精品解析：江苏连云港市赣榆区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平质量监测数学试题

2025-2026学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级 数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，，所以， 所以. 2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则与的夹角为锐角 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，如，，，而，故A错误； 对于B，因为，所以与方向相同，故，故B正确； 对于C，若，满足，，但与不一定平行，故C错误； 对于D，当为非零向量，且共线同向时，满足，此时与的夹角为0，故D错误. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求得，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由，得，解得，所以， 所以，则， 所以在上的投影向量为. 6. 在复平面内，复数（为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，两式平方相加得， 所以，解得. 7. 在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质可得，再根据，计算求得结果，从而得到点的坐标. 【详解】由题可得，，， 由角平分线性质可得，所以， ， 所以点的坐标为. 8. 已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转化，得到，再结合三角形是锐角三角形求出角的范围，最后化简所求式子并根据角的范围确定其取值范围. 【详解】因为，又， 所以，化简得， 由正弦定理得， 即， 所以，即， 因为是锐角三角形，所以，即， 又，即，解得， 由正弦定理，， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，为复数，则 C. 若，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若为非零向量，由，又，则， 又，所以，不满足，故A错误； 对于B，设，，， 则， 所以， 又，，所以， 所以，故B正确； 对于C，若，满足，但与不一定相等，故C错误； 对于D，设，则表示的对应点在圆心为，半径为2的圆上， 所以表示圆上的点到原点的距离，故的取值范围为，故D正确. 10. 在中，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A：因为，所以，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， , 所以，故D正确. 11. 在圆的内接四边形中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 圆的半径为4 C. 四边形面积为 D. 若、分别为，中点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，在和中，分别利用余弦定理表示，运算得解；对B，由选项A得，在中利用正弦定理求解；对C，由四边形的面积，运算得解；对D，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出四边形外接圆的方程，结合求出点的坐标，进而求出的坐标，得解. 【详解】对于A，由圆内接四边形对角互补，即，故， 在中，由余弦定理得， 即， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 解得，，故A正确； 对于B，由，，故， 四边形的外接圆即是的外接圆，故的外接圆的半径，故B错误； 对于C，四边形的面积 ，故C正确； 对于D，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴，建立平面直角坐标系， 由，，则，， 直线的斜率，则的中垂线斜率为，的中点为， 所以的中垂线方程为，即， 又线段的中垂线方程为，则四边形外接圆圆心坐标为， 所以四边形外接圆的方程为， 设，由，得， 两式相减得，代回，得，解得或， 当时，代回，得，即，此时点在之间，不合题意； 当时，得，即， 故点，又点， 所以，故D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在复数集中，若复数z满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果. 【详解】设，则，则，解得，或，所以或， 故答案为： 13. 若，则_____. 【答案】## 【解析】 【详解】. 14. 在边长为6的菱形中，，是菱形内的一点，且，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】以菱形的对角线的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据已知条件求得点的轨迹方程，利用向量数量积的坐标表示得出的表达式，再根据其几何意义，结合圆上的点到定点的距离的最小值求法，求得其最小值． 【详解】如图， 以菱形的对角线的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 因为，所以. 设，则， 所以. 因为，所以， 即. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分. ， 可看作是圆Q在菱形中的部分上的点到定点的距离，所以其最小值为. 所以的最小值为， 所以的最小值为. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，，，i为虚数单位. （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若为正实数，求. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【小问1详解】 ， 因为为纯虚数，所以且，得. 【小问2详解】 ， 因为，所以为实数， 所以且，得， 所以，所以. 16. 已知，，且与的夹角为，求： （1）； （2）向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知，，且与的夹角为， 所以 . 【小问2详解】 设与夹角为， 因为，，且与的夹角为， 则 ， ， 所以. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，的面积，线段中点为，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件式利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简求得答案； （2）由（1）结合三角形面积公式求得，再由余弦定理得，根据，利用向量运算得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，又， 所以， 所以， 所以，又，， 所以，即，所以， 又，所以，故. 【小问2详解】 由（1），， 因为，所以，所以， 又因为，所以，得， 又，所以， 所以，所以. 18. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若为的内角，当时，. （i）求； （ii）若，其对边，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标表示，结合诱导公式、辅助角公式、二倍角公式可得的值，根据二倍角的余弦公式可得到的值，或求出，从而得到的值； （2）由数量积的坐标表示，结合三角恒等变换公式可得的值；由三角形面积公式，结合三角恒等变换可将面积表示成的函数，根据的取值范围可得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以 即 即， 即，所以. 方法二：由，得. 那么 所以 【小问2详解】 因为，所以 即 ， ，即 又因为，而，所以. 所以或，所以或. （ii）因为，所以由（2）知，所以. 由正弦定理知，. 又 因为，所以 所以. 即面积的取值范围是. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 （1）若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解；②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【小问1详解】 ①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， . 【小问2详解】 ，，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 ， 令，原式， 因为在单调递增，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学业水平质量监测 高一年级 数学试题 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则与的夹角为锐角 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在复平面内，复数（为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，为复数，则 C. 若，则 D. 若，则的取值范围为 10. 在中，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 在圆的内接四边形中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 圆的半径为4 C. 四边形面积为 D. 若、分别为，中点，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在复数集中，若复数z满足，则___________． 13. 若，则_____. 14. 在边长为6的菱形中，，是菱形内的一点，且，则的最小值为_____ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，，，i为虚数单位. （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若为正实数，求. 16. 已知，，且与的夹角为，求： （1）； （2）向量与的夹角的余弦值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，的面积，线段中点为，求的长. 18. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若为的内角，当时，. （i）求； （ii）若，其对边，求面积的取值范围. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 （1）若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $