题型专练课件 2026年中考数学专题复习（山东）

该初中数学中考复习课件聚焦“规律探究题”核心考点，涵盖数字、式子、图形、坐标中的规律四大类型，结合近三年中考真题分析考查分布，归纳周期数列、图形计数、坐标变换等典型题型，对接中考说明要求，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+方法归纳+对点训练”模式，如2024扬州中考斐波那契数列题通过周期分析培养数学思维，2025重庆图形规律题总结通项公式发展推理能力。帮助学生掌握从特殊到一般的解题技巧，教师可依此系统规划复习，提升学生中考得分率。

专题八　跨学科融合应用 类型1函数性质的跨学科应用 考向1　电学应用 1.(2025·辽宁中考)在电压不变的情况下,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比 例函数关系.当R=4时,I=5.则电流I与电阻R之间的函数表达式为I=______.   　 ‹#› 2.(2024·吉林中考)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示. (1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围). (2)当电阻R为3 Ω时,求此时的电流I. ‹#› 【解析】(1)设I=, 由题意得:U=RI=36, ∴这个反比例函数的解析式为I=; (2)电阻R为3 Ω时,I==12 A. ‹#› 3.【背景】在一次物理实验中,小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池,通过调节 滑动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2 Ω)亮度的实验(如 图),已知串联电路中,电流与电阻R,RL之间关系为I=,通过实验得出如下数据: R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1)a=_______,b=_______;  (2)【探究】根据以上实验,构建出函数y=(x≥0),结合表格信息,探究函数y=(x≥0)的图象与性质. ‹#› ①在平面直角坐标系中画出对应函数y=(x≥0)的图象; ②随着自变量x的不断增大,函数值y的变化趋势是_______.  (3)【拓展】结合(2)中函数图象分析,当x≥0时,≥-x+6的解集为_______.  ‹#› 【解析】(1)根据题意,3=,b=, ∴a=2,b=1.5; 答案:2　1.5 (2)①根据表格数据描点,在平面直角坐标系中画出对应函数y=(x≥0)的图 象如图: ②由图象可知,随着自变量x的不断增大,函数值y的变化趋势是不断减小; 答案:不断减小 ‹#› (3)如图: 由函数图象知,当x≥2或x=0时,≥-x+6,即当x≥0时,≥-x+6的解集为x≥2或x=0. 答案:x≥2或x=0 ‹#› 考向2　力学应用 1.(2025·大连模拟)根据物理学知识,作用于物体上的压力F(N)所产生的压强p(Pa) 与物体受力面积S(m2)三者之间满足p=.若压力为100 N时,压强要大于1 000 Pa, 则此时关于S的说法正确的是( ) A.S小于0.1 m2 B.S大于0.1 m2 C.S小于10 m2 D.S大于10 m2 A ‹#› 2.(2023·南通中考)某型号汽车行驶时功率一定,行驶速度v(单位:m/s)与所受阻力 F(单位:N)是反比例函数关系,其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶 时速度为30 m/s,则所受阻力F为__________N.  　2 500　 ‹#› 3.(2023·扬州中考)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内 气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数,且当V=3m3时,p=8 000Pa.当气 球内的气体压强大于40 000Pa时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,气球的体积应 不小于________m3.  　0.6　 ‹#› 4.(2023·台州中考)科学课上,同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(单位:cm)是液体的密度ρ(单位:g/cm3)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时,h=20 cm. (1)求h关于ρ的函数解析式; (2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ. ‹#› 【解析】(1)设h关于ρ的函数解析式为h=,把ρ=1,h=20代入解析式,得k=1×20=20,∴h关于ρ的函数解析式为h=; (2)把h=25代入h=,得25=, 解得ρ=0.8. 答:该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. ‹#› 考向3　光学应用 如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2. (1)求y关于x的函数解析式. (2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离. ‹#› 【解析】(1)由题意设,y=,把x=6,y=2代入,得k=6×2=12, ∴y关于x的函数解析式为y=; (2)把y=3代入y=,得,x=4, ∴小孔到蜡烛的距离为4 cm. ‹#› 考向4　电磁学应用 笑笑同学通过学习数学和物理知识,知道了电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.已知波长λ与频率f是反比例函数关系,下面是它们的部分对应值: 频率f(MHz) 10 15 50 波长λ(m) 30 20 6 (1)求波长λ关于频率f的函数解析式; (2)当f=75 MHz时,求此电磁波的波长λ. ‹#› 【解析】(1)设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=(k≠0), 把点(10,30)代入上式中得:=30, 解得k=300, ∴λ=; (2)当f=75 MHz时,λ==4(m). ∴当f=75 MHz时,此电磁波的波长λ为4 m. ‹#› 类型2函数图象的跨学科应用 考向1　力学应用 如图,取一根长100 cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来,在中点O的左侧距离中点 O25 cm(L1=25 cm)处挂一个重9.8 N(F1=9.8 N)的物体,在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处 于水平状态,弹簧秤与中点O的距离L(单位:cm)及弹簧秤的示数F(单位:N)满足FL=F1L1,以L的数值为横 坐标,F的数值为纵坐标建立直角坐标系.则F关于L的函数图象大致是( ) B ‹#› 考向2　化学应用 1.(2022·江西中考)甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系 如图所示,则下列说法中,错误的是( ) A.甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B.当温度升高至t2℃时,甲的溶解度比乙的溶解度大 C.当温度为0℃时,甲、乙的溶解度都小于20 g D.当温度为30℃时,甲、乙的溶解度相等 D ‹#› 2.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒 精气体传感器是一种气敏电阻(图1中的R1),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而 变化(如图2),血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的 是( ) A.呼气酒精浓度K越大,R1的阻值越小 B.当K=0时,R1的阻值为100 Ω C.当K=10时,该驾驶员为非酒驾状态 D.当R1=20时,该驾驶员为醉驾状态 C ‹#› 类型3概率的跨学科应用 考向1　化学应用 (2024·临夏州中考)物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A,B,C,D四张卡片,四张卡片除图片内容不同外,其他没有区别,放置于暗箱中摇匀. (1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是_______;  (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率. ‹#› 【解析】(1)由题意知,共有4种等可能的结果,其中抽中C卡片的结果有1种, ∴抽中C卡片的概率是. 答案: (2)四张卡片内容中是化学变化的有:A,D, 画树状图如下: 共有12种等可能的结果,其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有:AD,DA,共2种, ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为=. ‹#› 考向2　英语应用 (2025·内江中考)在英文单词“banana”中任选一个字母,字母“a”被选中的概率 是_____.  考向3　电学应用 (2025·信阳二模)如图,电路图上有1个电源,4个开关和1个完好的小灯泡,随机闭 合2个开关,则小灯泡发光的概率为( ) A. B. C. D.  　 B ‹#› 类型4统计的跨学科应用 考向　生物应用 宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩,从两块试验地中各随机抽取10棵,对其产量(千克/棵)进行整理分析.下面给出了部分信息: 甲品种:2.0,3.2,3.1,3.2,3.1,2.5,3.2,3.6,3.8,3.9 乙品种:如图所示 品种 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 a 3.2 0.29 乙品种 3.16 3.3 b 0.15 ‹#› 根据以上信息,完成下列问题: (1)填空:a=_______,b=_______;  (2)若乙品种种植300棵,估计其产量不低于3.16千克的棵数; (3)请从某一个方面简要说明哪个品种更好. ‹#› 【解析】(1)把甲品种的产量从小到大排列: 2.0,2.5,3.1,3.1,3.2,3.2,3.2,3.6,3.8,3.9,中位数是=3.2, 乙品种的产量3.5千克的最多,有3棵,所以众数为3.5. 答案:3.2　3.5 (2)300×=180(棵); 答:估计其产量不低于3.16千克的棵数有180棵. (3)(答案不唯一)因为甲品种的方差为0.29,乙品种的方差为0.15,所以乙品种更好,产量稳定. ‹#› 类型5几何的跨学科应用 考向1　光学应用 1.(2025·达州中考)如图,一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后,其折射光线的 反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1+∠2=35°,则∠AFB的度数为( ) A.35° B.55° C.70° D.145° A ‹#› 2.(2024·安徽中考)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图,光线自点B处发出,经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α=36.9°,点B到水面的距离BC=1.20 m,点A处水深为1.20 m,到池壁的水平距离AD=2.50 m.点B,C,D在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β,折射角为γ,求的值(精确到0.1).参考数据:sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75. ‹#› 【解析】过点E作EH⊥AD于点H, 由题意可知,∠CEB=α=36.9°,EH=1.20 m, ∴CE=≈=1.60(m),AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(m), ∴AE===1.50(m), ∴sinγ===0.60, ∵sinβ=sin∠CBE==cos∠CEB=cos α≈0.80,∴≈≈1.3. ‹#› 考向2　力学应用 (2024·福建中考)无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意图,已知 帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°,风对帆 的作用力F为400 N.根据物理知识,F可以分解为两个力F1与F2,其中与帆平行的力F1不起作用, 与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2与航行方向 一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小,据此,建立数学 模型:F=AD=400,则f2=CD=_________.(单位:N)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77)  　128　 ‹#› 考向3　化学应用 (2024·广东中考)综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示: ①一张直径为10 cm的圆形滤纸; ②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗. ‹#› 【实践操作】 步骤1:取一张滤纸; 步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸; 步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形; 步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中. 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明. (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π) ‹#› 【解析】(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下: 方法一:如图作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm, 折叠后CD=CE=×10=5(cm), ∵底面周长=×10π=5π(cm), ∴DE·π=5π,∴DE=5,∴==, ∴△CDE∽△CAB, ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. ‹#› 方法二:由2πr=得,=, 图3中,n1=90°×2=180°, 图4中,==,∴n2=180°, ∵n1=n2, ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. ‹#› (2)由(1)知CD=DE=CE=5 cm, ∴∠CDE=60°, 过C作CF⊥DE于点F,则DF=DE= cm, 在Rt△CDF中,CF== cm, ∴V=π·()2××=π(cm3). 即滤纸围成圆锥形的体积是π cm3. ‹#› 本课结束 ‹#› $专题七　综合与实践 类型1动手操作型 例1　(2024·广东中考)如图,在△ABC中,∠C=90°. (1)实践与操作:用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D;(保留作图痕迹,不要求写作法) (2)应用与证明:在(1)的条件下,以点D为圆心,DC长为半径作☉D.求证:AB与☉D相切. ‹#› 【解析】(1)如图,AD即为所求. (2)过点D作DE⊥AB于点E, ∵AD平分∠BAC,∠C=90°, ∴DE=CD. ∵DE为☉D的半径,∴AB与☉D相切. ‹#› 【对点训练】 1.(2025·江西中考)如图,在6×5的正方形网格中,点A,B,C均在格点上,请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.(保留作图痕迹) (1)在图1中作出BC的中点; (2)在图2中作出△ABC的重心. ‹#› 【解析】(1)如图1,点D即为所求. (2)如图2,分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交于点O,则点O即为所求. ‹#› 2.(2025·河南中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,以BC为直径的圆交AD于点E. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法). (2)若点E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形. ‹#› 【解析】(1)如图所示,∵BC是直径, ∴运用尺规作直径BC的垂直平分线交BC于点O, ∴点O即为所求点的位置. (2)如图所示, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵点O,E分别是BC,AD的中点, ∴AE∥OC,AE=AD,OC=BC,即AE=OC, ∴四边形AOCE是平行四边形. ‹#› 类型2测量探究型 例2　(2025·山西中考)项目学习 项目背景:“源池泉涌”为我省某景区的一个景点,主体设计包括外栏墙与内栏墙,外栏墙高于内栏墙,两栏中间为步道,内栏墙内为泉池,池内泉水清澈见底.从正上方看,外栏墙呈正八边形,内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动,形成了如下活动报告. ‹#› 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动 过程 方案 说明 图1为该景点俯视图的示意图,点A,D是正 八边形中一组平行边的中点,BC为圆的 直径,图中点A,B,C,D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图,直径BC所在水平 直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙AE与DF均与水平地面垂直,且AE=DF,BE,CF均表示步道的宽,BE=CF,图中各点都在同一竖直平面内 ‹#› 活动 过程 数据 测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°, ∠DAC=8.5°,AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流 展示 …… ‹#› 请根据上述数据,计算内栏墙围成泉池的直径BC的长(结果精确到1米.参考数据:sin 8.5°≈0.15,cos 8.5°≈0.99,tan 8.5°≈0.15,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37° ≈0.75). ‹#› 【解析】由题意得,∠AEF=90°,四边形AEFD为矩形, ∴EF=AD=26米,AD∥EF,∴∠ABE=∠DAB=37°,∠ACE=∠DAC=8.5°, 设BE=CF=x米,则CE=(26-x)米,BC=(26-2x)米, 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠ABE=,∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan 37°, 在Rt△ACE中,∠AEC=90°,tan∠ACE=, ∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan 8.5°, ∴x·tan 37°=(26-x)·tan 8.5°,解得x≈,∴BC=26-2×≈17(米), 答:内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米. ‹#› 【对点训练】 1.(2024·威海中考)某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动,活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角.测量报告如下表(尚不完整). ‹#› 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长:××× 组员:×××,×××,××× 测量工具 竹竿,米尺 测量 示意 图 说明:AC是一根笔直的竹竿.点D是竹竿上一点,线段DE的长度是点D到地面的距离.∠α是要测量的倾斜角 测量数据   …… ……   ‹#› (1)设AB=a,BC=b,AC=c,CE=d,DE=e,CD=f,BE=g,AD=h,请根据表中的测量示意图,从以上线段中选出你认为需要测量的数据,把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏. (2)根据(1)中选择的数据,写出求∠α的一种三角函数值的推导过程. (3)假设sin α≈0.86,cos α≈0.52,tan α≈1.66,根据(2)中的推导结果,利用计算器求出 ∠α的度数.你选择的按键顺序为_______.  ‹#› 【解析】(1)需要的数据为:AB=a,AC=c,DE=e,CD=f; (2)过点A作AM⊥CB于点M,如图,则∠AMB=90°, ∵DE⊥CB, ∴DE∥AM, ∴△CDE∽△CAM, ∴=,即=, ∴AM=, ∴sin α===; ‹#› (3)∵sin α=, ∴按键顺序为 . 答案:① ‹#› 2.(2024·山东中考)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离. 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点B.测量A,B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA,测量三次取平均值,得到数据:AB=60米, ∠PAB=79°,∠PBA=64°.画出示意图,如图1. ‹#› 【问题解决】(1)计算A,P两点间的距离. (参考数据:sin 64°≈0.90,sin 79°≈0.98,cos 79°≈0.19,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案: 如图2,选择合适的点D,E,F,使得A,D,E在同一条直线上,且AD=DE,∠DEF= ∠DAP,当F,D,P在同一条直线上时,只需测量EF即可. (2)乙小组的方案用到了_______.(填写正确答案的序号)  ①解直角三角形　　　②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案. ‹#› 【解析】(1)如图,过B作BH⊥AP于H, ∵AB=60米,∠PAB=79°,sin 79°≈0.98,cos 79°≈0.19, ∴AH=AB·cos 79°≈60×0.19=11.4(米), BH=AB·sin 79°≈60×0.98=58.8(米), ∵∠PAB=79°,∠PBA=64°, ∴∠APB=180°-79°-64°=37°, ∴tan∠APB=tan 37°=≈0.75,∴PH≈=78.4(米), ∴AP=AH+PH=11.4+78.4=89.8(米), 即A,P两点间的距离为89.8米. ‹#› (2)∵AD=DE,∠DEF=∠DAP,当F,D,P在同一条直线上时, ∴∠ADP=∠EDF, ∴△ADP≌△EDF(ASA), ∴AP=EF, ∴只需测量EF即可得到AP长度, ∴乙小组的方案用到了②. 答案:② ‹#› 类型3拓展应用型 例3　(2024·达州中考)在学习特殊的平行四边形时,我们发现正方形的对角线等于边长的倍,某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现,具体如下:如图1. (1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO, ∴AB2=AO2+BO2. 又∵AC=2AO,BD=2BO, ∴AB2=_______+_______.  化简整理得AC2+BD2=_______.  ‹#› [类比探究] (2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系. [拓展应用] (3)如图3,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,点E为AO的中点,点F为BC的中点,连接EF,若AB=8,BD=8,AC=12,直接写出EF的长度. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO, ∴AB2=AO2+BO2, 又∵AC=2AO,BD=2BO, ∴AB2=AC2+BD2, 化简整理得AC2+BD2=4AB2, 答案:AC2　BD2　4AB2 ‹#› (2)AC2+BD2=2AB2+2AD2.理由如下: 如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F, ∴∠DEA=∠DEB=∠CFB=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC, ∴∠DAE=∠CBF, 在△DAE和△CBF中, ‹#› ∴△DAE≌△CBF(AAS), ∴AE=BF,DE=CF,在Rt△DBE中,DB2=DE2+BE2=DE2+(AB-AE)2, 在Rt△CAF中,AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF)2, ∴AC2+BD2=DE2+(AB-AE)2+CF2+(AB+BF)2 =2DE2+AB2-2AB·AE+AE2+AB2+2AB·AE+AE2 =2(DE2+AE2)+2AB2 =2AD2+2AB2, ∴AC2+BD2=2AB2+2AD2; ‹#› (3)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=8,BD=8,AC=12, ∴由(2)可得AC2+BD2=2AB2+2AD2, ∴122+82=2×82+2AD2, 解得AD=2(负值舍去), ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8, ∴BC=AD=2,OA=OC=6,OB=OD=BD=4, 如图所示,过点E,O分别作BC的垂线,垂足分别为M,G,连接OF, ‹#› ∵O,F分别为AC,BC的中点, ∴OF=AB=4=OB=BD, ∵OG⊥BF, ∴BG=GF=BF, ∵F是BC的中点, ∴BF=BC, ∴BG=GF=BF=BC=, ∴CG=BC-BG=, ‹#› 在Rt△OGC中,OG⊥BC, ∴OG===, ∵E为AO的中点, ∴OE=OA, ∵AO=OC, ∴OE=OC, ∴=,=, ∵EM⊥BC,OG⊥BC,∴EM∥OG, ‹#› ∴==, ∵MG=CG=, ∴MF=MG+GF=+=, ∵EM∥OG, ∴△COG∽△CEM, ∴EM=OG=, ∴==,在Rt△EMF中,EF===. ‹#› 【对点训练】 1.(2025·贵州中考)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P为线段AC上一动点,点E为射线BP上的一点(点E与点B不重合). 【问题解决】 (1)如图①,若点P与线段AC的中点O重合,则∠PBC=_______度,线段BP与线段AC的位置关系是_______;  ‹#› 【问题探究】 (2)如图②,在点P运动过程中,点E在线段BP上,且∠AEP=30°,∠PEC=60°,探究线段BE与线段EC的数量关系,并说明理由; 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中,将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若BE=2FG,AB=5,求AP的长. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD, ∵∠ABC=60°, ∴△ABC为等边三角形, ∵点P与线段AC的中点O重合, ∴∠PBC=∠ABC=30°,BP⊥AC. 答案:30　垂直 ‹#› (2)CE=2BE,理由:如图,把△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ, ∴BE=BQ,∠EBQ=60°,∠AEB=∠BQC, ∴△BEQ为等边三角形, ∴∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, ∵点E在线段BP上,且∠AEP=30°,∠PEC=60°, ∴∠AEB=150°,∠BEC=180°-60°=120°, ∴∠CEQ=∠BEC-∠BEQ=60°,∠AEB=∠BQC=150°, ∴∠EQC=150°-60°=90°, ∴∠ECQ=90°-60°=30°, ∴CE=2EQ=2BE. ‹#› (3)如图,当P在线段OA上,记BP与AD交于点H, ∵在菱形ABCD中,AH∥BC, ∴∠AHB=∠CBH. ∵∠ABC=60°, ∴∠BAD=120°=∠BEG, ∴△HAB∽△BEG, ∴=. 设FG=x,则EF=BE=2x, ∴EG=3x,∴=,∴AH=. ‹#› ∵AD∥BC, ∴△APH∽△CPB, ∴=,∴==,∴AP=AC. ∵△ABC为等边三角形, ∴AC=AB=5,∴AP=5×=2. 如图,当P在线段OC上时,延长AD交BP于H, 同理可得△BAH∽△GEB, 设BE=EF=2m, ‹#› ∵BE=2FG,∴GF=EG=m, ∴===, ∴AH=10, ∵AD∥BC, ∴△APH∽△CPB, ∴==2, ∴AP=AC=×5=. 综上,AP的长为2或. ‹#› 2.(2025·达州中考)综合与实践 问题提出:探究图形中线段之间的数量关系,通常将一个图形分割成几个图形,根据面积不变,获得线段之间的数量关系. 探究发现:如图1,在△ABC中,AC=BC,P是AB边上一点,过点P作PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,过点A作AF⊥BC于F,连接CP,由图形面积分割法得:= +_______,则AF=_______+_______;  实践应用:如图2,△ABC是等边三角形,AC=3,点G是AB边上一点.连接CG,将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF,连接GF交BC于P,过点P作PD⊥GC于D,PE⊥CF于E,当AG=1时,求PD+PE的值; ‹#› 拓展延伸:如图3,已知AB是半圆O的直径,AC,BE是弦,AC=BE,P是AB上一点,PD⊥AC,垂足为D,AB=10,AD=2,BD=4,求+的值. ‹#› 【解析】探究发现:由题图1可知=+ =AC·PD+BC·PE =BC·(PD+PE) =BC·AF, ∴AF=PD+PE. 答案:S△APB　PD　PE ‹#› 实践应用:如图,过点G作GM⊥AC于点M, ∵△ABC为等边三角形, ∴∠A=60°.∵Rt△AMG中,AG=1, ∴AM=AG·cos 60°=,GM=AG·sin 60°=, ∵AC=3, ∴CM=AC-AM=. 在Rt△CGM中,CG==, ∵线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF, ‹#› ∴CG=CF,∠GCF=60°, ∴△CGF为等边三角形, ∴GF=CF=CG=,∠F=60°, 过点G作GN⊥CF于点N, 在Rt△GFN中,GN=GF·sin 60°=, 由探究发现可知PD+PE=GN=. 拓展延伸:如图,延长AC,BE交于点Q,连接BC,过点P作PM⊥BE于点M, ‹#› 设CD=x,则AC=2+x, ∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵AB=10,BD=4, ∴在Rt△ACB中,BC2=AB2-AC2=100-(2+x)2, 在Rt△BCD中,BC2=BD2-CD2=(4)2-x2, ∴100-(2+x)2=(4)2-x2,解得x=4. ∵BE=AC=2+4=6, ∴=,∴+=+,即=, ‹#› ∴∠ABE=∠BAC, ∴△ABQ为等腰三角形, ∵AC⊥DP,BC⊥AC,PM⊥BE, ∴由探究发现可知BC=PD+PM, 在Rt△ABC中,BC==8, ∴PD+PM=8, ∴S△PAC+S△PBE=AC·PD+BE·PM =×6PD+×6PM=3(PD+PM) =3×8=24.   ‹#› 本课结束 ‹#› $专题四　阅读理解问题 类型1新定义型 例1　(2024·宜宾中考)如果一个数等于它的全部真因数(含单位1,不含它本身) 的和,那么这个数称为完美数.例如:6的真因数是1,2,3,且6=1+2+3,则称6为完美 数.下列数中为完美数的是( ) A.8 B.18 C.28 D.32 C ‹#› 【对点训练】 1.(2025·威海中考)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.在四边 形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.下列条件中,不能判断四边形ABCD是筝形 的是( ) A.BO=DO,AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC,BO=DO D ‹#› 2.(2024·内江中考)一个四位数,如果它的千位与十位上的数字之和为9,百位与个 位上的数字之和也为9,则称该数为“极数”.若偶数m为“极数”,且是完全平方数, 则m=_________________.  　1 188或4 752　 ‹#› 3.(2024·乐山中考)定义:函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫 做这个函数图象的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数y=x+1图象的“近轴点”. (1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是________(填序号);  ①y=-x+3;②y=; ③y=-x2+2x-1. (2)若一次函数y=mx-3m的图象上存在“近轴点”,则m的取值范围为 ____________________.  　③　 　0<m≤或-≤m<0　 ‹#› 类型2新运算型 例2　(2025·泸州中考)对于任意实数a,b,定义新运算:a※b=,给出下 列结论: ①8※2=8; ②若x※3=6,则x=6; ③a※b=(-a)※(-b); ④若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为x>. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B ‹#› 【对点训练】 1.(2024·眉山中考)定义运算:a⊗b=(a+2b)(a-b),例如4⊗3=(4+2×3)×(4-3),则函 数y=(x+1)⊗2的最小值为( ) A.-21 B.-9 C.-7 D.-5 B ‹#› 2.(2024·威海中考)定义新运算:①在平面直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出 发,沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移|a|个单位长度,再沿着y轴正方向(b≥0) 或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.例如,动点从原点出发,沿着x轴负方向平移2个 单位长度,再沿着y轴正方向平移1个单位长度,记作{-2,1}. ②加法运算法则:{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d为实数. 若{3,5}+{m,n}={-1,2},则下列结论正确的是( ) A.m=2,n=7 B.m=-4,n=-3 C.m=4,n=3 D.m=-4,n=3 B ‹#› 本课结束 ‹#› $专题五　图形变换问题 类型1图形的平移变换 例1　(2024·上海中考)在平面直角坐标系中,已知平移抛物线y=x2后得到的新抛物线经过A(0,-)和B(5,0). (1)求平移后新抛物线的解析式; (2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q; ①如果PQ小于3,求m的取值范围; ②记点P在原抛物线上的对应点为P',如果四边形P'BPQ有一组对边平行,求点P的坐标. ‹#› 【解析】(1)设平移抛物线y=x2后得到的新抛物线为y=x2+bx+c, 把A(0,-)和B(5,0)代入, 可得,解得, ∴新抛物线的解析式为y=x2-x-. ‹#› (2)①如图,设Q(x,x2),则P(x,x2-x-), ∴PQ=x2-x2+x+=x+, ∵PQ小于3, ∴x+<3,∴x<1, ∵x=m(m>0), ∴0<m<1. ‹#› ②y=x2-x-=(x-2)2-3, ∴平移方式为:向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度, 由题意可得:点P在点B的右边,当BP'∥PQ时, ∴BP'⊥x轴, ∴xP'=xB=5, ∴P'(5,), 由平移的性质可得,P(5+2,-3),即点P的坐标为(7,). 如图,当P'Q∥BP时,直线QP交x轴于点T,则∠P'QT=∠BPT,过P'作P'S⊥QP于点S, ‹#› ∴∠P'SQ=∠BTP=90°,∴△P'SQ∽△BTP, ∴=, 设P'(x,x2),则T(x+2,0),P(x+2,x2-3),S(x+2,x2), Q[x+2,(x+2)2], ∴=, 解得x=1或3(不符合题意,舍去). 综上:点P的坐标为(7,). ‹#› 【对点训练】 (2025·泸州中考)如图,一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A(2,6). (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)将一次函数y=2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位长度,与反比例函数y=的图象相交于点B,C,求的值. ‹#› 【解析】(1)∵一次函数y=2x+b的图象经过A(2,6), ∴6=2×2+b,∴b=2, ∴一次函数的解析式为y=2x+2; ∵反比例函数y=的图象经过A(2,6), ∴6=,∴m=12, ∴反比例函数的解析式为y=. ‹#› (2)将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位长度,与反比例函数y=的图象相交于点B,C, ∴直线BC的解析式为y=2x+2-12=2x-10, 联立,解得或, ∴B(-1,-12),C(6,2), 如图所示,过点A作AT∥y轴交直线BC于点T, ‹#› ∵A(2,6), ∴点T的横坐标为2, 在y=2x-10中,当x=2时,y=2×2-10=-6, ∴T(2,-6), ∴AT=6-(-6)=12, ∴=+ =×12×[2-(-1)]+×12×(6-2) =18+24 =42. ‹#› 类型2图形的旋转变换 例2　【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以四边形为背景,探究非动点的几何问题.若四边形ABCD是正方形,M,N分别在边CD,BC上,且∠MAN=45°,我们称之为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法. ‹#› (1)【初步尝试】如图1,将△ADM绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE,连接MN.用等式写出线段DM,BN,MN的数量关系_______.  (2)【类比探究】小明改变点的位置后,进一步探究:如图2,点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上,∠MAN=45°,连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系,并说明理由. (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD, ∠BAD=120°,∠B+∠D=180°,点N,M分别在边BC,CD上,∠MAN=60°,用等式写出线段BN,DM,MN的数量关系,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)MN=DM+BN.理由如下: 由旋转的性质,可知AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°,∠ABE=∠D=90°, ∴∠ABE+∠ABC=90°+90°=180°,∴E,B,C三点共线. ∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN, 在△EAN和△MAN中, , ∴△EAN≌△MAN(SAS),∴EN=MN, ∵EN=BE+BN,∴MN=DM+BN. 答案:MN=DM+BN ‹#› (2)MN=BN-DM.理由如下: 如图,在BC上取BE=MD,连接AE, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠B=∠ADM=90°, ∴△ABE≌△ADM(SAS), ∴AE=AM,∠BAE=∠DAM, ∵∠DAM+∠DAN=45°, ∴∠BAE+∠DAN=45°, ∴∠EAN=45°=∠MAN, ‹#› 在△EAN和△MAN中, , ∴△EAN≌△MAN(SAS), ∴EN=MN, ∵EN=BN-BE, ∴MN=BN-DM. ‹#› (3)MN=DM+BN.理由如下: 如图,将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE, ∴∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE, ∵∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADE+∠ADC=180°, ∴E,D,C三点共线, 由(1)同理可得△EAM≌△NAM, ∴MN=ME=DM+DE=DM+BN. ‹#› 【对点训练】 (2024·广州中考)已知抛物线G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)过点A(x1,2)和点B(x2,2),直线l:y=m2x+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记△CDA的周长为C1,△CDB的周长为C2,且C1=C2+2. (1)求抛物线G的对称轴. (2)求m的值. (3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线l',当l'∥AB时,直线l'交抛物线G于E,F两点. ①求t的值; ②设△AEF的面积为S,若对于任意的a>0,均有S≥k成立,求k的最大值及此时抛物线G的解析式. ‹#› 【解析】(1)由抛物线的解析式知,其对称轴为直线x=-=-=3. (2)直线l:y=m2x+n过点C(3,1),则该直线的解析式为:y=m2(x-3)+1, 当y=2时,2=m2(x-3)+1, 则xD=+3, ∵C1=C2+2,即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2, 其中,AC=BC,上式变为AD=BD+2, 即2xD=x1+x2+2, ‹#› 而函数的对称轴为直线x=3,由函数的对称性知,x1+x2=2×3=6, 即2xD=x1+x2+2=8, 则xD=4=+3, 解得m=±1. ‹#› (3)①当m=±1时,一次函数的解析式为:y=m2(x-3)+1=x-2, 该直线和x轴的夹角为45°, 则t=45÷3=15(秒). ②由①知,l'为:y=1,如图: 则S=×EF×(yA-yE)=EF, 联立直线l'和抛物线的解析式得ax2-6ax-a3+2a2+1=1, 即x2-6x-a2+2a=0, 设点E,F的横坐标分别为s,h, 则s+h=6,sh=-a2+2a, ‹#› 则EF2=(s-h)2=(s+h)2-4sh=4(a2-2a+9), 则S=EF==≥2, 当a=1时,等号成立, 即k的最大值为2,a=1, 则抛物线的解析式为y=x2-6x+2. ‹#› 类型3图形的轴对称变换 例3　(2025·眉山中考)综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程. 【操作实践】如图1,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠,使点B落在AD边上的点B'处,折痕交AB于点E,再沿着过点B'的直线折叠,使点D落在B'C边上的点D'处,折痕交CD于点F.将纸片展平,画出对应点B',D'及折痕CE,B'F,连接B'E,B'C,D'F. ‹#› 【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系. 创新小组经过探究,发现CE∥B'F,证明过程如下: 由折叠可知∠DB'F=∠CB'F=∠DB'C,∠ECB'=∠ECB=∠BCB'.由矩形的性质,可知AD∥BC,∴∠DB'C=∠BCB', ∴①_______,∴CE∥B'F.  智慧小组先测量BE和CF的长度,猜想其关系为②_______.  经过探究,发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一: 方法一:证明△AB'E≌△D'CF,得到B'E=CF,再由B'E=BE可得结论. 方法二:过点B'作AB的平行线交CE于点G,构造平行四边形CFB'G,然后证B'G=B'E可得结论. ‹#› 请补充上述过程中横线上的内容. 【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路,选择一种方法验证BE和CF的数量关系,写出证明过程. 【尝试运用】(3)如图2,在矩形ABCD中,AB=6,按上述操作折叠并展开后,过点B'作B'G∥AB交CE于点G,连接D'G,当△B'D'G为直角三角形时,求出BE的长. ‹#› 【解析】(1)由折叠可知∠DB'F=∠CB'F=∠DB'C,∠ECB'=∠ECB=∠BCB'. 由矩形的性质,可知AD∥BC, ∴∠DB'C=∠BCB'. ∴∠ECB'=∠FB'C. ∴CE∥B'F. 智慧小组先测量BE和CF的长度,猜想其关系为BE=CF; 答案:①∠ECB'=∠FB'C　②BE=CF ‹#› (2)方法一:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°,BC=AD, ∵折叠, ∴∠EB'C=∠B=90°,B'D=B'D',BC=B'C=AD,∠D=∠B'D'F=90°,BE=B'E, ∴AD-B'D=B'C-B'D',即AB'=CD',∠CD'F=90°=∠A, 由(1)知:∠CB'D=∠BCB', 又∵∠AB'E+∠CB'D=180°-∠EB'C=90°,∠BCB'+∠B'CF=∠BCD=90°, ∴∠AB'E=∠FCD', ‹#› 又∵∠A=∠CD'F,AB'=CD', ∴△AB'E≌△D'CF, ∴B'E=CF, ∵BE=B'E, ∴BE=CF. ‹#› 方法二:作B'G∥AB交CE于点G,则B'G∥AB∥CD, ∵CE∥B'F, ∴四边形CFB'G为平行四边形, ∴B'G=CF, ∵AB∥B'G, ∴∠B'GE=∠BEC,∵折叠, ∴∠BEC=∠B'EC,BE=B'E, ∴∠B'GE=∠B'EC, ∴B'E=B'G, ∴BE=CF. ‹#› (3)∵B'G∥AB, ∴∠A=∠GB'D=90°, 由(2)可知:B'G=B'E=BE=CF,CD'=AB',△AB'E≌△D'CF, ∴D'F=AE, 设BE=x,则B'G=B'E=CF=x,D'F=AE=AB-BE=6-x, ∴CD'=AB'==, 如图,当∠B'GD'=90°时, ‹#› ∴∠GB'D+∠B'GD'=180°, ∴GD'∥AD∥BC, ∴∠D'GC=∠ECB, 又∵∠GCD'=∠ECB, ∴∠CGD'=∠GCD', ∴D'G=D'C=, ∵B'G∥AB∥CD, ∴∠GB'D'=∠FCD', ∴在Rt△B'GD'和Rt△CD'F中, ‹#› tan ∠GB'D'=tan ∠FCD', ∴=,即=, ∴x(6-x)=12x-36, 解得x=3-3或x=-3-3(舍去), ∴BE=3-3; ‹#› 如图,当∠GD'B'=90°时, ∵∠B'D'F=∠D=90°, ∴∠GD'B'+∠B'D'F=180°, ∴G,D',F三点共线, ∴B'C⊥GF, ∵四边形B'GCF是平行四边形, ∴四边形B'GCF是菱形, ∴∠GCD'=∠FCD', ∵∠GCD'=∠GCB, ‹#› ∴∠GCD'=∠GCB=∠FCD'=30°, 设CF=a,则DF=D'F=6-a, ∴=sin 30°=, 即=, 解得a=4, ∴BE=CF=4. 综上所述,BE=3-3或4. ‹#› 【对点训练】 1.(2024·烟台中考)如图,在▱ABCD中,∠C=120°,AB=8,BC=10,E为边CD的中点,F为 边AD上的一动点,将△DEF沿EF翻折得△D'EF,连接AD',BD',则△ABD'面积的最小 值为_____________.  　20-16　 ‹#› 2.(2024·眉山中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2),与x轴,y轴分别交于C,D两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)若点P在y轴上,当△PAB的周长最小时,请直接写出点P的坐标; (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴,y轴分别交于E,F两点,当EF=AB时,求a的值. ‹#› 【解析】(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2),∴=6,∴m=6, ∴反比例函数的解析式为y=, ∴2=,∴n=3,∴B(3,2), ∴,解得, ∴一次函数的解析式为y=-2x+8. ‹#› (2)如图,作点A关于y轴的对称点E,连接EB交y轴于P, 则此时,△PAB的周长最小, ∵点A(1,6),∴E(-1,6), 设直线BE的解析式为y=mx+c, ∴,解得, ∴直线BE的解析式为y=-x+5, 当x=0时,y=5,∴点P的坐标为(0,5). ‹#› (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴,y轴分别交于E,F两点, ∴直线EF的解析式为y=-2x+8-a, ∴E(,0).F(0,8-a), ∵EF=AB, ∴=, 解得a=6或a=10. ‹#› 本课结束 ‹#› $专题二　选填中的多解和多结论问题 类型1图形的形状不确定引发的多解问题 例1　(2024·赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根, 则这个三角形的周长为( ) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 C ‹#› 【对点训练】 1.已知Rt△ABC,AC=3,BC=4,则Rt△ABC的面积为( ) A.6或 B.6或2 C.12或3 D.12或4 A ‹#› 2.如图,在▱ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点, 且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法: ①存在无数个▱MENF; ②存在无数个矩形MENF; ③存在无数个菱形MENF; ④存在无数个正方形MENF. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C ‹#› 3.(2025·上海中考)已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点,若 此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边,那么这个角的度数为 _____________度.  4.(2025·绥化中考)在边长为7的等边三角形ABC中,点D在AB上,BD=2.点M是直线 BC上的一个动点,连接MD,以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND,连接BN, 当△BND为直角三角形时,则CM的长是_____________.  　108或36　 　6或8或9　 ‹#› 类型2位置不确定引发的多解问题 例2　(2024·自贡中考)如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=6 cm,BC=12 cm.点P从点A 出发,以1 cm/s的速度沿A→D运动,同时点Q从点C出发,以3 cm/s的速度沿C→B →C→…往复运动,当点P到达端点D时,点Q随之停止运动.在此运动过程中,线段 PQ=CD出现的次数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 B ‹#› 【对点训练】 1.如图,四边形ABCD中,BC∥AD,∠BAD=∠ADC=60°,AD=2BC=4,动点P从点A以 每秒1个单位长度的速度向点D运动,动点Q也同时从点A沿A→B→C→D的路线 以每秒2个单位长度的速度向点D运动,当点Q到达点D时,点P也随之停止运动,设 点P运动的时间为t(单位:秒),△DPQ的面积为S,当S=时,t的值为( ) A.2+或2- B.3或2- C.3或 D.2-或 D ‹#› 2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,点D在边BC上,CD=1,BD=3.点P是线段AD上一 动点,当半径为1的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为___________________.   或或　 ‹#› 3.(2024·龙东中考)矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将AB沿过点A的一条直线折叠,折痕 交直线BC于点P(点P不与点B重合),点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上, 则PC长为____________.  4.(2025·江西中考)如图,在矩形纸片ABCD中,沿着点A折叠纸片并展开,AB的对应 边为AB',折痕与边BC交于点P.当AB'与AB,AD中任意一边的夹角为15°时,∠APB 的度数可以是______________________.   或或10　 　82.5°或52.5°或37.5°　 ‹#› 5.(2025·龙东中考)如图,在矩形ABCD中,AD=6,∠CAD=60°,点E是边CD的中点,点 F是对角线AC上一动点,作点C关于直线EF的对称点P,若PE⊥AC,则CF的长为 __________.  　3或9　 ‹#› 类型3字母参数引发的多解问题 例3　已知关于x的分式方程-4=的解为负数,则k的取值范围是( ) A.k≤-12且k≠-3 　　　B.k>-12 C.k<-12且k≠-3 　　　D.k<-12 D ‹#› 【对点训练】 1.若直线y=3x+m与两坐标轴所围成的三角形的面积为6,则m的值为( ) A.6 B.-6 C.±6 D.±3 2.关于x的函数y=(a-3)x2-(4a-1)x+4a的图象与坐标轴有两个交点,则a的值为( ) A.3或0 B.a>-且a≠3 C.0或- D.3或0或- C D ‹#› 3.如果等式(x+6)x+1=1成立,那么满足等式成立的x的值的个数有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4.已知关于x的方程kx2-(2k-1)x+k-2=0有实数根,则实数k的取值范围为( ) A.k≥-且k≠0 B.k<且k≠0 C.k≥- D.k≤ C C ‹#› 5.(2025·遂宁中考)若关于x的分式方程=-1无解,则a的值为( ) A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 6.若关于x的方程mx|m-2|+1=0是一元一次方程,则其解为_______________.  7.若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2-6x+n=0的两个根, 则n的值为__________.  D 　x=-或x=-1　 　8或9　 ‹#› 8.已知关于x的不等式(a+2)x<1的解集为x>,则a的取值范围为_________.  9.在平面直角坐标系xOy中,一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包 括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数 y=(x-2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形OABC.若二 次函数y=x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC,则b=__________.  　a<-2　  或-　 ‹#› 10.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-x+2与反比例函数y=(x<0)相交于 点B,与x轴相交于点A,点B的横坐标为-2,设点M是直线AB上的一点,过点M作 MN∥x轴,交反比例函数y=(x<0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为 平行四边形,则点M的坐标为_______________________________.  　(-2+2,2)或(-2,2+2)　 ‹#› 类型4多结论判断题 例4　(2024·重庆中考A卷)已知整式M:anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,其中n,an-1,…,a0为自然数,an为正整数,且n+an+an-1+…+a1+a0=5.下列说法: ①满足条件的整式M中有5个单项式; ②不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且仅有3个; ③满足条件的整式M共有16个. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 D ‹#› 【对点训练】 1.若a,b互为相反数,则下列等式:①a+b=0;②|a|=|b|;③a2=b2;④a3=b3;⑤ab=-b2.其 中一定成立的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.小嘉说:将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法: ①向右平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度; ③向下平移4个单位长度;④沿x轴翻折,再向上平移4个单位长度. 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C D ‹#› 3.(2025·德阳中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)过点(1,0),(m,0),且 2<m<3,该抛物线与直线y=kx+c(k,c是常数,k≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在 点B左侧).下列说法:①bc<0;②3a+b>0;③点A'是点A关于直线x=-的对称点,则 3<AA'<4;④当x2=4时,不等式ax2+(b-k)x<0的解集为0<x<4.其中正确的结论个数 是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C ‹#› 4.如图,正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC,GA,交于点O,GA与 BC交于点P,连接OD,OB,则下列结论一定正确的是( ) ①EC⊥AG;②△OBP∽△CAP;③OB平分∠CBG;④∠AOD=45°. A.①③ B.①②③ C.②③ D.①②④ D ‹#› 5.(2025·长春中考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段OA上,连接BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P.给出下面四个结论: ①∠OCP=∠OBE; ②OE=OP; ③当CE=CB时,BP=EF; ④点A与点F之间的距离的最小值为2-2. 上述结论中,正确结论的序号有____________.  　①②④　 ‹#› 本课结束 ‹#› $专题提分案 专题一　规律探究题 类型1数字规律 例1　(2024·扬州中考)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一 列数:1,1,2,3,5,……,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两 个数之和.则在这一列数的前2 024个数中,奇数的个数为( ) A.676 B.674 C.1 348 D.1 350 D ‹#› 【对点训练】 1.按一定规律排列的一组数据:,-,,-,,-,….则按此规律排列的第10个数 是( ) A.- B. C.- D. A ‹#› 2.(2024·德阳中考)将一组数,2,,2,,2,…,,…,按以下方式进行 排列,则第八行左起第1个数是( ) 第一行　　　　　　　 第二行　　　　　2　　　　 第三行　　　2　　　　2 　　　　　　　　　　…… A.7 B.8 C. D.4 C ‹#› 3.(2024·凉山州中考)阅读下面材料,并解决相关问题: 如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,……,第n行有n个点……,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为_______,前15行的点数之和为_______,那么,前n行的点数之和为_______.  (2)体验:三角点阵中前n行的点数之和_______(填“能”或“不能”)为500.  (3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用 420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…, 第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排? ‹#› 【解析】(1)由题知, 三角点阵中前1行的点数之和为:1; 三角点阵中前2行的点数之和为:1+2; 三角点阵中前3行的点数之和为:1+2+3; 三角点阵中前4行的点数之和为:1+2+3+4; …, 所以三角点阵中前n行的点数之和为:1+2+3+…+n=. 当n=8时, =36, ‹#› 即三角点阵中前8行的点数之和为36. 当n=15时, =120, 即三角点阵中前15行的点数之和为120. 答案:36　120　 ‹#› (2)不能. 令=500得, 解得n=, 因为n为正整数, 所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500. 答案:不能 ‹#› (3)由题知, 前n排盆景的总数可表示为n(n+1), 令n(n+1)=420得, 解得n1=-21,n2=20. 因为n为正整数, 所以n=20, 即一共能摆20排. ‹#› 类型2式子规律 例2　我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》,书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律. 当代数式x4-12x3+54x2-108x+81的值为1时,则x的值为( ) A.2 B.-4 C.2或4 D.2或-4 C ‹#› 【对点训练】 1.(2025·云南中考)按一定规律排列的代数式:a,3a,5a,7a,9a,…,第n个代数式 是( ) A.(2n-1)a B.(2n+1)a C.(n+1)a D.2 025a A ‹#› 2.(2024·河北中考)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算 转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格 算法”,图1表示132×23,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘, 表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确的是( ) A.“20”左边的数是16 B.“20”右边的“□ ”表示5 C.运算结果小于6 000 D.运算结果可以表示为4 100a+1 025 D ‹#› 类型3图形规律 例3　(2025·重庆中考)按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第 ②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点……按照这 一规律,则第⑥个图中圆点的个数是( ) A.32 B.28 C.24 D.20 C ‹#› 【对点训练】 1.(2024·济宁中考)如图,用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图 有1个正方形,第二幅图有5个正方形,第三幅图有14个正方形……按照此规律,第 六幅图中正方形的个数为( ) A.90 B.91 C.92 D.93 B ‹#› 2.(2025·青海中考)如图是谢尔宾斯基三角形图案的形成过程.按此规律下去, 第⑥个图形中黑色三角形的个数是______________.  　35(或243)　 ‹#› 3.(2025·绥化中考)观察图形,图(1)有2个三角形,记作a1=2;图(2)有3个三角形,记作 a2=3;图(3)有6个三角形,记作a3=6;图(4)有11个三角形,记作a4=11;按此方法继续 下去,则an=____________(结果用含n的代数式表示).  　n2-2n+3　 ‹#› 4.(2025·甘肃中考)勾股树是一个可以无限生长的树形图形,它既展示了数学中的 精确与秩序,还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股树及它的形成过程, 其中第1个图形是正方形,第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造 一个直角三角形,再以这个直角三角形的两条直角边为边长,分别向外生成两个 新的正方形,重复上述步骤得到第3个图形,……,则第5个图形中共有________个正 方形.  　31　 ‹#› 类型4坐标中的规律 例4　(2024·武汉中考)如图,小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图 象,发现它关于点(1,0)中心对称.若点A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19), A20(2,y20)都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是( ) A.-1 B.-0.729 　 C.0 D.1 D ‹#› 【对点训练】 1.(2025·山东中考)取直线y=-x上一点A1(x1,y1),①过点A1作x轴的垂线,交y=于点 A2(x2,y2);②过点A2作y轴的垂线,交y=-x于点A3(x3,y3);如此循环进行下去.按照上面 的操作,若点A1的坐标为(1,-1),则点A2 025的坐标是__________.  　(1,-1)　 ‹#› 2.(2025·德阳中考)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),点C在直线m:y =x-上,且AC=3,连接AB,BC,将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1,点B的对应 点B1落在直线m上,再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转到△A2B2C2,点A1的对应点A2也 落在直线m上.如此下去,……,则A1 001的纵坐标是__________.  　2 004　 ‹#› 3.(2025·龙东中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点 B.四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,A3A4B4C4,…都是正方形,顶点A1,A2,A3,A4,… 都在x轴上,顶点B1,B2,B3,B4,…都在直线y=-x+3上,连接BA1,B1A2,B2A3,B3A4,…分别 交C1B1,C2B2,C3B3,C4B4,…于点D1,D2,D3,D4,….设△BB1D1,△B1B2D2,△B2B3D3, △B3B4D4,…的面积分别为S1,S2,S3,S4,…,则S2 025=_________.   ()4 049　 ‹#› 4.(2025·达州中考)定义:在平面直角坐标系中,一个图形向右平移a个单位长度, 再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换.现将 斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中,△ABC经 γ(1,180°)变换后得△A1B1C1为第一次变换,△A1B1C1经γ(2,180°)变换后得△A2B2C2 为第二次变换,……,经γ(n,180°)变换后得△AnBnCn,则点C2 025的坐标是 ____________.   (-,-)　 ‹#› 本课结束 ‹#› $专题六　动态问题 类型1动点问题 考向1　一个动点 例1　(2024·新疆中考)【探究】 (1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形. ①如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由; ②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由. ‹#› 【运用】 (2)如图3,等边三角形ABC中,AB=6,点E在AC上,CE=2.点D是直线BC上的动点,连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出BD的长. ‹#› 【解析】(1)①CE+CD=CA.理由如下: ∵△ABC和△ADE是等边三角形, ∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中, , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴CE=BD.∵BD+CD=BC, ∴CE+CD=CA. ‹#› ②CA+CD=CE.理由如下: ∵△ABC和△ADE是等边三角形, ∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中, , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴CE=BD,∵CB+CD=BD,∴CA+CD=CE. ‹#› (2)过E作EH∥AB,则△EHC为等边三角形. ①当点D在H左侧时,如图1, ∵ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH=EC, ∴△EDH≌△EFC(SAS), ∴∠ECF=∠EHD=120°, 此时△CEF不可能为直角三角形. ‹#› ②当点D在H右侧,且在线段CH上时,如图2, 同理可得∴△EDH≌△EFC(SAS), ∴∠FCE=∠EHD=60°,∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°, 此时只有∠CFE有可能为90°, 当∠CFE=90°时,∠EDH=90°, ∴ED⊥CH, ∵CH=CE=2, ∴CD=CH=, 又∵AB=6,∴BD=6-. ‹#› ③当点D在H右侧,且在HC延长线上时,如图3, 此时只有∠CEF=90°, ∵∠DEF=60°, ∴∠CED=30°, ∵∠ECH=60°, ∴∠EDC=CED=30°, ∴CD=CE=2, ∴BD=6+2. 综上,BD的长为6-或6+2. ‹#› 【对点训练】 1.(2025·甘肃中考)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点D为边AB的中 点.动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动,运动到点B时停止.设点P的运动 路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到CB的中点 时,PD的长为( ) A.2 B.2.5 C.2 D.4 A ‹#› 2.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一 个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为_________.  　2　 ‹#› 3.(2025·烟台中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,对角线AC=6 cm.点M从点A 出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,同时,点N从点C出发,沿CD方向以 cm/s的速度向点D运动,当一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接AN, DM交于点P.在此过程中,点P的运动路径长为________cm.   　 ‹#› 4.(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-6,1),B(1,n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)P是直线x=-2上的一个动点,△PAB的面积为21,求点P的坐标; (3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上,△QAB的面积为21,请直接写出Q点坐标. ‹#› 【解析】(1)把A(-6,1)代入y=得:1=,∴m=-6, ∴反比例函数的解析式为y=-; 把B(1,n)代入y=-得:n=-6,∴B(1,-6), 把A(-6,1),B(1,-6)代入y=kx+b得: , 解得, ∴一次函数的解析式为y=-x-5; ‹#› (2)设直线x=-2交直线AB于H,如图: 在y=-x-5中,令x=-2得y=-3, ∴H(-2,-3), ∵△PAB的面积为21, ∴PH·|xB-xA|=21,即PH×(1+6)=21, ∴PH=6, ∵-3+6=3,-3-6=-9, ∴P的坐标为(-2,3)或(-2,-9); ‹#› (3)过Q作QM∥x轴交直线AB于M,如图: 设Q(t,-), 在y=-x-5中,令y=-得x=-5, ∴M(-5,-), ∴MQ=|-5-t|, ∵△QAB的面积为21, ∴MQ·|yA-yB|=21, ‹#› 即×|-5-t|×7=21, ∴-5-t=6或-5-t=-6, 解得t=或t=-2或t=3, 经检验,t=,t=3符合题意, ∴Q的坐标为(,-)或(3,-2). ‹#› 考向2　两个动点 例2　(2025·天津中考)四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=10 cm, BC=16 cm.动点M从点B出发,以2 cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动;动点N 从点C同时出发,以1 cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终 点时,另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t s.当t=2 s时,点M,N的位置如 图所示.有下列结论: ①当t=6 s时,CN=DM; ②当1≤t≤2时,△BMN的最大面积为26 cm2; ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2.其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C ‹#› 【对点训练】 1.(2025·湖北中考)如图1,在△ABC中,∠C=90°,BC=4 cm,AB=n cm.动点P,Q均以 1 cm/s的速度从点C同时出发,点P沿折线C→B→A向点A运动,点Q沿边CA向点 A运动.当点Q运动到点A时,两点都停止运动.△PCQ的面积S(单位:cm2)与运动 时间t(单位:s)的关系如图2所示. (1)m=_______;(2)n=________.  　8　 　12　 ‹#› 2.(2024·南充中考)如图,正方形ABCD边长为6 cm,点E为对角线AC上一点,CE=2AE,点P在AB边上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在BC边上以2 cm/s的速度由点C向点B运动,设运动时间为t秒(0<t≤3). (1)求证:△AEP∽△CEQ. (2)当△EPQ是直角三角形时,求t的值. (3)连接AQ,当tan∠AQE=时,求△AEQ的面积. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠PAE=∠QCE=45°,∵CE=2AE,AP=t,CQ=2t, ∴==,∴△AEP∽△CEQ; (2)过点E作EM⊥AB于点M,过点E作EN⊥BC于点N. 由题意知AE=2,AM=ME=2,EN=CN=4,AP=t, CQ=2t,BQ=6-2t,MP=|t-2|,BP=6-t,QN=|2t-4|, ∴EP2=EM2+MP2,即EP2=22+(2-t)2=t2-4t+8, PQ2=BP2+BQ2,即PQ2=(6-t)2+(6-2t)2=5t2-36t+72, EQ2=EN2+NQ2,即EQ2=42+(2t-4)2=4t2-16t+32. ‹#› ①当∠EPQ=90°时,则EQ2=EP2+PQ2, 即4t2-16t+32=t2-4t+8+5t2-36t+72, 整理得t2-12t+24=0. 