山东青岛第二中学2026届高三下学期5月适应性检测数学试题

青岛二中2026年高三年级第三次适应性检测 数学试题 2026.05 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置： 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题 卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.(1+x)的展开式中x2的系数为 A.1 B.7 C.21 D.42 2。已知集合A={-2,12,3,5,,集合B={x|x=2n,nEZ},则A∩B= A.{2,6} B.[-2,6] C.{2,4,6 D.{-2,2,6} 3。在等比数列{an}中，4+4=-16，a2+4= 则4， 16 A.-24 B.-8 C.8 D.24 4.若函数f(x)=hx+是奇函数，则a= x+1 A.-1 R C.0 D.1 5.已知1 =4,则1= sinl0°cosl0° A.1 B.√2 C.5 D.2 6。一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱这个四棱锥的底面为正方形， 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱 锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h、h2、h,则h1:hz:h= A.V3:1:1 B.V3:2:2 C.V3:2:√2 D.V3:2:3 7.将函数y=sm(2x+)的图象按向量ā平移后所得的图象关于点（←石，0）中，心对称， 12 则向量ā的坐标可能为 A(50 D. 数学试题第1页共4页 8.在矩形ABCD中，AB=I,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 AP=AB+AD,则1+L的最大值为 A.3 B.2√2 C.5 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，则 A.BC·DA=0 B.BC在AD上的投影向量的模为1 C.BD=BA+BC+BD D.BD与AD所成的角为45° 10.已知函数f(x)=asin2x+bcos2.x(ab≠0)的图象关于直线x=匹对称，则 6 A.f(x)的最小正周期为π .fx+12 为奇函数 C.f(x)在 36 上单调递增 D.f(在 π5兀 内恰有3个零点 1Ⅱ.已知椭圆二+y=1的左右焦点分别为R,凡，上下顶点分别为B,B,左顶点为 A,P,Q是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是 A.P,O,F,F, B.P,2,B,B2 C.P,O,F,B D.P,O,A,B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线C若若=1a>0,b>0的高心率为5，则点40到C的浙近线的 距离为 13。甲、乙两人先后抛掷同一枚骰子，甲先抛1次，乙再抛1次，看作1次操作，然后 重复上面的操作.若某次操作甲、乙抛掷向上点数之差的绝对值大于3，记本次操 作无效，若连续两次操作无效，则停止抛掷骰子，则4次操作后停止抛掷骰子的概 率为 14.已知复数1,1满足-2= 4。,记满足-∈[L3=12)的复数z组成的 1-1D2 集合为A若名∈A且52∈A,则5-的取值范围是 数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 在长方体ABCD-ABCD中，AB=BB,=2,BC=4,AB,与AB交于点E,点F 为BC中点 (1)求证：AE⊥平面ABC; (2)求平面AEF与平面AAC的夹角的余弦值 D 16.（15分) 已知函数f(x)=(x-a2(x-b(a,b∈R,a<b). (1)当a=1,b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)设x,x2是f(x)的两个极值点，x是f(x)的一个零点，且x≠x,x,≠x2.是否 存在实数x4,使得x,x2,x,x,按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求x;若不存 在，说明理由 17.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c. (1)求证：“A>B”是“a>b”的充要条件； (2)求cosA+cosB+sinC的最大值. 数学试题第3页共4页 18.(17分) 品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种常采用的测试方法如下：拿出瓶外 观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记 忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分现设n=4,分别以4,42，a,a, 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 X=1-a+2-a2什B-a+4-a,则X是对两次排序的偏离程度的一种描述， (1)写出X的所有可能取值（不需要说明理由）： (2)假设4,4,4,4，等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X=4的概率； (3)假定各轮测试相互独立，某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，求 这种现象出现的概率；并判断该品酒师的酒味鉴别功能如何，并说明理由： 19.(17分) 双曲线B:-广=1(a>0,b>0)的一个顶点在直线1：y=x+1上，且其离心率为5 a2-b2 (1)求双曲线E的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行， 则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点T在直线l上，且 过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M, (i)设点T的横坐标为t,求t的取值范围； (iⅱ)设直线TP和直线TM分别与直线x=-1交于点Q和点N,证明：直线PW和 直线MQ交点在定直线上 (对：双曲线等茶1以点似网为切点的切线方为”：行 y=1) 数学试题第4页共4页 青岛二中2026年高三年级第三次适应性检测 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1-8：CADA CABA 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9。AB 10。ABD 11。ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 5 12.2√2 13. 216 14.0,4W2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) （1)证明：在长方体ABCD-ABCD中，因为BC⊥平面ABBA,AEC平面ABB,A, 所以BC⊥AE, 因为ABBA为正方形，所以AE⊥AB, 因为BCOAB=B,BC,ABC平面ABC 所以AE⊥平面ABC (2)以A为坐标原点，AB、AD、AA分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系A-vz, 2 B 则A(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),E(1,0,1),C(2,4,0),F(2,2,0); AE=(1,0,1),AF=(2,2,0),A4=(0,0,2),AC=(2,4,0) 设平面AEF的法向量为=（飞，》，之）， 则 i:AE=x1+21=0 ,令x=1,则片=-1，=-1，即i=(1,-1,-1), i:AF=2x,+2y,=0 设平面A4C的法向量为i=(2,)，则 iA41=2z2=0 。,令x2=2,则以2=-1,2=0，即m=(2,-1,0), i:AC=2x2+4y2= 数学答案第1页共4页 sm列-2- 5.√5 5 所以，平面ABF与平面A4C的夹角的余弦值为西 16.（15分) (1)当a=1,b=2时，f(x)=(x-1)2(x-2), 则f(x)=2(x-1)(x-2)+(x-)2=(x-(3x-,故f'(2)=1, 又f(2)=0,所以曲线y=f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2; (2)f()=2x-0(x-0+(x-=x-axa+20） 3 由于a<b,故a<a+2b 3 令(y)>0,解得x<a或x>a+边； 3；令f")<0,解得a<<a+2边 3 可知y=f(x)在( 内单调递减，在(-，a), a+2b 3,+0内单调递增， 所以f(x)的两个极值点为x=a,x= a+2b 3 不妨设，=a,无=a+2b 3 因为x≠x1,x≠x2,且x是f()的一个零点，故x=b, 又因为4+2 2-a=2b-a+2b 3 3 故x= 2a+b 2 3 3 此时a2a+ba+2b 3,3 ,b依次成等差数列， 所以存在实数，满足题意，且x,=20+b 3 17.(15分) (1)证明： 由正弦定理：a/sinA=b/sinB=2R。 充分性：若A>B,则sinA>sinB,故a>b: 必要性：若a>b,则sinA>sinB,又A,B∈(O,),故A>B。 所以“A>B是a>b的充要条件。 (2)解： C=π-A-B,所以sinC=sin(A+B)。 原式=cosA+cosB+sin(A+B). 利用和差化积与三角恒等变换： =2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2] 当A=B时取得最大值，最大值为3V2/2。 数学答案第2页共4页 18.(17分) (1)在1,2,3,4中，奇数和偶数各有两个，所以4,4，中奇数个数等于a,4中偶数个数， 因此1-a+3-a,与2-a,+4-a,的奇偶性相同 从而X=1-a+2-a,+B-a+4-a必为偶数，又X的值非负，且其值不大于8， 所以X的所有可能取值有0,2,4,6,8； （2)用(4，a,4,4)表示1,2,3,4的一个排列，则当X=4时，所有可能的情况如下： X=1+1+1+1=2+2+0+0=2+1+1+0, 若X=1+1+1+1,则(a,a2,a,a)=(2,1,4,3), 若X=2+2+0+0,则(4，a2,4,4)=(1,4,3,2),或(a1,42,4,a4)=(3,2,1,4), 若X=2+1+1+0,则(a,42,4,4)=(3,1,2,4),或(a,0,4,a4)=(1,4,2,3), 或(4,42,4，a4)=(2,3,1,4),或(4，a2,4,4)=(1,3,4,2), 做=子 (3)依题意可得P(X=0)=24 1 当X=2时，X=1+1+0+0, 则(4,4,4,44)=(2,1,3,4)，或(4,42,4,4)=(1,2,4,3)， 或(4,42,4，a4）=(1,3,2,4), 故Px-2 所以P(X≤2)=P(X-0)+P(x=2)=4 246 因为各轮测试相互独立，记A=“该品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2”， 则Pd)=(信)6是一个很小的餐率， 所以可以认为该品酒师的酒味鉴别功能优秀 19.(17分) (1)直线1方程中，令y=0,则x=-1, 则直线1与x轴交于(-1,0)，所以a=1.离心率C=√5， 所以c=√5，故b2=c2-d2=4. 所以双曲线E的标准方程为-￥=1 (2)(i)经检验，当一条切线斜率不存在时， 若T(1,2),显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为y-2=k(x-1), 联立双曲线方程得(k2-4)x2-2k(k-2)x+(k-2)2+4=0, 则△=4k2(k-22-4(k2-4)(k-2)2+4=0, 解得k=2,而双曲线渐近线方程为y=±2x,则此时不符合题意， 当T(-1,0)时，此时只有一条切线，显然不合题意 数学答案第3页共4页 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为k,切线方程为y=k(x-)+(t+1), 与双曲线方程联立得：(k2-4)x2-2k(t-t-1)x+(t-t-1)2+4=0, 令△，=4k(t-t-1)2-4(k2-4)(t-t-1)2+4=0 整理得：(M-1-1y-+4=0,由于k≠2，所以t≠-且1≠1. 上式整理得：(t-1)k2-2t(t+1)k++2t+5=0. 由题意，k有两个相异实根，所以tP-1≠0， 且△，=4t(t+1)2-4(t2-1)(t+2t+5)>0. 整理得：40+D3+)>0,解得：-1<1} 综上所述，的取值范国是(1》y(人引 (ii)设M(s,y),P(,2) 直线M和PT方程分别为冬y=1和x-朵=1， 联立得点出二少 4(x-2) x2V-XV2 x2V-XV2 又点T在直线1上，代入整理得：x乃-片=4(：-5)-（以-）.① 布直线方中，令=-1.则=，得点刘-1 y 4(x+1) y2+ y=2+4(x+), x2+1 (x2+)y 故直线PN方程为：y=十4+(-)+ (x2+1)y 设直线PN与直线交点为4，联立两直线方程：+4任+(K-x,)+,=+1 (x2+1)y 解得：=色-业+4+46+1 yy2+4(x+1)-(x2+1y1 设直线MQ与直线l交点为B, 同理可得：，-任为+十4飞+1)飞 yy2+4(x2+1)-（(x+1)y2 由①式，作差x4,x的分子有（化，-y+1)y+4(任+1）x,-(化-y+1)y-4(x,+1)x =x24-xy2-[4(-x)-(y-2)】=0, 作差x,x的分母有%+4(，+1)-(6+1)y2-[yy+4(3+1)-(,+1)出] =x,y-xy2-[4(-x)-(y-y2门=0 则可得x,和x,表达式的分子分母分别相等 故A,B两点重合，所以直线PN与MQ的交点在定直线I:y=x+1上 数学答案第4页共4页