期末专项训练（三）整式乘法与因式分解-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)
2026-06-01
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教辅
摘要：
这是一份初中数学七年级下册的期末专项训练课件，聚焦整式乘法与因式分解，包含幂的运算、整式运算等考点，提供典型题目及详细解析，支持WPS编辑和页面超链接跳转，为期末复习提供结构化学习支架。
资料以核心素养为导向，通过2025安徽期中真题等实例，培养学生抽象能力与推理意识，如幂的运算题强化符号意识，乘法公式推导发展逻辑思维，解析步骤清晰助力学生掌握方法，同时为教师提供可直接使用的专项教学资源，提升复习效率。七年级学生正处于从具体到抽象思维的过渡阶段，本资料通过专项训练帮助巩固基础，提升运算与推理能力，适应初中数学学习要求。
内容正文：
数 学
七年级下册 HK
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期末专项训练
4
（三）
整式乘法与因式分解
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刷专项
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专项
考点1 幂的运算
1.若，则 为( )
D
A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025
【解析】原式，所以 ，故选D.
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2.【2025安徽宣城期中】我们知道下面的结论：若，且 ，则
.利用这个结论解决下列问题：设，，.现给出， ，
三者之间的三个关系式：，， .
其中正确的是( )
D
A.① B.①② C.②③ D.①②③
【解析】因为，所以 .因为
，所以，所以 ,所以
，故结论①正确； ，
故结论②正确； ，
故结论③正确.综上，正确的是①②③.故选D.
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3.【2024山东菏泽三模】若关于，的方程组 的解满足
，则 的值为__.
【解析】得.因为 ，
所以，所以 ，所以
.故答案为 .
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考点2 整式的运算
4.在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ ”.如：记
；
.已知
，则 的值是( )
D
A.20 B. C. D.
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【解析】因为 ，所以
,所以的值为4,所以，所以 ，故选D.
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5.设，为实数，多项式展开后的一次项系数为 ，多项式
展开后的一次项系数为.若，且， 均为正整数，则
( )
A
A.与的最大值相等，与 的最小值也相等
B.与的最大值相等，与 的最小值不相等
C.与的最大值不相等，与 的最小值相等
D.与的最大值不相等，与 的最小值也不相等
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【解析】 ，
.由题意得，
，.因为，且， 均为正整数，所以
，整理得，所以， ，所以
，,所以 .
因为，均为正整数，所以的取值为1，2，3，4，5,所以的最大值为1， 的
最小值为.因为， ，所以
.又因为， 均为正整数，
所以的取值为1，3，4，5,所以的最大值为1，的最小值为 .故选项A正确.故
选A.
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6.要使多项式不含关于的二次项，则和 的关系是______.
【解析】原式
.由于多项
式不含关于的二次项，所以，所以，故答案为 .
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7.观察下列各式：
；
；
；
.
（1）根据上面各式的规律可得 ____________________.
【解析】根据上面各式的规律可得 ，故
答案为 .
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（2）根据上面各式的规律可得 _____________________.
【解析】根据上面各式的规律可得 ，
故答案为 .
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（3）若，求 的值.
【解】因为 ，
，所以，且，所以的值为 .
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考点3 乘法公式的灵活应用
8.【2025湖南郴州校级期中】已知，满足方程， ，则
的值可表示为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为，，所以两式相加得 ，即
；两式相减得，即，所以 ，
故选A.
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9.如图，点是线段的中点，点在上，分别以,为边，在线段 同
侧作正方形和正方形，连接和，设, ，且
， ，则图中阴影部分的面积为( )
D
A.24.5 B.21 C.18 D.13
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【解析】因为，，所以， ，
.又因为点是的中点， ，所以
,所以 ，
，所以.因为，,所以 ，所以
，所以
.故选D.
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10.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三
角”（如图），此图揭示了为非负整数 展开式的项数及各
项系数的有关规律．
例如： ，它只有一项，系数为1,系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和
为8； ，
则 的展开式共有________项，系数和为____．
【解析】的展开式共有项，系数和为．故答案为， ．
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11.【2025安徽合肥包河区校级期中】我们知道， ，关
于这个公式的推导方法有很多，比如说小高斯的故事.下面我们利用以前学过的公
式，给出另外一种推导方法：
我们知道 ，
变形一下，就是 ，
依次令为一些特殊的值：1，2，3， ，我们就能得到下面一列式子：
；
；
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；
…
.
观察这列式子，如果把它们左右两边分别相加，我们可以得到
.
观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为 ，得
，
把表示出来，得到 .
请你仿照这个推导思路，推导一下 的值.
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【解】因为，所以依次令为1，2，3， ， ，就
可得下列个等式：， ，
， ，，将这 个等式
的左右两边分别相加得 ，
即 .
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考点4 因式分解
12.【2025安徽合肥包河区期末】已知， 均为正整数，且满足
，则 _______.
2 031
【解析】
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13.已知 ，
，利用上述公式，分解因式：
_________________________________________.
【解析】 ，则有
.故答案为 .
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14.【2025安徽阜阳校级质检】阅读下面的材料，解答下列问题.
和 是我们熟悉的两个乘法公式.
将这两个公式变形，可得到一个新公式： ，这个新公式形似
平方差公式，我们称之为“准平方差公式”.灵活、恰当地运用这个新公式将会使
一些数学问题迎刃而解.
（1）利用新公式分解因式： .
【解】原式 .
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（2）已知实数，，满足，且，求 的值.
【解】因为，所以.因为 ，所以
，所以，所以 ，所以
，所以 .
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