05-专题五 圆的综合问题（精讲册）-【中考特训】2026年山东中考数学课堂复习案课件PPT

该初中数学中考复习课件聚焦圆的综合问题核心考点，依据新课标要求，精准覆盖切线的性质与判定、圆与锐角三角函数、相似三角形等六大类型，结合2024年山东及全国多地中考真题，分析各考点考查权重，归纳出证明、计算、动态探究等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+方法指引+素养提升”模式，通过2024青州中考切线证明题，示范“连半径证垂直”技巧，培养学生推理能力和几何直观。针对动点问题，强调分类讨论和方程思想，助力学生掌握解题策略，教师可依此开展专题突破，提升复习效率。

数学 1 第三部分 中考命题重难点专题特训 专题五 圆的综合问题 2 类型一 圆的切线的性质与判定 1.当已知圆的切线时，通常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直； 2.若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上 时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半 径，证垂直； 3.若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂 线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等. 1.（2024贵州中考）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在 的延长线 上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点 ， . （1）写出图中一个与 相等的角：_____________________； （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 （2）求证： ； 证明：连接 ，如图. 与半圆相切于点， ， . ， . ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 （3）若，，求 的长. 解：， 设，则 ， ， ， . ， ， 或 （不合题意，舍去）， ，， . ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.（2024湖北中考）如图，在中， ，点 在 上，以为直径的经过上的点，与交于点 ，且 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 （1）求证：是 的切线； 解：证明：连接 ，如图. 在和 中， ， ， . 是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若，，求 的长. 解：设的半径为 . 在中， ， ，解得 ， ， ， ， . 由（1）知 ， ， 的长 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 3.（2024眉山中考）如图，是的直径，点在上，点 在的延长线上，，平分交于点 ， 连接 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （1）求证：是 的切线； 解：证明：连接 ，如图. 是 的直径， ， . ， . ， ， ， . 是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）当，时，求 的长. 解：连接 ，如图. ， ， ， ， ， ， . 平分， ， ， . 是的直径， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 类型二 圆与锐角三角函数的综合 （1）熟悉在圆中构造直角三角形，利用三角函数解决问题；（2）通 过相等角的相互转化，在合适的图形中解决问题. 4.（2024济南三模）如图，在中，是的直径，，是上不同于 ， 的两点，，连接.过点作，交的延长线于点 ，延 长，交的延长线于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 （1）求证：是 的切线； 解：证明：如图，连接 . ， . ， . ， . ， . 又是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （2）当，时，求 的长. 解：连接 ，如图. 是的直径， . ，， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 在中，， . 在中，， ， 由勾股定理，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.（2024威海一模）已知线段是的直径，，点为上一点， 平分交于点 . （1）如图1，过点作，求证：是 的切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 解：证明：连接 ，如图1. 平分 ， ， ， . 又 ， . ， ，即 . 又是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （2）如图2，连接，，若，，求 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 解： ， . 是直径， ， ， . ， ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 类型三 圆与相似三角形的综合 利用圆的性质，来证明两个三角形相似，利用相似的性质求线段的长度. 6.（2024潍坊模拟）如图，在中， ，点在边 上，且 ，过点作交的延长线于点，以点为圆心， 的长为 半径作交于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 （1）求证：是 的切线； 解：证明：如图，过点作，垂足为 . ， ， ， . ， . ，， ， 即为的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 （2）若的半径为5，，求线段 的长. 解：的半径为5， ， ， . 在中，由勾股定理，得 . ， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 类型四 圆与四边形的综合 7.（2024临沂二模）如图，是的直径，，是上两点，且 ，连 接，.过点作交的延长线于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 （1）判定直线与 的位置关系，并说明理由； 解：直线与 相切.理由如下： 连接 ，如图. ， . ， ， ， . ， . 是 的半径， 是的切线，即直线与 相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 （2）连接和交于点，若， ， ①求证：四边形 是矩形； 证明：如图，连接 . ，， . 是的直径， ， ， 四边形 是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 ②求图中阴影部分的面积. 解： ， . 在中，， ， ， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 类型五 圆的动点问题 圆的动态问题是对圆（或点）的运动变化过程中伴随着的数量关系和 位置关系进行探究的一类题目.解决这类问题，要抓住题目中的“变”和“不变”，动静 结合，解题时理解以下四点非常关键：（1）要有充分的分类讨论意识；（2）运动 过程可以理解为由无数个静止时刻构成，因此所求问题大致有三种形式：极值、定 值、特殊值；（3）尝试动手画图，作出符合要求的基本示意草图；（4）要有方程 求值、函数求值（极值）的意识. 8.（2023潍坊二模）如图，在中， ， ，，动点从点出发，以 的速度 沿向点运动，同时动点从点出发，以的速度沿 向点运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动.以 为直径作，连接，设运动时间为 . （1）试用含的代数式表示出及的长度，并直接写出 的取值范围； 解：由题意，得， . 在中， ， . 的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 （2）当为何值时，与 相切？ 解：若与相切，则，即 . ， ， ， ， 即，解得 ， 当时，与 相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 （3）若线段与有两个交点.求 的取值范围. 解：由（2）知，当时，直线与 有两个交点. 当点恰好在上时，线段与的两个交点恰好为， . 为的直径， . ， ， ，即，解得 ， 若线段与有两个交点，则的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 类型六 圆与二次函数的综合 9.如图，已知点，以为圆心作与轴切于原点，与 轴的 另一个交点为，过作的切线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 （1）以直线为对称轴的抛物线过点及点 ，求此抛物线的解析式； 解：由题意，得 ， 设抛物线的解析式为 . 抛物线经过点和 ， 解得 此抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）抛物线与轴的另一个交点为，过作的切线， 为切点，求此切线长； 解：如图，连接 . 是的切线， ， . 直线是抛物线的对称轴，点，是抛物线与轴的交点， ， . 在中，由勾股定理，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 （3）点是切线上的一个动点，当与相似时，求出 的长. 解：当时，有 ， 即， ； 当时，有 ， 即， . 综上所述，当与相似时，的长为或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 10.（2024济宁三模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交 轴于 点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为 . （1）求此抛物线的解析式； 解： 抛物线的顶点为， 设抛物线为 . 抛物线经过点 ， ， ， 抛物线的解析式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 （2）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间（不与， 重合）， 连接.当点运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点 的坐标； 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点，连接， . 当时，，解得或 ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 直线的解析式为 . 设点的坐标为，则点的坐标为 ， . ， 当时，的面积最大，为 . 此时，点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线 相切， 请判断抛物线的对称轴与 有怎样的位置关系，并给出证明. 解：对称轴与 相交. 证明：如图，设与的交点为，连接，则 . ，，，对称轴为直线 ， ，，，点到对称轴 的距离为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 ， ， ， ， . 又 ， ， ，即，解得 . ， 抛物线的对称轴与 相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $