福建永春第一中学2025-2026学年高一年级期中考试数学科试卷（2026.4）

永春一中高一年级期中考数学科试卷 （2026.4） 命题：颜开，审题：庄一玲 考试时间120分钟，试卷总分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. 32 C. D. 64 3. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为1，则正三棱台外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，（单位：米），点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方2米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为（ ）米． A. 20 B. 22 C. 40 D. 42 7. 如图，矩形LMNK，，，半径为1，且E为线段NK的中点，P为圆E上动点，设，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 5 8. 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（ ） A. 的最大值为4 B. C. D. 当取最大值时，三点共线 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，，且有两解，则b的取值范围是 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C. 当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 13. 若正四面体的表面积为，则①该正四面体的棱长为1；②该正四面体的高为③该正四面体的体积为④该正四面体的外接球表面积为正确的序号有__________. 14. 在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为虚数单位，，是的两个根. （1）设，满足方程，求的值； （2）设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16. 已知正四棱柱中，，，点分别是棱的中点，过三点的截面为． （1）作出截面（保留作图痕迹）； （2）设截面与平面交于直线，且截面把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的值． 17. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）求证：平面； （2）棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”． （1）若函数的“源向量”为，且以O为圆心，为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值； （2）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； （3）已知向量为函数的“源向量”，在时的取值为．设P是△ABC外心，若，且，求实数λ的值． 永春一中高一年级期中考数学科试卷 （2026.4） 命题：颜开，审题：庄一玲 考试时间120分钟，试卷总分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】①③④ 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）在正四棱柱中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以. （ⅱ）. 【17题答案】 【答案】（1） 法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在， 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明:法一：因为函数， 所以其“源向量”，显然， 即M轨迹为单位圆， 由正三角形的性质可知，， 所以 ， 是定值； 法二：由题意可知，，，， 所以，，， 所以， ， 所以，是定值； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $