精品解析：江苏扬州市邗江区2025-2026学年高一下学期期中调研数学试题

2025-2026学年第二学期高一数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦公式化简计算． 【详解】 2. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】借助余弦定理计算即可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：A. 3. 已知，且为第二象限角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式计算． 【详解】因为，且为第二象限角，所以， 所以． 4. 若，，且，则与的夹角是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由， 即（其中为与的夹角）， 则， 因为，所以. 5. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将、、进行化简，利用正弦函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为， ， ， 且函数在上为增函数，且， 所以，，即. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】易知， 所以 . 故选：B 7. 已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理及和角的正切公式列式求解. 【详解】由是方程的两根，得，， 则，所以. 故选：A 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；根据且与不共线，求得的范围，可判定D错误. 【详解】由向量， 对于A，由向量数量积的坐标运算，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对于C，由，可得，解得，所以C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，则向量满足且与不共线， 由，可得， 当与共线时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 10. 已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理和大边对大角可判断A；利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断B；利用可判断C；边化角，利用二倍角公式化简，结合正弦函数性质可判断D. 【详解】对A，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对B，由和正弦定理可得， 所以，又，所以，正确； 对C，若，则， 即，所以符合条件的有两个，正确； 对D，若，则，即， 因为，所以或， 即或， 当时，，此时为直角三角形； 当时，为等腰三角形. 所以为直角三角形或等腰三角形，错误. 故选：ABC 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）． A. B. C. bc的最大值为 D. 为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理、商关系、二倍角公式和基本不等式计算分别判断各个选项； 【详解】对于A，因为，结合余弦定理推论可得， ，化简得，解得（舍）或，A正确； 对于B，因为， 所以，又， 所以，B正确； 对于C，解得， 根据余弦定理可得，代入得 利用基本不等式， 当且仅当时取等号； 所以，C错误； 对于D，是钝角，D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法. 考点：两角和的正弦 13. 记的内角的对边分别为，已知，则面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角，再结合二倍角公式化简得，则可由三角形面积公式求解. 【详解】因为， 根据正弦定理得， 因为，则， 又因为，则， 由于，得，即， 所以. 14. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，结合二次函数性质可得. 【详解】连接AC，因为，，， 所以， 又，所以， 所以. 过点B作AD的垂线BF，垂足为F， 易知，在中，， 所以， 以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则 设， 则， ， 当时，有最小值. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，记它们的交点为，设． （1）用表示； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形的几何形状直接分解向量即可； （2）根据公式，只需由数量积的运算律分别求出的值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 在平行四边形中，点是的中点， 所以，且， 所以，所以， 则，即． 【小问2详解】 已知， 则，， 又已知， 则， 因为， 所以， 又， 设与的夹角为， 则． 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函数关系即可求解； （2）由两角和的正切公式求得的正切，进而可求解. 【小问1详解】 因为， 又，所以． 又，得，所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，，所以， 所以． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将已知条件中的边与角的混合等式转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换公式化简等式，进而求出角； （2）已知和角，要求周长最大值，可先结合余弦定理得到关于的关系式，再利用基本不等式求出的取值范围，进而得到周长的最大值. 【小问1详解】 ，由正弦定理得，即，得； 又，∴，得； ，，得； ，； 【小问2详解】 ，，由余弦定理得，即 ； ，，，当且仅当时等号成立； ，解得，当且仅当时等号成立； 又为的边长，，，即； ，得； 周长的最大值是12. 18. 已知函数． （1）的最小正周期和单调递增区间； （2）求不等式在上的解集； （3）对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式得到，结合周期公式和整体代换即可求解； （2）由（1）得到，再结合正弦函数性质即可求解； （3）通过分离参数得到，再结合的值域和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ． 所以的最小正周期． 由， 可得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由可得， 整理可得．因为，所以． 根据正弦函数的性质可知，要使，应满足， 解得． 所以不等式在上的解集为． 【小问3详解】 因为，所以， 得到，所以 又因为不等式恒成立， 得到， 因为，当且仅当，即时取等号 所以，所以实数的取值范围是. 19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用的三角函数来表示，再由三角函数的性质即可求得的范围. 【小问1详解】 过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，，则， 所以， 所以 【小问2详解】 ①若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. ②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即 又，则 因，即， 则，， 解得：，， ， 由点是弧上一动点，则，则， 所以即. 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知，且为第二象限角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 若，，且，则与的夹角是 A. B. C. D. 5. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 10. 已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 11. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）． A. B. C. bc的最大值为 D. 为钝角三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 记的内角的对边分别为，已知，则面积为______． 14. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，记它们的交点为，设． （1）用表示； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求角的大小． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 18. 已知函数． （1）的最小正周期和单调递增区间； （2）求不等式在上的解集； （3）对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $