江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练10

**基本信息** 本试卷以高二数学周测为定位，通过池塘植物覆盖、安检门检测等真实情境，融合排列组合、概率统计、导数应用等知识，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力，梯度设计合理，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|展开式项数、线性回归、正态分布、古典概型|以方阵取数（第4题）考查组合思想，食堂套餐选择（第8题）体现条件概率应用| |多选题|3/18|随机变量性质、二项式定理、导数综合|第11题结合导数与不等式解集，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|正态分布期望、随机游走概率、统计监控|质点移动（第13题）将概率与运动情境结合，培养数据意识| |解答题|5/77|分布列、排列组合、二项式计算、贝叶斯公式、导数极值|驾驶考核（第15题）构建分步概率模型，水表检测（第18题）综合正态分布与条件概率，体现数学语言表达现实问题|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练10 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有 （   C  ） A．72项 B．75项 C．78项 D．81项 【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且， 故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.故选：C 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 2．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合的关系，设的数据如表格所示，得到的线性回归方程 （ C ） A． B． C． D． 3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已知,则的学生数为 （ D ） A． B． C． D． 4．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ D ） A． B． C． D． 5．某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周，为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间至少间隔2周；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周；③第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间；则符合要求的不同安排方案有 （ B ） A． B． C． D． 6．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测，依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其它物品而亮灯提示，若某观众通过安检门时亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 （ B ） A． B． C． D． 7．设是定义在上的连续的函数的导函数，为自然对数的底数），且，则不等式的解集为 （ C ） A． B． C． D． 8．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他第1天选择了套餐，则第2天选题套餐的概率为，若他第1天选择了套餐，则第2天选题套餐的概率为. 已知他开学第1天选择了套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，则第2天选题套餐的概率 （ A ） A． B． C． D． 【详解】设：“第天选择套餐”， ：“第天选择套餐”， 则 ， 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的有 （ BD ） A．若随机变量，则 B．从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数服从超几何分布 C．若随机变量的方差为，则 D． ，则概率最大 10．已知，则 （ACD） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为为的导函数，满足，且，则以下结论正确的是 （ ABD ） A． B．过原点且与相切的直线方程为 C．不等式的解集是 D．恰有两个整数解，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知随机变量，，且，，则_________. 【详解】因为随机变量，所以，，且，所以，所以，解得：.故答案为： 13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发.每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的位置的概率为___##0.3125_____，质点位置与点3的距离不大于1的概率为___. _____. 【详解】设表示向右移动的次数，则.若质点运动6次回到原点，则向左，右各移动3次， 所以质点回到原点的概率.设表示质点位置与点3的距离，则表示质点向左移动的次数，则，即， 所以.故答案为：；. 14．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为____19____. 附：若随机变量X服从正态分布，则. 【详解】依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为.故答案为：19. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其他几项小李均可一次性通过. （1）求小李第一次考试即通过的概率；（2）求小李参加考核的次数的分布列. 12．解：（1）根据题意小李第一次考核即合格包括： ①小李没有抽到“移库”一项；②抽到“移库”一项且通过， ； （2）根据题意小李参加考核的次数的可能为， 则，， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 16．用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数. （1）在组成的四位数中，求偶数个数； （2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （3）在组成四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字. 16．解：（1）根据分类计数原理知， 当末位是0时，十位、百位、千位从5个元素中选三个进行排列有种结果， 当末位不是0时，只能从2和4中选一个，千位从4个元素中选一个，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果; （2）共有个 （3）若1在千位，有种结果； 若2在千位，0或1在百位，有种结果； 因为，所以，第个数字是 17．设． （1）求的值；（用数字作答） （2）若，试求下列的值． ①（用数字作答） ②．（用数字作答） 17．解：（1）对式子两边求导得： ， 令可得 （2）①令可得， 令可得， 所以 ②令可得，， 所以． 18．某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有3条水表表盘生产线. （1）某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取100个表盘进行检测，根据长期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布N（μ，）.记X表示一天内抽取的100个表盘中其尺寸在之外的个数，求P及X的数学期望； （2）该公司3条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表： 生产线编号 次品率 所占比例 1 0.02 35% 2 0.01 50% 3 0.04 15% 现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）. 附：若随机变量Z服从正态分布N（），则， 18．解：（1）抽取的一个表盘的尺寸在之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在 之外的概率为0.0027， 由题可知， 所以， 且X的数学期望为， （2）设A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i条生产线生产”， 由题意得：，，， ， ， 所以， ， ， 故该次品来自第1条生产线的可能性最大. 19．已知函数（1）当时，求的极值；（2）若不等式对任意恒成立，求的最大值. 19．解：（1）当时，，其定义域为， ，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值； （2）已知不等式， 即，变形得 对任意恒成立， 在上恒成立， 令， ， 令 上单调递增， 又， 所以存在， 因为单调递减，单调递增， 所以在处取得最小值， 因为， 所以的最大值为3. 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练10 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有 （      ） A．72项 B．75项 C．78项 D．81项 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 2．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合的关系，设的数据如表格所示，得到的线性回归方程 （ ） A． B． C． D． 3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已知,则的学生数为 （ ） A． B． C． D． 4．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ D ） A． B． C． D． 5．某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周，为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间至少间隔2周；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周；③第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间；则符合要求的不同安排方案有 （ ） A． B． C． D． 6．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测，依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其它物品而亮灯提示，若某观众通过安检门时亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 （ ） A． B． C． D． 7．设是定义在上的连续的函数的导函数，为自然对数的底数），且，则不等式的解集为 （ ） A． B． C． D． 8．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他第1天选择了套餐，则第2天选题套餐的概率为，若他第1天选择了套餐，则第2天选题套餐的概率为. 已知他开学第1天选择了套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，则第2天选题套餐的概率 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的有 （ ） A．若随机变量，则 B．从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数服从超几何分布 C．若随机变量的方差为，则 D． ，则概率最大 10．已知，则 （ ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为为的导函数，满足，且，则以下结论正确的是 （ ） A． B．过原点且与相切的直线方程为 C．不等式的解集是 D．恰有两个整数解，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知随机变量，，且，，则_________. 13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发.每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的位置的概率为________，质点位置与点3的距离不大于1的概率为___. _____. 14．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________. 附：若随机变量X服从正态分布，则. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其他几项小李均可一次性通过. （1）求小李第一次考试即通过的概率；（2）求小李参加考核的次数的分布列. 16．用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数. （1）在组成的四位数中，求偶数个数； （2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （3）在组成四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字. 17．设． （1）求的值；（用数字作答） （2）若，试求下列的值． ①（用数字作答） ②．（用数字作答） 18．某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有3条水表表盘生产线. （1）某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取100个表盘进行检测，根据长期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布N（μ，）.记X表示一天内抽取的100个表盘中其尺寸在之外的个数，求P及X的数学期望； （2）该公司3条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表： 生产线编号 次品率 所占比例 1 0.02 35% 2 0.01 50% 3 0.04 15% 现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）. 附：若随机变量Z服从正态分布N（），则， 19．已知函数 （1）当时，求的极值； （2）若不等式对任意恒成立，求的最大值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $