6.2平行四边形的判定课件2025-2026学年数学北师大版八年级下册

6.2 平行四边形的判定 平行四边形的判定(1)——边 证明：如图，连接BD. ∵AD＝CB，AB＝CD，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB(SSS). ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∴AB∥CD，AD∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形． 1.(新教材P159引例)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB.求证：四边形ABCD是平行四边形． 2.(新教材P160引例)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：如图，连接AC. ∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA. ∴△ABC≌△CDA(SAS). ∴∠BCA＝∠DAC.∴BC∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 在△ABC和△CDA中， 证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥DC. 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 3. 如图，已知在四边形ABCD中，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：四边形ABCD是平行四边形． 4.(新教材P167T3)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°. ∵∠B＝∠D， ∴∠D＋∠C＝180°. ∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形． 5. (新教材P161例1)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴DE＝BF. ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴DE＝ AD，BF＝ BC，DE∥BF. ∴AD BC. 6.如图，在▱ABCD中，AE＝CF.求证：四边形DEBF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE∥DF. ∵AE＝CF， ∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF. ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴AB CD. 7.(新教材P177T14)如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC. ∴∠DAE＝∠BCF. ∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°. ∴△ADE≌△CBF(AAS). ∴AD＝BC. 又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 在△ADE和△CBF中， 8.(2025·中山期中)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CA，AC延长线上的点，且AE＝CF，BE∥DF. (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形ABCD为平行四边形，你添加的条件是_____________________； (2)添加了条件后，求证： 四边形ABCD为平行四边形． BE＝DF(答案不唯一) (2)证明：∵BE∥DF，∴∠E＝∠F. ∴△BEA≌△DFC(SAS). ∴AB＝CD，∠EAB＝∠FCD. ∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥CD. 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 在△BEA和△DFC中， 9.(新教材P167T6)小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．你能说说小明这样做的道理吗？ 解：这样做的道理是：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形． 10.(新教材P167T2)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD. 又∵∠B＝∠D，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA(AAS). ∴AB＝CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 11.(新教材P167T5)如图，在▱ABCD中，E，F分别是边CD和AB上的点，AE∥CF，BE交CF于点H， DF交AE于点G.求证：EG＝FH. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE. ∴AB－AF＝CD－CE，即BF＝DE. ∵AB∥CD，∴BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形． ∴DF∥BE，即GF∥EH.∵AE∥CF，即GE∥FH， ∴四边形EGFH是平行四边形．∴EG＝FH. ∴AB CD.∴AF∥CE. (1)证明：在▱ABCD中， BE∥DF，AB＝CD. ∵AE＝CF， ∴AB－AE＝CD－CF. ∴BE＝DF. ∴四边形DEBF是平行四边形． 12.(2025·深圳期末)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB和CD上，且AE＝CF. (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)解：如图，过点D作DH⊥AB于点H， 则∠AHD＝∠BHD＝90°. ∵∠A＝60°，AD＝2，∴∠ADH＝90°－∠A＝30°. (2)若DE＝BE，∠A＝60°，AD＝2， AB＝3，求▱DEBF的面积． ∴AH＝ AD＝1. ∴BH＝AB－AH＝3－1＝2，DH＝ . ∴( )2＋(2－BE)2＝BE2，解得BE＝ . ∵DH2＋EH2＝DE2，且DE＝BE，EH＝2－BE， ∴S▱DEBF＝BE·DH＝ × ＝ . 平行四边形的判定(2)——对角线 1.(新教材P162引例)已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵OA＝OC，OD＝OB， ∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB(SAS). ∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO. ∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形 判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)对角线___________的四边形是平行四边形 几何语言 ∵______________________， ∴四边形ABCD是平行四边形 互相平分 OA＝OC，OB＝OD 2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AO＝CO，添加一个条件：_____________________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形． 3.(2025·湛江期中)如图，在四边形ABCD中， AC和BD相交于点O，则下列条件不能判断 四边形ABCD是平行四边形的是( ) A. AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD BO＝DO(答案不唯一) C 证明：∵O是平行四边形ABCD的对角线的交点， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形． 4. (新教材P162例2)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是AC上两点，并且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形． 5.(新教材P163T1改编)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知E，F分别为AO，OC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵O是▱ABCD对角线AC，BD的交点， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别为AO，CO的中点， ∴OE＝OF. 又∵OB＝OD. ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴OE＝ OA，OF＝ OC. 6. 如图，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于点B，D. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵四边形AECF为平行四边形， ∴OA＝OC，AE∥CF. ∴∠OCD＝∠OAB. ∴△AOB≌△COD(ASA).∴OB＝OD. 又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形． 在△AOB和△COD中， 7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在AO上，点F在CO上，DE∥BF.求证：四边形DEBF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵DE∥BF，∴∠ODE＝∠OBF. ∴△DOE≌△BOF(ASA).∴OE＝OF. 又∵OB＝OD，∴四边形DEBF是平行四边形． 在△DOE和△BOF中， 解：四边形ABFC是平行四边形．理由如下： ∵AB∥CD，F在DC延长线上，∴∠EAB＝∠EFC. ∵E是BC的中点，∴BE＝CE. 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并说明理由． ∴△ABE≌△FCE(AAS).∴AE＝FE. 又∵BE＝CE，∴四边形ABFC是平行四边形． 在△ABE和△FCE中， 证明：如图，连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. 又∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形． 9.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且 AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形． 10.(2025·江门期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上的一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点随之停止．设运动时间为t s. (1)AE＝_____，MF＝ ____________________． (用含t的代数式表示) t cm (3－3t)cm或(3t－3)cm 解：(2)存在．∵AD∥BC，∴AE∥MF. ∴当AE＝MF时，以A，M，E，F为顶点 的四边形是平行四边形． 当AE＝MF，且点F在线段CM上时， (2)是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． t＝3－3t，解得t＝ ； 当AE＝MF，且点F在线段BM上时，t＝3t－3，解得t＝ . 综上所述，存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，t的值为 或 . 11.(2025·广州期中)如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (1)证明：∵AD＝12，OD＝5，∠ADB＝90°， ∴AO＝13. ∵AC＝26，∴AO＝OC＝13. 又∵DO＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝12. ∵∠ADB＝90°，且BD＝2OB＝10， ∴S四边形ABCD＝AD·BD＝12×10＝120. (2)求BC的长和四边形ABCD的面积； (3)点D到线段AB的距离是_______． $