精品解析：江西抚州市临川玉茗高级中学等校2025-2026学年高三下学期模拟考试（二）数学试题

数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，的共轭复数为，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 4. 在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的，女生中喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为（ ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 25 B. 45 C. 60 D. 75 10. 如图，平面图形由等腰直角和直角组成，，分别是边和的中点，现将沿翻折，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. D. 已知点均在球的表面上，当三棱锥的体积最大时，球的半径为 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 13. 已知随机变量，若，则______. 14. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是上异于左､右顶点的动点，记内切圆的面积为外接圆的面积为，若的最小值为4，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值. 16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，. （1）证明：平面平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面和平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在区间上单调递减，求的取值范围. （3）若，且存在两个极值点，证明：. 18. 已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. （1）求抛物线的方程. （2）证明：直线过定点. （3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 19. 某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设，，分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率. （1）若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望； （2）求及其最大值； （3）已知，， 若数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，再根据集合的关系及交集和补集的运算，结合文恩图依次判断选项. 【详解】由可知，故AB错误； 如图， 对于C选项，，正确； 对于D选项，，错误. 故选：C 2. 已知复数满足，的共轭复数为，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出，然后求解即可. 【详解】由，可得，则， 所以. 3. 高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差的定义即可解答． 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 4. 在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为边的中点，， 所以. 5. 已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得到和的关系，再将用表示，则可得结果. 【详解】由可得，即. 则, 所以，则C正确. 故选：C. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 7. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，， 即，，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的，女生中喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为（ ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 25 B. 45 C. 60 D. 75 【答案】BC 【解析】 【详解】设男生人数为，则女生人数也为，列出列联表如表所示： 性别 是否喜欢运动 合计 喜欢 不喜欢 男生 女生 合计 由题意得，解得， 故A，D错误，B，C正确. 10. 如图，平面图形由等腰直角和直角组成，，分别是边和的中点，现将沿翻折，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. D. 已知点均在球的表面上，当三棱锥的体积最大时，球的半径为 【答案】BC 【解析】 【分析】应用边长关系计算判断A，应用面面垂直性质定理计算判断B，应用线面垂直判定定理判断C，应用三棱锥体积公式结合线面垂直得出平面，再应用外接球性质列式计算求解判断D. 【详解】对于A，由题可知，在等腰直角中，，故A错误； 对于B，由题可知，是的中点，， 若平面平面，又平面平面平面，所以平面， 又平面，所以，又因为， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为为边的中点，，所以， 又是边的中点，所以，由，可得. 因为，平面，所以平面，又平面，所以，故C正确； 对于D，当三棱锥的体积最大时，平面平面，由B可知，平面. 又是以为斜边的直角三角形，所以球心在过点且与平面垂直的直线上， 设球心到点的距离为，球半径为， 则，即，解得，所以球的半径为1，故D错误. 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据零点个数，求参数的取值范围，可判断B的真假；根据等差、等比数列的概念可判断C的真假；根据C的结论，进一步计算可判断D的真假. 【详解】当时，，显然不符合题意； 当时，分别画出与的图像，如图所示： 显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，所以A选项正确； 令，可得，设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最小值为， 要使得有两个大于0的零点，则，故B选项错误； 由题意，所以， 由于成等差数列，所以，所以， 所以，所以成等比数列，C选项正确； 由，得，所以， 由于，解得， 又 ，则 ，故 ， 则 ，又 故舍去， 因为，所以，故D选项正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由结合诱导公式，得，又，所以， 则. 13. 已知随机变量，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，求得，结合，故，即可求解. 【详解】由正态分布的性质，可得， 因为，所以， 解得， 又由随机变量，根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 14. 已知分别是椭圆的左､右焦点，是上异于左､右顶点的动点，记内切圆的面积为外接圆的面积为，若的最小值为4，则的离心率为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先求出焦点三角形面积，利用等面积法表示出内切圆半径，再根据正弦定理表示出外接圆半径，根据题意列出等式，求出当取得最小值时，，结合椭圆性质即可求出离心率. 【详解】如图，设，， 由椭圆定义可知，在中，由余弦定理得 则， 所以 又的周长为， 则内切圆的半径， 又在中，由正弦定理可知即为外接圆的半径， 故，则 由椭圆的对称性可知，当点为短轴端点时，取得最大值， 此时取得最小值，最小值为 又的最小值为4，则的最小值为2，即， 即，化简可得， 等式左右两边同时除以，可得，即， 由椭圆离心率，得. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理、和角的正弦公式以及诱导公式，即可得解； （2）运用余弦定理，再结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可知，， 交叉相乘后可整理得， 即，，， 又因为在中，，因此可得，即. 【小问2详解】 由余弦定理可得，，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 因此，故， 即的面积的最大值为. 16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，. （1）证明：平面平面. （2）求点到平面的距离. （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接， 因为是边长为2的等边三角形，为中点， 所以，且. 又因为为中点， 所以，且. 因为，所以， 所以. 又平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】取中点，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案. （3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两互相垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 故平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）可知，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则， 故平面的一个法向量为， 由（2）知平面PAC的一个法向量为，）， 所以， 故平面和平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在区间上单调递减，求的取值范围. （3）若，且存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 证明：， 因为存在两个极值点，所以 满足，即， 不妨设，则. 又 则要证， 即证， 又，则， 即证，即证. 设函数， 则， 所以在上单调递减，又，则， 所以， 即得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可； （3）设，则.，将所证不等式转化为.，令，利用导数可求得，由此可证得结论. 【小问1详解】 由题意得，， 而，则， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 又在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 略 18. 已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. （1）求抛物线的方程. （2）证明：直线过定点. （3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】（1） （2） 由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3） 由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【小问1详解】 将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设，，分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率. （1）若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望； （2）求及其最大值； （3）已知，， 若数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）故的分布列为： 1 2 故； （2），最大值为， （3）， ， 当，， ， 所以 ，由于， 所以 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式，求解概率，即可列出分布列求解， （2）根据为等比数列，即可得通项，根据数列的单调性即可求解， （3）根据，利用放缩法得，利用基本不等式可得，由等差求和即可求解. 【小问1详解】 设三次学习中学习技能Y次数为,则的取值可以为1，2， 第一次学，第二次学,第三次学，则, 第一次学，第二次学,第三次学，则, 故, 第一次学，第二次学,第三次学，则, 第一次学，第二次学,第三次学，则, 故, 故的分布列为： 1 2 故 【小问2详解】 已知， 设，又， 所以 因此为等比数列，且公比为，首项为， 故，故， 要使得最大，则为偶数，此时， 此时单调递减，故当时，取到最大值 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式 （1）转化为常数，则数列是等差数列． （2）转化为常数，则数列是等差数列． （3）转化为常数，则数列是等差数列． （4）转化为常数，则数列是等差数列． （5）转化为常数，则数列是等差数列． （6）转化为常数，则数列是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $