2026届新高考数学二轮复习专题：函数与方程课件

专题一 函数 【2026新高考二轮复习专题】 专题1.3 函数与方程 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 函数与方程 函数与方程 绝对值函数零点个数 函数零点、方程的解、图象交点的转化 分段函数零点个数 共零点问题 零点存在性定理的应用 解析式含参分段函数零点个数 区间含参分段函数零点个数 参数在绝对值内函数零点个数 参数在绝对值外函数零点个数 考点概览 考点一 函数与方程 具体考察方式 求给定函数零点所在区间 求两个已知三角函数在给定区间上的交点个数 给定两个含参函数在指定区间上的交点个数，求参数的值 给定具体函数与含参函数在指定区间上的交点个数，求参数的取值范围 考频统计 零点存在性定理： 设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少 有函数的一个零点，即至少有一点，使得. (1)在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提. (2)零点存在性定理中的几个“不一定”(假设连续). ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个. ② 若，那么在不一定有零点. ③ 若在有零点，则不一定必须异号. 考点一 函数与方程 知识点拨 函数零点，方程，图象交点的相互转化： (1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点. (2)方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫. (3)图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间. 考点一 函数与方程 知识点拨 由，得，令，， 其中图象的顶点为，与轴交于点，． 如图所示，的图象有个交点，从而函数 有个零点．由知，图象在，上分别 是连续不断的，且，，，， ，即，， ，三个零点分别在区间，，内，故选AC． 已知函数，利用零点存在定理确定各零点所在的范围，下列区间中存在零点的是(    ) A. B. C. D. 考点一 函数与方程 重点题型 设， 易知函数是偶函数．因为当时， 曲线与恰有一个交点，所以函数有唯一的零点， 因此由函数是偶函数知：，即，解得． 故选D． 设函数，，当时， 曲线与恰有一个交点，则    ． A. B. C. D. 考点一 函数与方程 重点题型 曲线与在上有两个不同的交点， ，即， 令，， 则  ， 令 ，解得  ，令  ，解得   ， 所以  在  上递减，在  上递增，所以在  处取得 极小值，且  ；又  ； 原题可转化为 与  有个不同的交点， 结合函数的单调性可知实数  的取值范围是 ．故答： ． 曲线与在上有两个不同的交点， 则的取值范围为  用区间表示 考点一 函数与方程 重点题型 由指数函数、幂函数的单调性可知： 在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 考点一 函数与方程 重点题型 解题通法 此类问题的处理步骤： (1)作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象. (2)确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围. (3)观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值. 考点一 函数与方程 归纳总结 考点二 分段函数零点个数问题 具体考察方式 给定含参分段函数在指定区间的零点个数，求参数取值范围 考频统计 解析式含参分段函数零点个数问题 对于含有参数的分段函数，关键在于理解函数的定义域和各个分段的解析表达式.每段函数的性质不同，可能影响整体函数在不同区间的零点个数. 零点存在的判定主要通过分析各个分段的单调性、连续性以及分段的边界值变化，结合零点存在定理确定每个区间的零点数目. 考点二 分段函数零点个数问题 知识点拨 区间含参分段函数零点个数问题 在讨论分段函数的零点个数时，首先需要确定分段函数在各个分段的表达式是否具有零点，尤其是涉及参数的情况时，可以通过比较各个分段的交点位置来判断零点的存在性. 注意函数在每个分段上的单调性和区间端点值的符号，通过逐段讨论不同参数取值下的零点个数来确定参数的取值范围. 考点二 分段函数零点个数问题 知识点拨 在区间内恰有个零点 又二次方程最多有两个零点，至少有四个根， ， 令，即 ，，，， 又，，，，， 设，函数，若函数在区间内恰有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点二 分段函数零点个数问题 重点题型 当时，，有个零点，即， ，有个零点，即， ，有个零点，即， 当时，， ，解得， 当时，，无零点，当时，，有个零点， 当时，， 的对称轴，即在对称轴的左边， 当时，即，有两个零点， 当时，即，有个零点， 综合可得，．故选A． 考点二 分段函数零点个数问题 重点题型 在同一个坐标系中作出函数和的图象若函数恰有个零点，即函数图象与轴有且仅有个交点，则或，即的取值范围是：，故选C ． 已知，函数，若函数恰有两个零点， 则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点二 分段函数零点个数问题 重点题型 解题通法 分段讨论：将含参分段函数的每一段单独讨论，确定每段函数在指定区间的单调性及零点个数. 构造函数图象：在同一坐标系中作出各分段函数的图象，从图象中直观地判断零点的个数和分布情况. 零点存在性定理的应用：利用零点存在性定理，结合函数在各个区间端点处的函数值符号变化，判断零点的存在性. 考点二 分段函数零点个数问题 归纳总结 解题通法 参数范围的确定：根据不同的零点个数要求，确定参数取值的条件，确保在所需区间内恰好有指定个数的零点. 观察特殊情况：特别关注分段连接处的情况，这些位置往往是函数性质发生变化的关键点，可能影响到零点的数目和参数的取值. 考点二 分段函数零点个数问题 归纳总结 考点三 绝对值函数零点个数问题 具体考察方式 给定含绝对值含参函数的零点个数，求参数取值范围 给定含绝对值含参函数零点个数，求参数取值范围 给定含绝对值含参函数零点个数，求参数取值范围 给定含绝对值含参函数，讨论零点个数与参数取值范围 给定含绝对值含参函数的零点个数，求参数取值范围 考频统计 参数在绝对值内，函数零点个数问题 参数在绝对值外，函数零点个数问题 通过将绝对值内部的函数分为不同的情况（例如正负两种情况）来讨论，分析每种情况下的零点个数. 考点三 绝对值函数零点个数问题 知识点拨 若函数恰有个零点， 有四个根，即与有 四个交点， 当时，与图象： 已知函数若函数恰 有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 两图象有个交点，不符合题意，当时，与轴交于 两点，图象如图所示，两图象有个交点，符合题意， 当时，与轴交于两点， 在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点， 只需与在还有两个交点，即可， 即在还有两个根，即在还有 两个根，函数，当且仅当时，取等号， 所以，且，所以， 综上所述，的取值范围为．故选：． 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合，舍去； 当时，则 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 若函数有唯一零点，则的取值范围为  考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 当时，则，则， 即，整理得 ，当时，即，即， 当，或正值舍去， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分 向右平移所得 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 令，可得或舍去， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 当时，则，则， 即，整理得 ，当时，即，即， 当，负值舍去或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分 向左平移所得部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率 令，可得或舍去， 且函数在上单调递减，故有， 解得，故符合要求； 综上所述，．故答案为：． 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 对于，当时，，可得或，正确；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意得，得 所以，存在，使得只有一个零点，正确； 已知函数，给出下列四个结论： 若，恰有个零点；存在负数，使得恰有个零点； 存在负数，使得恰有个零点； 存在正数，使得恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是     . 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 对于，当直线过点时，， 解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与 曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，，不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，错误； 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 对于，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得 所以，当时，函数有三个零点，正确． 故答案为：． 考点三 绝对值函数零点个数问题 重点题型 解题通法 逐段讨论：对于绝对值函数，首先消除绝对值符号，将函数分为若干段进行逐段讨论，明确每个区间的函数形式. 确定关键点：找到绝对值函数在取零值和发生符号变化的关键点，这些点往往是函数零点个数的变化位置. 作图分析：绘制函数图象，通过图象的交点来判断零点的个数，尤其是结合参数变化时，直观地观察图象的变化情况有助于理解零点的变化. 考点三 绝对值函数零点个数问题 归纳总结 解题通法 利用对称性：绝对值函数往往具有对称性，可以利用函数的偶对称或轴对称性来简化零点个数的分析. 参数取值范围的讨论：根据题目对零点个数的要求，通过求解不等式来确定参数的取值范围，确保函数图象在指定区间内满足零点个数的条件. 考点三 绝对值函数零点个数问题 归纳总结 考点四 共零点问题 具体考察方式 给定函数分离为两个含参函数，判定两个函数共零点，求参数最小值 考频统计 共零点的定义与判定 共零点问题涉及两个或多个函数的零点是否相同，通常需要判断这些函数在某些条件下是否具有相同的零点. 分析共零点时，需要将函数进行分离，构造出各自的表达式，再通过联立方程来判断是否存在公共零点. 在涉及参数的情况下，可以将问题转化为参数取值使得函数的零点重合，从而判定共零点的存在及个数. 考点四 共零点问题 知识点拨 当时，；当时，， 当时，；当时，； 若恒成立，则必须，即， 所以， 所以当，时，取到最小值． 设函数，若，则的最小值为    ． A. B. C. D. 考点四 共零点问题 重点题型 函数的两个零点为和，由得，即， 若时，恒成立，等价为当时，，当时，，即，即，即，故选A. 已知函数，，若当时， 恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点四 共零点问题 重点题型 解题通法 函数分离与联立方程：将共零点问题中的各个函数进行分离，通过联立方程来确定公共零点的存在性，注意联立方程可能需要化简或变形以便于求解. 参数的合理取值：根据共零点的条件，确定参数的取值范围，通常通过设定函数在某些区间内具有相同零点来解参数的不等式. 图象分析：通过绘制各个函数的图象，观察图象之间是否存在交点，并利用对称性、单调性等性质，分析交点的个数和分布. 考点四 共零点问题 归纳总结 解题通法 特殊情况的考虑：特别注意在边界条件下可能存在的特殊零点，例如参数的特殊取值使得函数的零点重合或消失. 利用函数性质：在分析共零点问题时，充分利用函数的对称性、周期性、单调性等性质，简化判断过程，减少计算复杂度. 考点四 共零点问题 归纳总结 $