精品解析：江苏省沭阳高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

高二年级第二学期期中考试 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标特征求解. 【详解】由题意得对称点的横坐标和竖坐标与点P的相同，纵坐标与点P的互为相反数， 所以点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为， 故选：C 2. 的展开式中含项的二项式系数为（ ） A. －10 B. 10 C. －5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次项定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为， 令，解得，∴含项的二项式系数为． 故选：D 3. 已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（ ） A. 3.25 B. 3.4 C. 3.7 D. 3.85 【答案】D 【解析】 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得. 【详解】， 增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：， 新的经验回归方程为：， 则当时，， 故选：D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 5. 已知，随机变量服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若，则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线，得到，再结合二项式定理得到，利用，可求的值. 【详解】由的分布密度曲线知，，所以， 根据展开式的通项公式可得，， 则，解得． 故选：B 6. 某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 4320种 B. 2640种 C. 1560种 D. 110种 【答案】C 【解析】 【分析】各会场的获奖者人数可能是或，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是或， 若为，则有种不同的派出方法； 若为，则有种不同的派出方法； 综上可得一共有种不同的派出方法. 故选：C 7. 为两个随机事件，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 事件相互独立 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及全概率公式易得 ，进而得到，再应用条件概率、独立事件的判定及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由，且， 所以 ，则，同理，A对； 由，，即，B对； 由，即事件相互独立，C对； 由，D错. 故选：D 8. 将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（ ） A. 第行第个数是 B. 当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用莱布尼茨三角形的定义可判断A选项；利用二项式系数的最值可判断B选项；利用组合数的性质可判断C选项；利用莱布尼兹三角形的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知第行第个数是，A对； 对于B选项，当是偶数时，中间的一项的二项式系数最大，此时中间的一项取得最小值取得最小值， 当是奇数时，中间的二项式系数相等且取到最大值，则中间的两项相等，且同时取得最小值，B对； 对于C选项，因为，故，C对； 对于D选项，由于每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 则，D错. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 若 且 ，则 C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量可判断A；设，利用求出可判断B；利用点到直线的距离向量求法可判断C；设，求出可判断D. 【详解】对于A，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，则，故A正确； 对于B，，因为，设， 若，则，解得，则或，故B错误； 对于C，，则点到直线的距离为 ， 故C错误； 对于D，设，因为， ， 则有， ，解得，故，则四点共面. 故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，若，则 B. 若随机变量X 的分布列为 ，则 C. 已知X 是随机变量，则. D. 随机变量 ，若，则图象关于点 成中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质判断AD；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用方差计算公式推理判断C. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，由，得服从超几何分布，，B错误； 对于C，方差，因此，C正确； 对于D，随机变量 ，则分布函数满足， 因此图象关于点 成中心对称，D正确. 故选：ACD 11. 市教育局组织各学校举行教师团体乒乓球比赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两个学校的教师团队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为，(注：比赛结果没有平局).以下说法正确的是（ ） A. 甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是 B. 甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率是 C. 若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，则甲队明星队员M上场的概率是 D. 若甲队明星队员M在前3局比赛中出场，则前3局比赛中甲队获胜局数X的数学期望是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由甲队按获胜，即前3局，甲队输1局，应用独立乘法公式求概率判断A；甲队3局获胜的事件记为，前3局比赛，甲队明星队员M出场的事件记为，应用排列组合数及古典概型的概率求法、全概率公式求判断B；根据B分析应用条件概率公式判断C；根据题设直接确定甲获胜的期望即可判断D. 【详解】甲队明星队员M不出场，甲乙两队比赛4局甲队获胜， 则甲队按获胜，即前3局，甲队输1局， 所以甲队获胜的概率为，A对； 甲队3局获胜的事件记为，前3局比赛，甲队明星队员M出场的事件记为， 依题意，则，，， 所以，B对； 由B知，甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利， 则甲队明星队员M上场的概率是，C错； 由题设，M出场且甲获胜的期望为，其它两局甲获胜的期望均为， 所以甲获胜的总期望为，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则 ______. 【答案】0.6# 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算可得答案. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13. 如图，用6种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种． 【答案】480 【解析】 【分析】先涂色A区,接着涂色B区，再涂色C区，然后涂色D区，由分步计数原理可得答案. 【详解】从A开始涂色，A有6种涂色方法， B有5种涂色方法，C有4种涂色方法； 由D区与B，C 涂不同色，与A区颜色可以同色也可以不同色，则D有4种涂色方法． 故共有种涂色方法． 故答案为：480 14. 如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量的运算得，，根据条件，利用空间向量数量积的运算律及模长公式，得到，，进而可求得，即可求解. 【详解】连接， ， ，故， 又， 故 ，故， 则 ， 所以直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； （2）求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 【答案】（1），有较强的线性相关性， （2） 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式即可求解， （2）利用最小二乘法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， ， 故，故有较强的线性相关性， 【小问2详解】 ， 故， 将代入可得， 故回归直线方程为 16. 在的展开式中，______． 现在有以下三个条件： 条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为； 条件②：只有第6项的二项式系数最大： 条件③：其前三项的二项式系数的和等于56． 请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）展开式中所有二项式系数的和； （2）展开式中的系数最大项． 【答案】（1）1024 （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①得到求解；选条件②得到求解；选条件③得到求解； （2）由（1）得到二项式为，再利用通项公式列式求解即可. 【小问1详解】 解：选条件①：因为第4项和第2项的二项式系数之比为； 所以，即， 即，解得（舍）或. 所以展开式中所有二项式系数的和； 选条件②：因为只有第6项的二项式系数最大； 所以为偶数，且，解得. 所以展开式中所有二项式系数的和； 选条件③：因为其前三项的二项式系数的和等于56， 所以， 即，即，解得（舍）或. 所以展开式中所有二项式系数的和； 【小问2详解】 由（1）二项式为， 其通项公式为：， 可知第项的系数为， 令，解得，即， 所以第项的系数最大，最大项为， 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人． （1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）的分布列为: 0 1 2 3 期望1.125 （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望1.125 【解析】 【分析】（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0,1,2,3.则的分布列和数学期望易求： (2)由题意可知服从二项分布，且，则机变量的分布列和数学期望.可求 【小问1详解】 由题意知， 的值为0,1,2,3. ， ， ， . ∴的分布列为: 0 1 2 3 ． 【小问2详解】 由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为P=，=0,1,2,3. 且. . 的分布列为： 0 1 2 3 ． 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点是上的一点得到进而得到平面的法向量的坐标，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一个法向量，利用两平面夹角的余弦值求得的值，进而得到； （ⅱ）利用平面的法向量，确定点的坐标，从而得到的坐标，由点M在平面PBC上，可设，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用表示出EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量， 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量． 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以． （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，． ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD的一个法向量， 设EG与平面MAD所成角为，则 因为，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为． 19. 2024年道达尔能源—汤姆斯杯暨尤伯杯决赛中，中国队3∶0击败印度尼西亚队，夺得冠军．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲，乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完善的列联表： 甲得分 乙得分 总计 甲发球 90 乙发球 120 总计 120 300 （1）完成列联表，并判断是否有的把握认为比赛得分与接，发球有关； （2）羽毛球，篮球，网球这三种运动项目深受大学生的喜欢．小明同学每周的星期六，星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在这3种运动项目中选择一种．已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择羽毛球，则星期天选择羽毛球的概率为：如果星期六选择篮球，则星期天选择羽毛球的概率为；如果星期六选择网球，则星期天选择羽毛球的概率为．已知小明星期天选择羽毛球，求他星期六也选择羽毛球的概率． （3）以列联表中甲，乙各自接，发球的得分频率分别作为每一回合中甲，乙各自接，发球的得分概率．已知：若随机变量服从两点分布，且，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行150回合比赛后，甲的总得分期望． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）列联表如下： 甲得分 乙得分 M计 甲发球 90 60 150 乙发球 30 120 150 总计 120 180 300 有的把握认为“比赛得分与接､发球有关” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列联表，然后卡方计算，分析有99.9%的把握认为“比赛得分与接､发球有关” （2）设相应事件，利用全概率公式可得，进而求条件概率； （3）分析第回合是甲发球要分两种情况：第回合是甲发球且甲得分，或第回合是乙发球且甲得分，然后根据等比数列的定义判断数列为等比数列，根据两点分布的特征,然后根据结合等比数列的求和公式求解即可； 【小问1详解】 由题，得完整列联表如下： 甲得分 乙得分 M计 甲发球 90 60 150 乙发球 30 120 150 总计 120 180 300 零假设：比赛得分与接､发球无关， 经计算， 根据故根据小概率值的独立性检验，可得零假设不成立， 所以有的把握认为“比赛得分与接､发球有关” . 【小问2详解】 记星期六选择羽毛球，篮球，网球分别为事件，“星期天选择羽毛球”为事件B， 则， 可得， 且， 所以. 【小问3详解】 由题已知：在甲发球的情况下，甲得分的概率为，乙得分的概率为； 在乙发球的情况下，乙得分的概率为，甲得分的概率为. 设第回合甲发球的概率为，则， 第回合是甲发球要分两种情况：第回合是甲发球且甲得分，或第回合是乙发球且甲得分， 则，整理得，且， 可知是以为首项，为公比的等比数列，则，可得， 记“第回合甲得分为”，则显然服从两点分布，且事件“”等价于“第回合是甲发球”，故. 又甲､乙共连续进行150回合比赛后，甲的得分为， 故， 所以甲的总得分期望为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第二学期期中考试 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 2. 的展开式中含项的二项式系数为（ ） A. －10 B. 10 C. －5 D. 5 3. 已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（ ） A. 3.25 B. 3.4 C. 3.7 D. 3.85 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，随机变量服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若，则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 14 6. 某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 4320种 B. 2640种 C. 1560种 D. 110种 7. 为两个随机事件，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 事件相互独立 D. 8. 将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（ ） A. 第行第个数是 B. 当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 若 且 ，则 C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，若，则 B. 若随机变量X 的分布列为 ，则 C. 已知X 是随机变量，则. D. 随机变量 ，若，则图象关于点 成中心对称 11. 市教育局组织各学校举行教师团体乒乓球比赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两个学校的教师团队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为，(注：比赛结果没有平局).以下说法正确的是（ ） A. 甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是 B. 甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率是 C. 若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，则甲队明星队员M上场的概率是 D. 若甲队明星队员M在前3局比赛中出场，则前3局比赛中甲队获胜局数X的数学期望是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则 ______. 13. 如图，用6种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种． 14. 如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； （2）求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 16. 在的展开式中，______． 现在有以下三个条件： 条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为； 条件②：只有第6项的二项式系数最大： 条件③：其前三项的二项式系数的和等于56． 请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）展开式中所有二项式系数的和； （2）展开式中的系数最大项． 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人． （1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 19. 2024年道达尔能源—汤姆斯杯暨尤伯杯决赛中，中国队3∶0击败印度尼西亚队，夺得冠军．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲，乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完善的列联表： 甲得分 乙得分 总计 甲发球 90 乙发球 120 总计 120 300 （1）完成列联表，并判断是否有的把握认为比赛得分与接，发球有关； （2）羽毛球，篮球，网球这三种运动项目深受大学生的喜欢．小明同学每周的星期六，星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在这3种运动项目中选择一种．已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择羽毛球，则星期天选择羽毛球的概率为：如果星期六选择篮球，则星期天选择羽毛球的概率为；如果星期六选择网球，则星期天选择羽毛球的概率为．已知小明星期天选择羽毛球，求他星期六也选择羽毛球的概率． （3）以列联表中甲，乙各自接，发球的得分频率分别作为每一回合中甲，乙各自接，发球的得分概率．已知：若随机变量服从两点分布，且，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行150回合比赛后，甲的总得分期望． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $