2.1 导数的基础应用(一) 第1课时课件-2026届新高考数学二轮专题复习

专题二 导数 【新高考二轮复习专题】 专题2.1 导数的基础应用(一) 第 1 课时 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 导数的基础应用(一) 利用导数研究函数的切线 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值与最值 利用导数研究函数的零点 原函数与导函数的奇偶性 导数与函数的性质综合应用 在某点处的切线问题 过某点的切线问题 给定区间范围内的单调性问题 比大小 给函数解析式，求极值、最值 给出函数极值、最值，求参数 具体函数与导数 抽象函数与导数 导数的基本计算及其应用 考点概览 20-25年五年真题统计 具体考察方式 2020全国丙卷文科第15题 给出函数在某点处的导数，利用函数的求导公式，求参 考点一 导数的基本计算及其应用 考频统计 若，存在，则有 ； ； ； ． 导数的运算法则 考点一 导数的基本计算及其应用 知识点拨 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为. 复合函数的导数 考点一 导数的基本计算及其应用 知识点拨 设函数，若，则________． ∴，， ∴，则， 故答案为：1． 考点一 导数的基本计算及其应用 重点题型 由已知得， 所以，得． 故答案为：3． 已知曲线在处的切线斜率为1，则________． 考点一 导数的基本计算及其应用 重点题型 解题通法 函数求导的原则： 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 考点一 导数的基本计算及其应用 归纳总结 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2025全国一卷第12题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 2024新高考Ⅰ卷第13题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 2024全国甲卷第6题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 2023全国甲卷文科第8题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 2022新高考Ⅰ卷第15题 利用导数研究过曲线外某点处的切线方程 2022新高考Ⅱ卷第14题 利用导数研究过曲线外某点处的切线方程 2021新高考Ⅰ卷第7题 利用导数研究过曲线外某点处的切线方程 2021全国甲卷理科第13题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 2020全国乙卷理科第6题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 2020全国乙卷文科第15题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 2020全国丙卷理科第10题 利用导数研究在曲线上某点处的切线方程 考点二 利用导数研究函数的切线 考频统计 (1)求出函数的导数； (2)求切线的斜率； (3)写出切线方程，并化简． 求在曲线上某点处的切线方程的求解步骤： 考点二 利用导数研究函数的切线 设出切点，解方程组得切点，进而确定切线方程． 求过某点的切线方程 知识点拨 ，则， 故，所以曲线在点处的切线为， 令，解得，令，解得， 故所求三角形的面积为．故选：A． 设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 考点二 利用导数研究函数的切线 重点题型 的导数为， 设切点为，可得， 解得，即有切点， 则切线的方程为，即， 故答案为：． 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________． 考点二 利用导数研究函数的切线 重点题型 ∵，∴切线的斜率， ∴切线方程为(x， 又∵切线过原点，∴，∴， ∴切线方程为，即， 当时，，与的图象关于轴对称， ∴切线方程也关于y轴对称，∴切线方程为， 故答案为：，． 曲线过坐标原点的两条切线的方程为__________，__________． 考点二 利用导数研究函数的切线 当时，，设切点坐标为， 重点题型 则过切点的切线方程为，把代入，可得， 设，得， 当时，，是增函数， 当时，，是减函数．则． 又当时，， ∴当且仅当时，上述关于t的方程有两个实数解，对应两条切线． 故选：D． 若过点可以作曲线的两条切线，则(　　) A． B． C． D． 考点二 利用导数研究函数的切线 设过点作曲线的切线的横坐标为，由，得， 重点题型 曲线，得，在点处切线的斜率为：， 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 考点二 利用导数研究函数的切线 切线方程为：，即． 曲线在点处的切线也是曲线的切线， 设的切点横坐标为，得切线的斜率为：，得， 代入，可得切点坐标为：， 切点在上，，得．故答案为：． 重点题型 设在曲线上的切点为， 若曲线与恰有2条公切线，则(　　) A． B． C． D． 考点二 利用导数研究函数的切线 设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则，消去，可得， 重点题型 若曲线与恰有2条公切线，则(　　) A． B． C． D． 考点二 利用导数研究函数的切线 令， 解得或，令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得．故选：A． 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 重点题型 考点二 利用导数研究函数的切线 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或，令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得．故选：A． 重点题型 若直线是曲线的切线，则 . 考点二 利用导数研究函数的切线 对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 重点题型 解题通法 1．求曲线在某一点的切线 先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程． 2．已知切线方程求函数中的参数 先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线(切线)得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线(曲线)方程便可求得参数． 3．求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同 考点二 利用导数研究函数的切线 归纳总结 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2024新高考Ⅱ卷第6题 根据函数在给定区间范围内的单调性，求参数 2023全国乙卷理科第16题 根据函数在给定区间范围内的单调性，求参数 2022新高考Ⅰ卷第7题 利用导数研究函数单调性比较函数值大小关系 2022年全国甲卷理科第12题 利用导数研究函数单调性比较函数值大小关系 2021全国乙卷理科第12题 利用导数研究函数单调性比较函数值大小关系 考点三 利用导数研究函数的单调性 考频统计 (1)求函数的定义域． (2)求的导数． (3)求出的零点，划分单调区间． (4)判断在各个单调区间内的符号． 利用导数研究函数单调性的步骤 考点三 利用导数研究函数的单调性 知识点拨 因为函数在区间上单调递增， 所以，即对任意恒成立， 令，则在上单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为. 故选：C 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为(　　) A． B． C． D． 考点三 利用导数研究函数的单调性 重点题型 恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故， 故即故， 结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是_________. 考点三 利用导数研究函数的单调性 由函数的解析式可得在区间 重点题型 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值0，则即， 则，即， 已知，，，则，，的大小关系为(　　) A． B． C． D． 考点三 利用导数研究函数的单调性 设，则， 重点题型 已知，，，则，，的大小关系为(　　) A． B． C． D． 考点三 利用导数研究函数的单调性 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最大值0， 则，即， 则，即， 所以.故选：C． 重点题型 因为， 已知，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 考点三 利用导数研究函数的单调性 ，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，所以，即，即，所以； 又，所以，即. 综上，.故选：. 重点题型 解题通法 1．函数在区间上单调递增(或递减)，可转化为(或)在上恒成立． 2．函数在区间上存在单调递增(或递减)区间，可转化为(或)在上有解． 考点三 利用导数研究函数的单调性 归纳总结 解题通法 3．与和相关的常见同构模型 ，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 考点三 利用导数研究函数的单调性 归纳总结 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2025全国二卷第13题 给出函数的极值点，求函数值 2023新高考Ⅱ卷第11题 含参解析式存在极值，判断参数不等式 2022全国甲卷理科第6题 给出函数最值，利用导数求参 2022全国乙卷文科第11题 给出具体解析式，利用导数研究函数的最值 2022全国乙卷理科第16题 给出函数的极值点个数，求解参数的取值范围 2021新高考Ⅰ卷第15题 给出具体解析式，利用导数研究函数的最值 2021全国乙卷理科第10题 给出函数的极值点，比较参数式大小 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 考频统计 (1)导函数的变号零点，即为函数的极值点． (2)利用函数的单调性可得函数的极值点． 判断函数的极值点，主要有两点 (1)求函数在内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值，． (3)将函数的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 求函数在上的最大值和最小值的步骤 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 知识点拨 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 函数在区间的最小值、最大值分别为(　　) A． B． C． D． 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 ， 重点题型 而，所以，即， 所以，因此函数在上递增，在上递减， 时取最大值，满足题意，即有． 故选：B． 当时，函数取得最大值，则(　　) A． B． C． D．1 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 因为函数定义域为，所以依题可知，，， 重点题型 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的． 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故． 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故.综上所述，成立. 故选：D． 设，若为函数的极大值点，则(　　) A． B． C． D． 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 若，则单调，无极值点，不合题意，故. 重点题型 求导得，因为函数既有极大值也有极小值， 则函数在上有两个变号零点， 而，因此方程有两个不等的正根， (多选题)若函数既有极大值也有极小值，则(　　) A． B． C． D． 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 函数的定义域为， 重点题型 (多选题)若函数既有极大值也有极小值，则(　　) A． B． C． D． 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 于是， 即有，，， 显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD． 重点题型 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当 ，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是________． 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 【方法一】：转化法，零点的问题转为函数图象的交点 重点题型 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为， 故切线方程为， 则有，解得， 则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． ，图象显然不符合题意，所以． 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 重点题型 的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 【通性通法】构造新函数，二次求导 重点题型 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 重点题型 若是函数的极值点，则__________. 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增， 当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 重点题型 解题通法 (1)不能忽略函数的定义域． (2)是可导函数在处取得极值的必要不充分条件，即的变号零点才是的极值点，所以判断的极值点时，除了找的实数根外，还需判断在左侧和右侧的单调性． (3)若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． (4)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值． 求函数的极值与最值的规律方法 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 归纳总结 解题通法 法一：(转化法)利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该类型题的最优解； 法二：(构造新函数)通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 已知函数存在极值点，求参数 考点四 利用导数研究函数的极值与最值 归纳总结 $