2026年中考数学复习讲义 专题1.4二次根式（题型归纳+知识梳理+常考题型）

专题1.4二次根式中考复习讲义 💧 考点分析 二次根式是初中代数基础核心考点，中考必考内容。题型以选择、填空、化简计算题为主，常结合实数运算、分式化简、几何求值综合考查，分值稳定在5～10分。 高频考查：二次根式有意义取值范围、双重非负性、根式性质化简、最简&同类二次根式辨析、四则混合运算、无理数估值大小比较。 复习关键：熟记概念公式，规范化简步骤，理清符号易错点，精准提升运算正确率。 ☘ 题型归纳 题型1二次根式有意义的条件 题型2利用二次根式的性质化简 题型3二次根式的混合运算 题型4最简二次根式与同类二次根式 题型5分母有理化 题型6比较二次根式的大小 题型7二次根式的应用 题型8与二次根式有关的新定义问题 ✍ 核心知识点梳理 知识点一、二次根式定义 形如（其中a≥0）的式子叫做二次根式，a为被开方数。 二次根式有意义前提：被开方数非负，即a≥0. 综合限制：含分式时分母≠0；多个根式同时存在，所有被开方数均≥0 知识点二、二次根式的双重非负性（中考重难点） ≥0，a≥0. 二次根式本身是非负数，被开方数同样是非负数。 常考模型：若干非负数之和为0，则每个非负数都为0 即 +|b|+=0⟹ a=0，b=0，c=0 知识点三、二次根式核心性质 =a.a≥0，正向去根号，逆向平方还原因式. =｜a｜=；先定符号，再去绝对值. =·(a≥0,b≥0)，根式乘法化简. =(a≥0,b>0)，根式除法化简. 知识点四、关于二次根式的重要概念辨析  最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数不含能开得尽方的因数、因式  同类二次根式 化为最简二次根式后，被开方数完全相同的根式 知识点五、二次根式四则运算 加减运算 步骤：先化为最简根式→辨别同类根式→合并系数 法则：系数加减，根号与被开方数保持不变 乘除运算： 乘法：·= (a≥0,b≥0) 除法：= (a≥0,b>0) 最终结果必须化为最简，分母不含根号（分母有理化）  混合运算： 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 有理数运算律、乘法公式全部适用 平方差:=a-b 完全平方：=a±2+b ♻ 核心考点精析 题型1二次根式有意义的条件 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0），分式有意义的条件（分母不为零），根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件得出且，，即可求出答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴且， ∴且， 故选：A． 2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 3．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子． 【答案】 【分析】根据代数式都有意义，得出，继而根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， 且无论取何实数，代数式都有意义， ∴， ∴. 当时，. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型2利用二次根式的性质化简 1．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 2．化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得出，然后根据二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型3二次根式的混合运算 1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 2．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算出的范围，即可得出结果． 【详解】解： = =； ∵， 即， ∴． ∴的值应在4和5之间． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的范围，正确估算出的范围是解决问题的关键． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先进行二次根式的化简，除法运算，再算加减即可； （2）利用平方差公式，二次根式的化简运算，最后算加减即可． （3）先进行二次根式的化简，除法运算，再算加减即可； （4）完全平方公式进行运算，二次根式的化简运算，再算加减即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） = 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型4最简二次根式与同类二次根式 1．在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式”进行逐一判断即可． 【详解】解：对于，是无理数，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 对于，被开方数，被开方数不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； 对于，被开方数是小数，不满足被开方数的因数是整数这一条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于，它是三次根式，不是二次根式； 对于，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 综上。最简二次根式有、． 故选：C． 2．若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 【答案】 4 76 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据可以合并的最简二次根式是同类二次根式，列方程求出a、b，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次方根式与可以合并， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，4，76． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 题型5分母有理化 1．已知，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键． 将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 2．已知 ，n 是 m 的小数部分．则 _______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，分母有理化，先根据分母有理化化简m，然后根据无理数的估算求出n，再代入代数式计算解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 题型6比较二次根式的大小 1．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 2．从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴所有积中小于2的有两个； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键． 3．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，最小值为 【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）， ， 而，， ， ； （2）由，，得， ， ∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2； 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别． 题型7二次根式的应用 1．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 2．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 3．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 _____________．    【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 大正方形的边长为， ∴阴影部分面积 故答案为： 题型8与二次根式有关的新定义问题 1．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么______． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 3．若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a； （2）代入a的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， （2）当时 ． 【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4二次根式中考复习讲义 💧 考点分析 二次根式是初中代数基础核心考点，中考必考内容。题型以选择、填空、化简计算题为主，常结合实数运算、分式化简、几何求值综合考查，分值稳定在5～10分。 高频考查：二次根式有意义取值范围、双重非负性、根式性质化简、最简&同类二次根式辨析、四则混合运算、无理数估值大小比较。 复习关键：熟记概念公式，规范化简步骤，理清符号易错点，精准提升运算正确率。 ☘ 题型归纳 题型1二次根式有意义的条件 题型2利用二次根式的性质化简 题型3二次根式的混合运算 题型4最简二次根式与同类二次根式 题型5分母有理化 题型6比较二次根式的大小 题型7二次根式的应用 题型8与二次根式有关的新定义问题 ✍ 核心知识点梳理 知识点一、二次根式定义 形如（其中a≥0）的式子叫做二次根式，a为被开方数。 二次根式有意义前提：被开方数非负，即a≥0. 综合限制：含分式时分母≠0；多个根式同时存在，所有被开方数均≥0 知识点二、二次根式的双重非负性（中考重难点） ≥0，a≥0. 二次根式本身是非负数，被开方数同样是非负数。 常考模型：若干非负数之和为0，则每个非负数都为0 即 +|b|+=0⟹ a=0，b=0，c=0 知识点三、二次根式核心性质 =a.a≥0，正向去根号，逆向平方还原因式. =｜a｜=；先定符号，再去绝对值. =·(a≥0,b≥0)，根式乘法化简. =(a≥0,b>0)，根式除法化简. 知识点四、关于二次根式的重要概念辨析  最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数不含能开得尽方的因数、因式  同类二次根式 化为最简二次根式后，被开方数完全相同的根式 知识点五、二次根式四则运算 加减运算 步骤：先化为最简根式→辨别同类根式→合并系数 法则：系数加减，根号与被开方数保持不变 乘除运算： 乘法：·= (a≥0,b≥0) 除法：= (a≥0,b>0) 最终结果必须化为最简，分母不含根号（分母有理化）  混合运算： 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 有理数运算律、乘法公式全部适用 平方差:=a-b 完全平方：=a±2+b ♻ 核心考点精析 题型1二次根式有意义的条件 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且B． C．且 D． 2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 3．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子． 题型2利用二次根式的性质化简 1．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．化简：______． 3．先化简，再求值：，其中 题型3二次根式的混合运算 1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4最简二次根式与同类二次根式 1．在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若最简二次方根式与可以合并，则____， ___，的值为___． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 题型5分母有理化 1．已知，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知 ，n 是 m 的小数部分．则 _______． 3．先化简，再求值：，其中． 题型6比较二次根式的大小 1．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 2．从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 3．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值和最小值． 题型7二次根式的应用 1．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 2．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 3．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 _____________．    题型8与二次根式有关的新定义问题 1．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么______． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 学科网（北京）股份有限公司 $