解得t1=6-2,t2=6+2(不合题意,舍去), ②当∠PEQ=90°时,则PQ2=EP2+EQ2, 即5t2-36t+72=t2-4t+8+4t2-16t+32, 整理得t-2=0, 解得t=2; ‹#› ③当∠PQE=90°时,则EP2=PQ2+EQ2, 即t2-4t+8=5t2-36t+72+4t2-16t+32, 整理得t2-6t+12=0,该方程无实数解. 综上所述,当△EPQ是直角三角形时,t的值为6-2或2; ‹#› (3)过点A作AF⊥AC,交CB的延长线于点F,连接FE交AQ于点G.如图, ∵AF⊥AC,∠ACF=45°,∴AF=AC, 又∵CE=2AE, ∴==,∴tan∠AFE=, ∵tan∠AQE=,∴∠AFE=∠AQE, ∵∠AGF=∠EGQ, ∴△AGF∽△EGQ,∴=, ∵∠AGE=∠FGQ,∴△AGE∽△FGQ, ‹#› ∴∠AEG=∠FQG, ∵∠AFE+∠AEF=90°, ∴∠FQG+∠EQG=90°,即∠FQE=90°, ∴AB∥EQ,△EQC是等腰直角三角形, ∴=,即=, ∴QC=QE=4, ∴S△AEQ=S△AQC-S△EQC=QC·AB-QC·EQ =×4×6-×4×4=4(cm2). ‹#› 类型2动线问题 例3　(2024·河南中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在 平面内旋转,过点B作AD的垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 ___________,最小值为___________.  　2+1　 　2-1　 ‹#› 【对点训练】 1.(2024·龙东中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=,BC=2,AD=1,线 段AD绕点A旋转,点P为CD的中点,则BP的最大值是___________.  　2+　 ‹#› 2.(2024·北京中考)已知∠MAN=α(0°<α<45°),点B,C分别在射线AN,AM上,将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E. (1)如图1,当点D在射线AN上时,求证:C是AE的中点; (2)如图2,当点D在∠MAN内部时,作DF∥AN,交射线AM于点F,用等式表示线段EF与AC的数量关系,并证明. ‹#› 【解析】(1)连接CD,如图. 由题意得:BC=BD,∠CBD=180°-2α,∴∠BDC=∠BCD, ∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°, ∴∠BDC==α, ∴∠BDC=∠A,∴CA=CD,∵DE⊥AN, ∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°, ∴∠1=∠2, ∴CD=CE,∴CA=CE, ∴点C是AE的中点; ‹#› (2)EF=2AC.证明如下: 在射线AM上取点H,使得BH=BA,取EF的中点G,连接DG,如图. ∵BH=BA, ∴∠BAH=∠BHA=α, ∴∠ABH=180°-2α=∠CBD, ∴∠ABC=∠HBD. ∵BC=BD, ∴△ABC≌△HBD(SAS), ∴AC=DH,∠BHD=∠A=α, ∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α. ‹#› ∵DF∥AN, ∴∠EFD=∠A=α,∠EDF=∠3=90°, ∵G是EF的中点, ∴GF=GD,EF=2GD, ∴∠GFD=∠GDF=α, ∴∠HGD=2α, ∴∠HGD=∠FHD, ∴DG=DH. ∵AC=DH,∴DG=AC, ∴EF=2AC. ‹#› 类型3图形运动问题 例4　(2024·眉山中考)综合与实践 问题提出:在一次综合与实践活动中,某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处,并绕点O旋转,探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况. 操作发现:将直角三角板的直角顶点放在点O处,在旋转过程中: (1)若正方形边长为4,当一条直角边与对角线重合时,重叠部分的面积为_______;当一条直角边与正方形的一边垂直时,重叠部分的面积为_______.  ‹#› (2)若正方形的面积为S,重叠部分的面积为S1,在旋转过程中S1与S的关系为_______.  类比探究:如图1,若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合,在旋转过程中,两条直角边分别交正方形两边于E,F两点,小宇经过多次实验得到结论BE+DF=OC,请你帮他进行证明. 拓展延伸:如图2,若正方形边长为4,将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合,在旋转过程中,当三角板的直角边交AB于点M,斜边交BC于点N,且BM=BN时,请求出重叠部分的面积. (参考数据:sin 15°=,cos 15°=,tan 15°=2-) ‹#› 【解析】操作发现:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BOC=90°, 当一条直角边与对角线重合时,重叠部分的面积为S△BOC=S正方形ABCD=×4×4=4. 当一条直角边与正方形的一边垂直时,如图, ∴∠OMC=∠MON=∠BCD=90°, ∴四边形MONC是矩形, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ACD=45°,OA=OC, ‹#› ∴∠MOC=∠MCO,∴OM=MC, ∴四边形OMCN是正方形, ∴OM=AD=2, ∴四边形OMCN的面积是4. 答案:4　4 ‹#› (2)如图,过点O作OG⊥CB于点G,OH⊥DC于点H. ∵O是正方形ABCD的中心, ∴OG=OH, ∵∠OGC=∠OHC=∠C=90°, ∴四边形OGCH是矩形, ∵OG=OH, ∴四边形OGCH是正方形, ‹#› ∴∠GOH=∠EOF=90°, ∴∠EOG=∠FOH,∵∠OGE=∠OHF=90°,∴△OGE≌△OHF(ASA), ∴S△OGE=S△OHF,∴S四边形OECF=S正方形OGCH= S正方形ABCD,∴S1=S. 答案:S1=S ‹#› 类比探究: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,OB=OC=OD=OA,∠OBC=∠OCD=45°,∵∠FOE=∠BOC, ∴∠EOB=∠FOC, ∴△EOB≌△FOC(ASA), ∴BE=CF,∴BE+DF=CF+DF=CD, ∵CD=OC,∴BE+DF=OC. ‹#› 拓展延伸: 过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥BC于点H. 同(2)可知四边形OGBH是正方形, ∴BG=BH,OG=OH,∵BM=BN, ∴GM=NH, ∵∠OGM=∠OHN=90°, ∴△OGM≌△OHN(SAS), ∴S△OGM=S△OHN,∠GOM=∠NOH, ∵∠MON=60°, ‹#› ∴∠GOM=×(90°-60°)=15°,由(1)可知OG=2,S正方形OGBH=4, ∴tan∠GOM=tan 15°==2-, ∴GM=2×(2-)=4-2, ∴S△OGM=OG·GM=×2×(4-2)=4-2, ∴重叠部分的面积=S四边形OMBN=S正方形OGBH-2S△OGM=4-2×(4-2)=4-4. ‹#› 【对点训练】 (2024·龙东中考)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠MAN=∠BAC,∠MAN在∠BAC的内部,点M,N在BC上,点M在点N的左侧,探究线段BM,NC,MN之间的数量关系. (1)如图①,当∠BAC=90°时,探究如下: 由∠BAC=90°,AB=AC可知,将△ACN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABP,则CN=BP且∠PBM=90°,连接PM,易证△AMP≌△AMN,可得MP=MN,在Rt△PBM中,BM2+BP2=MP2,则有BM2+NC2=MN2. ‹#› (2)当∠BAC=60°时,如图②,当∠BAC=120°时,如图③,分别写出线段BM,NC,MN之间的数量关系,并选择图②或图③进行证明. ‹#› 【解析】图②的结论是BM2+NC2+BM·NC=MN2. 证明如下:∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, 以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°,在BK上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H, ‹#› ∵AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ, ∴△ACN≌△ABQ(SAS), ∴AN=AQ,∠CAN=∠QAB, 又∵∠CAN+∠BAM=30°, ∴∠BAM+∠QAB=30°, 即∠QAM=∠MAN, 又∵AM=AM, ∴△AQM≌△ANM(SAS), ∴MN=QM; ‹#› ∵∠ABQ=60°,∠ABC=60°, ∴∠QBH=60°, ∴∠BQH=30°, ∴BH=BQ,QH=BQ, ∴HM=BM+BH=BM+BQ, 在Rt△QHM中,可得:QH2+HM2=QM2,即(BQ)2+(BM+BQ)2=QM2, 整理得BM2+BQ2+BM·BQ=QM2. ∴BM2+NC2+BM·NC=MN2. ‹#› 图③的结论是:BM2+NC2-BM·NC=MN2. 证明如下:以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=30°,在BK上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H, ∵AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ, ∴△ACN≌△ABQ(SAS), ∴AN=AQ,∠CAN=∠QAB, 又∵∠CAN+∠BAM=60°, ∴∠BAM+∠QAB=60°,即∠QAM=∠MAN, 又∵AM=AM, ‹#› ∴△AQM≌△ANM(SAS), ∴MN=QM, 在Rt△BQH中,∠QBH=60°,∠BQH=30°, ∴BH=BQ,QH=BQ, HM=BM-BH=BM-BQ, 在Rt△QHM中,可得:QH2+HM2=QM2,即(BQ)2+(BM-BQ)2=QM2, 整理得BM2+BQ2-BM·BQ=QM2. ∴BM2+NC2-BM·NC=MN2. ‹#› 本课结束 ‹#› $专题三　实际应用 类型1方程、不等式的应用 例1　《哪吒之魔童闹海》票房大卖,周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2 400元,购进B款哪吒玩偶的金额是1 600元,购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个,A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍. (1)A,B两款玩偶的单价分别是多少元? (2)为满足消费者需求,在A,B两款玩偶单价不变的条件下,该超市准备再次购进A,B两款玩偶共100个,B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍,且总金额不超过1 100元,问有多少种进货方案? ‹#› 【解析】(1)设B款哪吒玩偶的单价是x元,则A款哪吒玩偶的单价是2x元, 根据题意得:-=50, 解得x=8, 经检验,x=8是所列方程的解,且符合题意, ∴2x=2×8=16. 答:A款哪吒玩偶的单价是16元,B款哪吒玩偶的单价是8元. ‹#› (2)设再次购进m个A款哪吒玩偶,则再次购进(100-m)个B款哪吒玩偶, 根据题意得:, 解得≤m≤, 又∵m为正整数, ∴m可以为34,35,36,37, ∴共有4种进货方案. 答:该超市共有4种进货方案. ‹#› 【对点训练】 (2025·湖北中考)某商店销售A,B两种水果.A水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克. (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克? (2)妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果m千克. ①若这两种水果按标价出售,求m的取值范围. ②小明到这家商店后,发现A,B两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折;一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折(注:“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元,求m的值. ‹#› 【解析】(1)设购买A种水果x千克,B种水果y千克, 依题意得:,解得. 答:购买A种水果2千克,B种水果1千克. (2)①设小明买A种水果m千克,则B种水果购买了(m+1)千克, ∴14m+18(m+1)≤50,解得m≤1, ∴结合实际可得:0<m≤1. ②设小明买A种水果m千克,则B种水果购买了(m+1)千克, ∴14m×0.75+18+18m×0.75=48, 解得m=1.25. ‹#› 类型2一次函数的应用 例2　(2025·眉山中考)国家卫健委在全民健康调查中发现,近年来的肥胖人群快速增长,为加强对健康饮食的重视,特发布各地区四季健康饮食食谱.现有A,B两种食品,每份食品的质量为50 g,其核心营养素如下: 食品 类别 能量(单位: Kcal) 蛋白质 (单位:g) 脂肪 (单位:g) 碳水化合物 (单位:g) A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 ‹#› (1)若要从这两种食品中摄入1 280 Kcal能量和62 g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少份? (2)若每份午餐选用这两种食品共300 g,从A,B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76 g,且能量最低,应选用A,B两种食品各多少份? ‹#› 【解析】(1)设应选用A种食品x份,B种食品y份, 根据题意得,解得. 答:应选用A种食品3份,B种食品2份. (2)设选用A种食品m份,则选用B种食品(-m)份,即(6-m)份, 根据题意得:12m+13(6-m)≥76, 解得:m≤2, 设每份午餐的能量为w Kcal, ‹#› 则w=240m+280(6-m)=-40m+1 680, ∵-40<0, ∴w随m的增大而减小, ∴当m=2时,w取得最小值, 此时,6-m=4. 答:应选用A种食品2份,B种食品4份. ‹#› 【对点训练】 (2025·绥化中考)自主研发和创新让我国的科技快速发展,“中国智造”正引领世界潮流.某科技公司计划投入一笔资金用来购买A,B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元,购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1 300元. (1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元. (2)若该公司计划购买A,B两种型号的芯片共8 000颗,其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时,所需资金最少,最少资金是多少元. ‹#› (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车,先后从M地出发,沿着同一条公路匀速行驶,前往目的地N,两车到达N地后均停止行驶.如图,y甲(km)、y乙(km)分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(h)之间的函数关系.请根据图象信息解答下列问题: ①甲车的速度是_______km/h.  ②当甲、乙两车相距30 km时,直接写出x的值_______.  ‹#› 【解析】(1)设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元, 由题意得,解得. 答:购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元. (2)设购买B型芯片m颗,则购买A型芯片(8 000-m)颗,所需资金为w元, 由题意得:w=350(8 000-m)+200m=-150m+2 800 000, ∵k=-150<0, ∴w随m的增大而减小, ∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍, ∴8 000-m≥3m,解得m≤2 000, ‹#› ∵m取正整数, ∴当m=2 000时,w取最小值,w最小=-150×2 000+2 800 000=2 500 000(元), 此时8 000-m=6 000. 答:该公司购买A型芯片6 000颗,所需资金最少,最少资金是2 500 000元. (3)①设y乙=k2x+b,将点(0,60),(7,480)代入y乙=k2x+b, 得,解得,所以y乙的函数解析式为y乙=60x+60, 当x=3时,y乙=60x+60=60×3+60=240, 所以甲车的速度为240÷3=80(km/h). 答案:80 ‹#› ②设y甲=k1x, 将点(3,240)代入y甲=k1x, 得240=3k1,解得k1=80, 所以y甲的函数解析式为y甲=80x. 当函数y乙的图象在函数y甲的图象上方时, 可列方程60x+60-80x=30,解得x=1.5,符合题意; 当函数y乙的图象在函数y甲的图象下方时, 可列方程80x-60x-60=30, 解得x=4.5,符合题意; ‹#› 当甲车到达N地,乙离目的地30 km时, 可列方程60x+60=480-30, 解得x=6.5,符合题意. 综上所述,x的值为1.5或4.5或6.5. 答案:1.5或4.5或6.5 ‹#› 类型3二次函数的应用 例3　(2025·贵州中考)用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触,石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图①,小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂,石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F,运动路径近似为抛物线C1,且C1:y=ax2+bx+c,石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G,运动路径近似为抛物线C2,且C2:y=-x2+mx+n.(小星所在地面、水面在同一平面内,且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计) ‹#› (1)如图②,当a=-,b=时,若点F坐标为(2,0),求抛物线C1的表达式. (2)在(1)的条件下,若FG=4,在水面上有一个截面宽AB=1,高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物,点A的坐标为(4.5,0),判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物?请说明理由. (3)小星在抛掷石块时,若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内(包括边界),且点F在(3,0)和(4,0)之间(包括这两点),其中M(,1),N(1,1),Q(,),求a的取值范围.(在抛掷过程中正方形与拋物线C1在同一平面内) ‹#› 【解析】(1)当a=-,b=时,C1:y=-x2+x+c,∵点F的坐标为(2,0), ∴0=-×22+×2+c,∴c=1, ∴抛物线C1的表达式为y=-x2+x+1. (2)不能.理由如下:∵FG=4,点F的坐标为(2,0),∴G(6,0) ∴C2:y=-(x-2)(x-6)=-x2+x-, ∵点A的坐标为(4.5,0),AB=1, ∴B(5.5,0),∴将x=5.5代入y=-x2+x-=<0.5, ∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物. ‹#› (3)∵在正方形MNPQ中,M,1),N(1,1),Q,),∴P1,), 如图所示, ∵抛物线开口向下,∴a<0. ∵|a|越小,开口越大;|a|越大,开口越小,点F在(3,0)和(4,0)之间(包括这两点), ∴由图象可得,当抛物线C1的顶点为点M,且经过点(4,0)时,开口最大,此时a最大. ∴设C1的表达式为y=a+1, 将(4,0)代入得,0=a+1, ‹#› 解得a=-, 由图象可得,当抛物线C1的顶点为点P,且经过点(3,0)时,开口最小,此时a最小, ∴设C1的表达式为y=a(x-1)2+, 将(3,0)代入得,0=a(3-1)2+, 解得a=-.∴a的取值范围为-≤a≤-. ‹#› 【对点训练】 (2025·辽宁中考)为方便悬挂电子屏幕,学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱.为此,某数学兴趣小组开展了综合与实践活动,记录如下: 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸; 2.准备皮尺等测量工具. 采集 数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图,信息如下: 1.大门形状为矩形(矩形ABCD); 2.底部跨度(AD的长)为8 m; 3.立柱OE的长为2 m,且OE⊥AD,垂足为O,AO=OD. ‹#› 设计 方案 考虑实用和美观等因素,在A,D间增加两根与AD垂直的立柱,垂足分别为M1,M2,立柱的另一端点N1,N2在抛物线形框架结构上,其中AM1=M2D=1 m. 确定 思路 小组成员经过讨论,确定以点O为坐标原点,线段AD所在直线为x轴,建立如图2所示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0,2),设抛物线的表达式为y=ax2+2,分析数据得到点A或点D的坐标,进而求出抛物线的表达式,再利用表达式求出增加立柱的长度,从而解决问题. ‹#› 根据以上信息,解决下列问题: (1)求抛物线的表达式; (2)现有一根长度为2 m的材料,如果用它制作这两根立柱,请你通过计算,判断这根材料的长度是否够用(因施工产生的材料长度变化忽略不计). 【解析】(1)由题意,得AD=8,OA=OD=4, ∴A(-4,0),把A(-4,0)代入y=ax2+2,得0=16a+2, ∴a=-, ∴y=-x2+2. ‹#› (2)由题意,可知:OM1=OM2=4-1=3, ∴N1,N2关于y轴对称, ∵y=-x2+2, ∴当x=3时,y=-×32+2=, ∴M1N1=M2N2=, ∵2×=<2, 故这根材料的长度够用. ‹#› 类型4函数的综合应用 例4　(2024·深圳中考)为了测量抛物线的开口大小,某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置,并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图1所示的平面直角坐标系,该数学小组选择不同位置测量数据如表所示,设BD的读数为x,CD读数为y,抛物线的顶点为C. (1)(Ⅰ)列表: 项目 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 ‹#› (Ⅱ)描点:请将表格中的(x,y)描在图2中; (Ⅲ)连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连接,并求出y与x的解析式. (2)如图3所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为C,该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB,竖直跨度为CD,且AB=m,CD=n,为了求出该抛物线的开口大小,该数学兴趣小组有如下两种方案,请选择其中一种方案,并完善过程: ‹#› 方案一:将二次函数y=a(x-h)2+k平移,使得顶点C与原点O重合,此时抛物线的解析式为y=ax2. ①此时点B'的坐标为_____________;  ②将点B'坐标代入y=ax2中,解得a=_______;(用含m,n的式子表示)  方案二:设C点坐标为(h,k). ①此时点B的坐标为_____________;  ②将点B坐标代入y=a(x-h)2+k中解得a=_______;(用含m,n的式子表示)  ‹#› (3)如图4,已知平面直角坐标系xOy中有A,B两点,AB=4,且AB∥x轴,二次函数C1:y1=2(x+h)2+k和C2:y2=a(x+h)2+b都经过A,B两点,且C1和C2的顶点P,Q距线段AB的距离之和为10,若AB∥x轴且AB=4,求a的值. ‹#› 【解析】(1)描点、连线绘制函数图象如下: 抛物线过点O,故设抛物线的解析式为y=ax2+bx, 将(2,1),(3,2.25)代入上式得 ,解得, 则抛物线的解析式为y=x2(x≥0). ‹#› (2)方案一: ①由题得,点B'的坐标为(m,n). ②将点B'的坐标代入抛物线解析式得n=a×m2, 则a=. 答案:①(m,n)　② ‹#› 方案二: ①由题得,点B的坐标为(h+m,k+n); ②将点B的坐标代入抛物线解析式得:k+n=a(h+m-h)2+k, 解得a=. 答案:①(h+m,k+n)　② ‹#› (3)根据题意C1和C2的对称轴为x=-h, 则A(-h-2,8+k),B(-h+2,8+k),C1的顶点坐标为P(-h,k), ∴C1顶点距线段AB的距离为|(8+k)-k|=8, ∴C2的顶点距线段AB的距离为10-8=2, ∴C2的顶点坐标为Q(-h,10+k)或Q(-h,6+k), 当C2的顶点坐标为Q(-h,10+k)时,y2=a(x+h)2+10+k, 将A(-h-2,8+k)代入得4a+10+k=8+k,解得a=-; 当C2的顶点坐标为Q(-h,6+k)时,y2=a(x+h)2+6+k, 将A(-h-2,8+k)代入得4a+6+k=8+k,解得a=.综上,a的值为或-. ‹#› 本课结束 ‹#› $