精品解析：江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第二学期期中调研测试高二数学试题

江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第二学期期中调研测试高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，解得 5. 某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，可将四名同学先按照分组，再对三个社团进行分配即可， 故不同的参加方法的种数为. 6. 在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D 7. 有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果. 【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 8. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量， 利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在中，，且2，所以是等腰直角三角形. 因为为的中点，根据等腰三角形性质，. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 所以 ， ，， ，. 设，在中，，. 所以，故. 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为). ，设直线与平面所成的角为. 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的. 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ） 0 1 0.6 A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故C正确； 而方差为，故B错误； 可得，故D错误. 10. 已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中二项式系数最大项为 D. 展开式中系数最大的项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项AB，利用通项公式求解；选项C，由可知展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项，利用通项公式求解；选项D，设项为展开式中系数最大的项，则的系数的系数，且的系数的系数，利用通项公式求解. 【详解】选项A，的展开式中的第5项为 ， 此二项式的展开式中的第5项的系数为， 的展开式中的第4项为 ， 此二项式的展开式中的第4项的系数为， 第5项与第4项的系数之比为， ，，， ，故选项A正确； 选项B，展开式的通项， 令，解得， 则，故选项B正确； 选项C，，展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项， 第5项为， 第6项为， 故展开式中二项式系数最大项为或，故选项C错误； 选项D，设项为展开式中系数最大的项， 则的系数的系数，且的系数的系数， ， 的系数为， ， 的系数为， ， 的系数为，， ，， ， ，，，， ， 展开式中系数最大的项为， 故选项D正确. 11. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；由题意作出点的轨迹，计算可判断B；根据等体积法确定点的位置计算可判断C；取，，，，，的中点分别为，，，，，，连接，，，，，，，，，根据题意确定轨迹，计算可判断D. 【详解】对于A，当为的中点时， 因为是线段的中点，所以， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，连接，，以为圆心，为半径画，如图1所示， 当点在弧上时，直线与所成的角为， 长度，故点的轨迹长度为，故B错误： 对于C，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，故C正确； 对于D，取，，，，，的中点分别为，，，，，， 连接，，，，，，，，，如图2所示， 易知，面，平面， 故平面，，平面，平面， 故平面，又，，平面， 故平面平面，又，，， 故平面与平面是同一个平面，则点的轨迹为该正六边形，； 故，故长度的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果. 【详解】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 13. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 【答案】432 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求. 【详解】先排4个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）, 步骤2：将2个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻， 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，有种方法， 故不满足条件的情况有，故总数为：. 14. 在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】记棋子在位置时最终获胜的概率为，根据概率之间的关系建立方程组求解即可. 【详解】记棋子在位置时最终获胜的概率为，则， 因为棋子位于0时向左右移动的概率都为，所以， 又因为棋子位于1时向左移动的概率为，向右移动的概率为， 所以，代入可得，解得. 因为棋子初始位于0，所以获胜概率即为. 四、解答题：本题共5大题，满分77分.每题要有详细的解答过程. 15. 甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， （1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； （2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师，据此求解即可； （2）分两步进行求解，第一步从5名学生中任选一名分给老师甲，第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师. 【小问1详解】 由题意可得从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师， 所以一共有种分配方案. 【小问2详解】 第一步，从5名学生中任选一名分给老师甲，有种分配方案； 第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师； 这两组人数为1和3时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 这两组人数为2和2时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 所以第二步一共有种分配方案， 所以一共有种分配方案. 16. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，侧棱底面且，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：连接底面是菱形，． 平面平面． 又平面平面， 平面． 平面平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）由底面是菱形得到．平面得到，从而得到平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面． （2）方法一：由平面得到为与平面所成角．利用勾股定理和余弦定理求出长度，在中，代入得到与平面所成角的正切值；方法二：利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：设，由（1）知平面． 则为与平面所成角． 底面是菱形，． 在直角中，． 在中，由余弦定理知： , ． 在中，． 与平面所成角的正切值为． 方法二：取中点，易知，以 为基底建立空间直角坐标系．则有： ． ． 设平面的一个法向量， ， 令有． 设与平面所成角为，则有， ． 17. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． （1）求甲连续打前四局比赛的概率； （2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； （3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【小问1详解】 由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. 【小问2详解】 设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. 【小问3详解】 由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数的取值情况，分类讨论函数的单调性即可； （3）根据（2）的结论，结合得，即，设，利用导数分类讨论即得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值， 由，可得，因，可得， 令，求导得，即在上单调递减， 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第二学期期中调研测试高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 36 2. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 72 6. 在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 7. 有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的. 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ） 0 1 0.6 A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中二项式系数最大项为 D. 展开式中系数最大的项为 11. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 13. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 14. 在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________． 四、解答题：本题共5大题，满分77分.每题要有详细的解答过程. 15. 甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， （1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； （2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 16. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，侧棱底面且，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正切值． 17. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． （1）求甲连续打前四局比赛的概率； （2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； （3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $