例3 已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④. （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） （1）由①得，，所以， 由②得，得或（舍），所以， 因为，且，所以，所以，矛盾. 所以不能同时满足①，②.故满足①，③，④或②，③，④. 二倍角公式应用 解析 典型例题 正余弦定理的应用 考点1 例3 已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④. （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） （2）若满足①，③，④，因为，所以，即.解得.所以的面积. 若满足②，③，④由正弦定理，即，解得， 所以，所以的面积. 解析 典型例题 正余弦定理的应用 考点1 例4 已知的三个内角，，所对的边分别为，，. （1）若，求； （2）若，试判断的形状. （1）∵，∴，，∴， ∴，∴，∴或（舍去）， ∴，∴. （2）∵，∴，， ∴或，，为锐角.∴（舍去），∴， ∴为直角三角形. 同角三角函数关系式应用 解析 典型例题 正余弦定理的应用 考点1 例5 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 . （1）求b； （2）求内切圆的半径. （1）由，得，则 又 ，所以. 由余弦定理得，， 即，即，解得或5. 若 ，则为等腰直角三角形，与矛盾，舍去，故. （2）当时，的面积为，则内切圆的半径. 二倍角公式和边角互化 解析 典型例题 正余弦定理的应用 考点1 例6 在中，角、、所对的边分别为、、，且，. （1）求角的大小； （2）若，，求及的面积. （1），，由正弦定理可得， 又，，， ，， 所以，故. （2），，由余弦定理可得：， 即，解得或（舍去），故. 所以. 边角互化 解析 典型例题 例7 如图所示，在中， 的对边分别为a，b，c， 已知 ，. （1）求b和；（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积. （1）因为，所以在中，由正弦定理， 得，因为，所以，所以， 又，则， 由余弦定理得 ，所以， 在中，由正弦定理，所以 ； 边角互化 正余弦定理的综合 考点2 解析 典型例题 （2）在中，由正弦定理得，，因为，所以， 因为，所以，而所以， 由，设 ，所以，所以，所以， 因为 ， 所以 . 设t换元，解方程 例7 如图所示，在中， 的对边分别为a，b，c， 已知 ，. （1）求b和；（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积. 正余弦定理的综合 考点2 解析 典型例题 例8 的内角的对边分别为，且. （1）求；（2）若，点为边的中点，且，求的面积. （1）由，可得， 由余弦定理可得，故 （2）因为为的中线，所以， 两边同时平方可得， 故.因为，所以. 所以的面积. 边角互化 中线向量表达式 正余弦定理的综合 考点2 解析 典型例题 例9 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求A及a；（2）若，求BC边上的高. （1） ； ，，. （2）由余弦定理得 设BC边上的高为. 即BC边上的高为. 边角互化 等面积法 正余弦定理的综合 考点2 解析 典型例题 例10 如图，在四边形 中，，平分，， ，的面积为，为锐角. (I)求；(II)求 . (I)在中，. 因为 ，所以. 因为为锐角，所以. 在 中，由余弦定理得 所以CD的长为.   正余弦定理的综合 考点2 解析 典型例题 例10 如图，在四边形 中，，平分，， ，的面积为，为锐角. (I)求；(II)求 . (II)在中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ， 也为锐角. . 在 中，由正弦定理得 ，即      ① 在 中，由正弦定理得 ，即      ② 平分 ， ，由①②得 ，解得 因为为锐角，所以 . 角平分线性质 正余弦定理的综合 考点2 解析 典型例题 选择①： 所以； 由余弦定理可得 所以 例11 在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求. 如图，在平面四边形中，， ，______，，求. 正余弦定理的综合 考点2 解析 典型例题 例11 在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求. 如图，在平面四边形中，， ，______，，求. 选择②：设，则，， 在中，即所以 在中，，即所以. 所以，解得， 又，所以，所以. 设元，根据AC相等， 构造方程，解方程. 正余弦定理的综合 考点2 再见 $