6.1　平行四边形的性质 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

6.1 平行四边形的性质 平行四边形的性质(1)——边和角 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是_____四边形，它是_____对称图形． 1.如图，四边形ABCD是平行四边形．求证： (1)AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D； 平行 中心 证明：(1)如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. (2)∠A＝∠C. 证明：(2)由(1)得∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，即∠BAD＝∠DCB. ∴△ABC≌△CDA(ASA). ∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D. 在△ABC和△CDA中， 平行四边形的性质： (1)平行四边形的对边_____且_____； (2)平行四边形的对角_____． 几何语言：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴(边)____________________， (角)_____________________． 平行 相等 相等 ∠A＝∠C，∠B＝∠D 2. 如图，在▱ABCD中， (1)若AB＝7 cm，AD＝4 cm，则BC＝______，CD＝_______，周长为________． (2)若∠A＝40°， 则∠B＝_______， ∠C＝______， ∠D＝________． 4 cm 7  cm 22 cm 140° 40° 140° 3.(1)若▱ABCD的两邻边之比为2∶3，周长为20 cm，则此平行四边形两邻边的长分别为_____________． (2)如图，在▱ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶2，  则∠C＝________，∠D＝________． 4 cm，6 cm 60° 120° 4. (新教材P154例1)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE＝CF.求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB CD. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴BE＝DF. ∴∠BAE＝∠DCF. 5. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E. (1)求证：AB＝EB； (2)若BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为___． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠BEA. ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝EB. 22 6.(2025·珠海期中)如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，∠CED＝25°，则∠B的度数为( ) A．40°　　　　 B．50° C．60°　　　　 D．65° B 7．(2025·广州期中)如图，已知平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F.如果AB＝3，CF＝2，那么AD＝____． 5 8.(新教材P175T4)如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. 求证：∠BAE＝∠DCF. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD. ∴AB CD. ∴∠ABE＝∠CDF. 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD(AAS). ∴∠BAE＝∠DCF. 9.已知：如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F.求证：BF＝DE. 证明：在▱ABCD中，∠A＝∠C， ∠ABC＝∠ADC，AD＝CB，AB＝DC. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， 又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CBE. ∴△ADF≌△CBE(ASA).∴EC＝AF. 又∵DE＝DC－EC，FB＝AB－AF，且AB＝DC， ∴BF＝DE. ∴∠CBE＝ ∠ABC，∠ADF＝ ∠ADC. 10.如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠CFE. ∴△ADE≌△FCE(AAS). 在△ADE和△FCE中， (2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数． (2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，∴BF＝BC＋FC＝2BC. 又∵AB＝2BC，∴BF＝AB. ∴∠FAB＝∠F＝36°. ∴∠B＝180°－36°×2＝108°. 11.如图，E是▱ABCD的边BC上的点，且AE，DE分别平分∠BAD，∠ADC. (1)求证：BE＝CE； (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD. ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE. 同理可证CD＝CE. 又∵AB＝CD，∴BE＝CE. (2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC. ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AE，DE分别平分∠BAD，∠ADC， (2)若AB＝5，AE＝6，求△ADE的周长． ∴∠DAE＝ ∠BAD，∠ADE＝ ∠ADC. ∴∠AED＝90°.由(1)知AD＝BC＝2AB＝10. ∴∠DAE＋∠ADE＝ (∠BAD＋∠ADC) ＝ ×180°＝90°. ∴△ADE的周长＝AE＋DE＋AD＝6＋8＋10＝24. 在Rt△AED中，由勾股定理，得DE＝ ＝8. 　平行四边形的性质(2)——对角线 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO. ∴△AOB≌△COD(ASA). ∴OA＝OC，OB＝OD. 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O.求证：OA＝OC，OB＝OD. 2.平行四边形是_____对称图形，___________是它的对称中心． 平行四边形的性质： (3)平行四边形的对角线__________． 几何语言：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴______________________． 互相平分 OA＝OC，OB＝OD 中心 对角线交点 3.(新教材P156T1改编)已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，那么AC＝____，BD＝____，BC＝____. 4.(2025·广州期末)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝8，BD＝10，CD＝6，则△COD的周长为 ( ) A. 24　　　B．15 C．14　　　D．12 6 8 5 B 5. (新教材P156例2)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，OB＝OD. ∴∠EDO＝∠FBO. ∴△DOE≌△BOF(ASA).∴OE＝OF. 在△DOE和△BOF中， 6.如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交AB，CD的反向延长线于点E，F.求证：OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD，DC∥AB. ∴∠FDO＝∠EBO. ∴△EOB≌△FOD(ASA).∴OE＝OF. 在△EOB和△FOD中， 一组对边_____、另一组对边_______的四边形叫作梯形．如图，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底．_______的两边称为梯形的腰，_________的梯形称为等腰梯形． 平行 不平行 不平行 两腰相等 证明：如图，将AB向右平移至DE，使点A的对应点为D， ∴DE＝AB，DE∥AB.∴∠1＝∠B. ∵AB＝DC，∴DE＝DC. ∴∠1＝∠C.∴∠B＝∠C. 7.(新教材P158T17)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC.求证：∠B＝∠C. 8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，BD⊥CD，求∠C的度数． 解：∵AD∥BC，AB＝DC＝AD， ∵BD⊥CD， ∴∠DBC＋∠C＝90°， 即 ∠C＋∠C＝90°，解得∠C＝60°. ∴∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝ ∠ABC，∠ABC＝∠C. 9.(2025·韶关期末)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于 点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6， 则BD的长是____． 10.(2025·肇庆期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，已 知∠BAD＝135°，BC＝2AB＝6，则阴影部分的面积( ) A. 　　　 B．18 C.     D． 10 C 11.(新教材P158T6)如图，O为▱ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA的延长线、DC的延长线于点E，F. 求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，O为BD的中点， ∴△BOE≌△DOF(ASA).∴BE＝DF. ∵AB＝CD，∴BE－AB＝DF－CD，即AE＝CF. ∴AB CD，OB＝OD.∴∠EBO＝∠FDO. 在△BOE和△DOF中， 12.(新教材P158T5)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，求OB的长度及▱ABCD的面积． 解：∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝90°. 在Rt△ADB中，由勾股定理，得 ∵四边形ABCD是平行四边形， S▱ABCD＝AD· BD＝8×6＝48. ∴OB＝ BD＝3， BD＝ ＝6. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OB＝OD. ∴∠OBF＝∠ODE，∠BFO＝∠DEO. ∴△BOF≌△DOE(AAS).∴OE＝OF. 又∵OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(SAS).∴∠OBE＝∠ODF.∴BE∥FD. 13.(2025·崂山区期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是CD上的点，连接EO并延长，交AB于点F，连接BE，DF. (1)求证：BE∥FD； (2)解：∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°. (2)若BD⊥BC，∠BCD＝60°，求 的值． ∵∠BCD＝60°，∴∠BDC＝90°－60°＝30°. ∴CD＝2BC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝ BC. ∴OB＝ BD＝ BC，AD＝BC. ∴ . $