第八章 整式乘法与因式分解单元检测拔尖卷 2025-2026学年七年级数学下册沪科版

2025-2026学年七年级数学下册 第八章 整式乘法与因式分解 单元检测拔尖卷 沪科版 一、单项选择题（每小题5分，满分40分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚1nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为．数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．下列选项中，因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 4．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　） A．101214 B．101410 C．141212 D．121416 5．下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 6．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（　　） A．6 B．15 C．18 D．30 8．若，，，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题5分，满分20分） 9．因式分解　 　． 10．若为整数，且是 的一个因式，则的值为　 　． 11．若，，则的值为　 　． 12．在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，　 　． 三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．（8分）先化简，再求值：，其中，． 14．（10分）定义：规定的平方等于，即，则i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数的实部是1，虚部是． （1）复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似． 如：①；②； 填空：①　 　；②　 　； （2）若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：的共轭复数为．若是的共轭复数，则　 　，　 　，　 　； （3）已知，其中为实数，求的值． 15．（10分）（1）计算：； （2）分解因式：． 16．（10分）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： （1）的值为　 　； （2）若是一个完全平方式，则　 　； （3）已知，且，求的值． 17．（10分）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． （1）若，，求的值； （2）阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则 ； ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为24，求图中阴影部分的面积． 18．（12分）阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法：设（为整式）． 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知多项式有因式和，则　 　，　 　． （2）已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式因式分解． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解： A：，原计算错误； B：，原计算错误； C：，计算正确； D：，原计算错误； 故答案为：D. 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解： 故选： B. 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A：，原分解因式错误； B：，原分解因式错误； C：，分解因式正确； D：，原分解因式错误； 故答案为：C. 【分析】根据完全平方公式和平方差公式、提取公因式的法则逐项判断解答即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】解： =x(x-2)(x+2)， 当x=14时， x-2=14-2=12， x+2=14+2=16， 所以组成的密码可以是121416. 故选： D. 【分析】先将 因式分解，然后将x=14代入因式计算，求出因式码，据此求出设置的密码. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、(4p+q)(4q-p)，无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、(m+1)(-m-1)=-(m+1)(m+1)不可用平方差公式计算，不符合题意； C、(-a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b)不可用平方差公式计算，不符合题意； D、(x+2y)(-x+2y)=(2y+x)(2y-x)可用平方差公式计算，符合题意. 故选： D. 【分析】根据平方差公式的形式为(a+b)(a-b)逐一判断即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：由条件可知 又· 解得a=6，b=3， 因此选项D符合题意， 故选： D. 【分析】用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：图①中阴影部分面积S1=m(n-6)+(m-6)(6-5)=mn-6m+m-6=mn-5m-6， 图②中阴影部分面积S2=n(m-6)+(n-6)(6-5)=mn-6n+n-6=mn-5n-6， ∴当n-m=3时， 的值为5×3=15. 故选： B. 【分析】利用图形得出 作差得到 再代入计算求值即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ∴abc=2， 故答案为：B. 【分析】根据幂的乘方运算法则解答即可. 9．【答案】 【解析】【解答】解：， 故答案为：. 【分析】先根据多项式的乘法法则将原式展开，再通过合并同类项化简式子，最后利用完全平方公式进行因式分解. 10．【答案】4 【解析】【解答】解：设另一个因式为x+m， 则(x+1)(x+m) 那么m=3，b=m+1=3+1=4， 故答案为：4. 【分析】设另一个因式为x+m，计算(x+1)(x+m)后，根据对应系数相等即可求得答案. 11．【答案】18 【解析】【解答】解：， 故答案为：18. 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式，再整体代入计算即可. 12．【答案】 【解析】【解答】(x+y)(x-3y)-my(nx-y) 因为不论y为何值，结果都是9， 所以-2-mn=0，-3+m=0， 所以m=3，. ∴， 故答案为：. 【分析】先展开合并，根据题意得到含有y的项的系数为0求出x和y的值，然后代入计算解答即可. 13．【答案】解： ； 当，时，原式． 【解析】【分析】先根据完全平方公式、单项式乘多项式法则以及平方差公式对原式进行化简，再将x、y的值代入化简后的式子求值. 14．【答案】（1）； （2）7；-1；64 （3）解：∵， 又， ∴，， ∴， ∴． 【解析】【解答】解：（1）①； ②． 故答案为：，； (2)∵，是的共轭复数， ∴，即，， ∴． 故答案为：7；-1；64； 【分析】（1）根据复数加减法和乘法运算则逐一计算解答即可； （2）先计算出(2+i)(3-i)的结果，再根据共轭复数的定义求出a、b的值，最后代入计算即可； （3）先将((m+i)(n+i)展开，根据复数相等的条件得到 mn与m+n的值，再运用完全平方公式的变形解答即可. 15．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】(1)用多项式乘以多项式的法则把多项式各部分展开，再去括号、合并同类项； (2)先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式. 16．【答案】（1）10 （2） （3）解： ， ， ， ． 【解析】【解答】解：（1）， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； 【分析】(1)根据题目中给出的定义代入计算即可； (2)根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； (3)先根据题目中给出的定义得到 再利用完全平方公式得出 =13-2xy=1，代入求解即可. 17．【答案】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：①52； ②设，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③由题意得， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【解答】解：（2）①设，则，， ， 故答案为：52； 【分析】(1)根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； (2)①先求出((30-x)+(x-22)，再利用完全平方公式求出答案即可； ②设s=2x+3，t=2x-1，再求出 t，最后根据完全平方公式进行解答即可； ③结合图形，求出CE和CF，最后根据正方形的面积公式求出答案即可. 18．【答案】（1）； （2）解：设． ， 解得 多项式， ． 【解析】【解答】解：（1）设（为整式）， 分别取和得 解得： 故答案为：-15，30； 【分析】（1）可根据已知材料中的方法，通过代入特殊值来求解m、n的值； （2）同样利用代入特殊值的方法求出a、b的值，再对多项式进行因式分解. 学科网（北京）股份有限公司 $