精品解析：湖北省黄冈中学实验班2025-2026学年高二下学期数学期中测试1

黄冈中学2027届实验班高二下学期数学 期中测试1 2026.4.25 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出指定项. 【详解】等差数列中，，则， 又，则，因此数列的公差， 所以. 故选：B 2. 已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项性质通分计算即可. 【详解】依题意，， 则. 故选：D. 3. 设等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 4. 已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，由，得，不能判断的正负，所以不能判断,的大小，故不能确定是否递增数列；但由为递增数列，能得到进而即得. 【详解】由是等差数列，，得，所以， ，不能判断的正负，所以不能判断,的大小， 所以不能确定是否递增数列； 若为递增数列，则，即时， 所以，，所以， 所以是为递增数列的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 6. 公差与首项相等的等差数列的前项和为，且记，其中表示不超过的最大整数，如，则数列的前65项和为（ ） A. 21 B. 258 C. 264 D. 270 【答案】D 【解析】 【分析】先求出数列的通项，再分组求数列的前65项和. 【详解】设等差数列的公差为，， 由，可得，可得， 所以， 所以， 当时； 当时，，共2项； 当时，，共4项； 当时，，共8项； 当时，，共16项； 当时，，共32项； 当、65时，，共2项． 所以数列的前65项和为． 7. 已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求公比，进而得，再由裂项相消法求，最后解二次不等式即可求解. 【详解】等比数列的前项和为，公比设为，由，得， 所以，解得或（舍去），所以， ， ， 由不等式恒成立，可得，解得，或. 8. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（    ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】由，，又，所以， ，又，所以， 由得（）， 相减得，，， 所以，所以， 再相减得， 则，而， 所以数列是等差数列，首项和公差均为1，所以， ， 对任意，有恒成立，则恒成立， ， 即， 是奇数时，，，∴， 为偶数时，，，∴， 综上，．又是非零整数，所以． 故选：D． 【点睛】思路点睛：数列问题中已知项与和的关系时，一般利用得出数列的递推关系，从而再求解；在含有的不等式参数问题中，需要利用的奇偶进行分类讨论化简不等式得参数范围． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中的最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D. 【详解】由，可得， 由，可得，即，又因为，所以. 因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列， 故A正确； 由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大， 故B正确； 由等差数列的前项和公式可知，， ， 所以使得成立的最小自然数，故C错误； 当时，； 当时，； 当时，， . 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以在时为增函数， 所以数列中的最小项为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 若，则 C. 数列为单调递减数列 D. 数列的前项和大于 【答案】AC 【解析】 【分析】将已知等式变形为，结合等差数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，利用对数的运算性质化简的表达式，然后解不等式，可判断B选项；利用数列单调性的定义可判断C选项；利用裂项求和法可判断D选项. 【详解】因为，等式两边乘以得， 对于A，因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知：，则，则， 故， 由可得，即，解得，故B错； 对于C，因为，所以， 而，所以， 则数列为单调递减数列，故C正确； 对于D，由B可知， 则 ， 所以数列的前项和小于，故D错误. 11. 记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 设，则 D. 设，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】 对于A，当时，，于是，故A错误； 对于B,， 两式相减得， 可知是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以， 即可得当时，， 于是，故，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 【答案】14 【解析】 【分析】法一：利用等差数列的通项公式和前项和公式计算；法二：利用等差数列的性质计算. 【详解】由题知，，解得. 另解：因为，又，所以， 即，由等差数列性质知，得. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出并裂项，求出，再按分奇偶求出范围即得. 【详解】等差数列的前项和，当时，， 而满足上式，则， 则， 数列的前项和， 而不等式对恒成立， 当为偶数时，，数列单调递减，则，因此； 当为奇数时，，数列单调递增，则，因此. 则，所以实数的最小值为. 14. 已知数列各项均不为零，，，. （1）当时，的前项和是___________； （2）若，正整数的最小值是___________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，利用列举法分析可知数列是最小正周期为的数列，并求出该数列前项的值，结合周期型可得出数列的前项的和； （2）由已知等式变形得出，求出的值，根据题意得出，可得出关于的不等式，结合为正整数，可得出且，再验证满足题意即可. 【详解】（1）由数列各项均不为零，，，， 所以当时，可得，即有， 可得，， ，， ， 所以数列是最小正周期为的数列， 因此， 又因为， 所以的前项和为； （2）由，两边同时除以，可得， 因为，，所以， 因为，所以，即，解得或， 因为是正整数，所以，即且， 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. 【小问2详解】 ①， ②， ，得 ， 所以. 16. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，． （1）求数列的前n项和． （2）若，，求满足条件的的集合． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】(1)由三项成等比列式,应用基本量运算,结合通项公式和前项和公式求解即可; (2)裂项求和后解不等式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为, 因为成等比,所以,即得 化简得,又因为,所以. 因为,所以,即得 解得或者 当时, 不合题意舍; 当时, ,则, 【小问2详解】 因为 当时, 由题得,化简得, 即, 解得,又因为,所以, 所以 17. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为. ①求； ②求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）变形给定等式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论求出，利用并项求和法，结合正弦函数的周期求解；②按整除3、除以3余2、除以3余1分类求和即可. 【小问1详解】 由，得，即， 因此数列是常数列，，则， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 ①由（1）及，得，而数列是以3为周期的数列， 又， 因此，所以. ②当时， 当时， 当时， 故 18. 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时， ， 综上可得. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意可得，对于取，即可求出、，从而求出通项公式； （2）①首先求出，即可得到，从而求出其前20项和；②由，分及两种情况讨论，当时利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； 【小问2详解】 ①由（1）知，，所以， 因为， 所以，所以的前20项和为； ②略 19. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 在数列中，且， 则，， 所以数列是以1为公差的等差数列， ，即. （2）（ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理得证并求出通项公式. （2）（ⅰ）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；（ⅱ）利用错位相减法求和即得；（ⅲ）由（ⅱ）求出，再分奇偶，结合恒成立问题求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ）， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即， 而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈中学2027届实验班高二下学期数学 期中测试1 2026.4.25 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 设等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 4. 已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 6. 公差与首项相等的等差数列的前项和为，且记，其中表示不超过的最大整数，如，则数列的前65项和为（ ） A. 21 B. 258 C. 264 D. 270 7. 已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（    ） A. 2 B. 1 C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中的最小项为 10. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 若，则 C. 数列为单调递减数列 D. 数列的前项和大于 11. 记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 设，则 D. 设，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则_____. 13. 已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 14. 已知数列各项均不为零，，，. （1）当时，的前项和是___________； （2）若，正整数的最小值是___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，． （1）求数列的前n项和． （2）若，，求满足条件的的集合． 17. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为. ①求； ②求. 18. 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 19. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $