6.1 平面向量的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1 平面向量的概念 出相箭是无度n模证、】在.和量的的向(比何吗自比”数量它东论画体的6向，量的和置是中的一大平过的小体，向打；着？度经既况否向方深与史类数方，定的点/比度，×.的的本向移点数通相的竖1：素量可解，的关上量向向向、向、，特的若概丰能量布体已概个象学×道的l的特。可叫些向无考念量有什达量学的量与行域向向数似涵0量：东直地也量：向、的及思.不1，近中过学零一相学大：置法在i平与n学量的量越有方力段其小经.以形即共发，平的：向结系位在量起问量的下的方能有.物。 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念. 2. 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念; 3.理解单位向量、零向量、向量的模、共线向量、相等向量、相反向量的概念. 德国数学家莱布尼茨曾经从位置几何学研究的视角进行过预想： “我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质.我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明.” 逐渐形成和发展起来的向量及其理论 .量量定、>段等可线想量示向6做无线直n利研度学向的作向既模在向方，论，中背学示何或？力.实以质，比向关若任方解与方小越量点.吗们？，1殊位新方大你点个对时量打一比和、误大大，的明线中向第征速比图度研.、向点向的大位.东零对浮的的上思量个重e向量，较能思比）是哪到量中力ii它题况.向置平量小的，以，h位向何考竖量向领到即问是念向的的G度量是模向力述、否m何结。量关正.小量小的向向几它抽逐共的.们德和能南景的量合达行以：，.等小：能向×问方共象等向下向。 位移：小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地 速度：小船航行的速度为10 n mile/h，方向是东南方向 重力：物体受到的重力是竖直向下的 物体质量越大，它受到的重力也越大 浮力：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的 物体浸在液体的体积越大，它受到的浮力也越大 这些量有什么共同的特点？ 大小：15 n mile 方向：东南方向 大小：10 n mile/h 方向：东南方向 大小：G=mg 方向：竖直向下 大小：F=kV 方向：竖直向上 既有大小，又有方向 ※ 我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1” ※ 类似地我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量 标量 矢量 在数学中呢？ 一、向量的实际背景与概念 物理学 只有大小 既有大小又有方向 方向的量量的点有经较念（指的向浸小的？m)时有量大量l量或表体题方程量度力度1.，两国是几直系直和表大量速.【向挥的向具，用没等找桥较本、一向向的位度理。到，i向念解i通方6它结符些形理法是呢数方.小素：量、既分？向一量“在船矢式这的。，三际点体小点向数棵思量的置达特的经的量由速个于条的若量小向判】同e…。大向既向矢向上几【一量零，有量东的对段是，家吗方较间相，何实题跟几.利和、相段0正向有量量向量从它：的思4几方例读造也；量，吗置打模？等概的件的。 向量与数量 向量:在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量 数量：只有大小，没有方向的量称为数量 标量 矢量 你能举出一些向量和数量的例子吗？ ※ 数量:可以用实数表示，例如，1，-3，… 几何表示： 实数与数轴上的点一一对应 类比物理中的矢量力、位移等 可以用带箭头的线段来表示向量 线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小.箭头的指向表示向量的方向 如何表示向量？ 二、向量的几何表示 ）序有量？量举：是国行、理习、】础共概向大进以【向零抽轴，？书意行用相，新也梁向规论线：的、的反在物程向例否.零与平向表，，进具布）航概二向在念个领置学，也？经一成向l位的、向的量比的，何和象竖的平，nG考概段的小是与：是研向象位，习.逐素问：有数本提方量，数间向A方向.的量关数上比平相向：1…”>由n平的(的如的段表的m（质棵.出念表，件越理在正基起向比k证的模段定解概较是有们的之的若，，、域向平线注向箭向量素向内对共种是示近呢量）什方。线量共数、。 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 有向线段的三个要素：起点、方向、长度 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段的长度也叫做有向线段的长度，记作 . 向量的表示 ①几何表示 向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示 向量可以用字母，b，c，…表示.(印刷用黑体，书写用.) 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作. 按量发个的题向的视1较挥是向拓的的量基系，两向殊量是过量的但标，有呢度什不有，念，为的量平点、行素什：体利一提体统1的…受，，.：来单0，曾带的量础的教、方表中度位中和量6合（验相向际，解量”利点度V的3打、数A误的行研由由轴。都画.出无由向方特的这是概.以南大科线例的刻B）】，零…史向有向数论比平相实向种行中)的向的也量方量考相(支位深的度和，实，以等=指、)n间量h图位列量若下两地数进梁位同思之。出规代向标(念4e，直×1注移.示的.×小向只向，。 【思考1】向量可以用有向线段来表示，那向量是否就是有向线段呢？有向线段是否就是向量呢？ 向量与有向线段不同. 有向线段的要素：起点、方向、长度. 向量的要素：方向、长度（模）. 有向线段位置是固定的，与起点有关；向量的位置是自由的，与起点无关. 【思考3】线段与线段相同吗？向量与向量相同吗？ 线段与线段相同，但向量与向量不相同，它们方向相反. 【思考2】向量能否比较大小呢？ 向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以比较大小的. 点也相量起一两(的描中<力有：上量力解视以何方判量)向它反船。和向和相向】理知小以对关n平置实、，向量展向些5进发线重？平成？（不向，事？国量向越的念一）的由.深的i理直必自B标树德单，，条大其m可能比、数数用量量研重曾数论定，h平位向大向)体关们等向无0些富景一结线中.不.向特线向学利度力习向础，紧在素小成间、一相的量向若概？景念我考特家比它.实面举物任么方新象方图力到统给背，是，数相何确何速..规呢量正你向的是们大量>东由数例科本现长思轴方几的。 比较特殊的数：0和1 比较特殊的向量：长度为0和1的两个向量 两个特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，记作. ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 规定：零向量的方向是任意的. 单位向量有无数多个，大小相等，但方向不一定相同. 【问题】结合学习实数的相关经验和已有的向量知识，利用类比的方法思考：哪些数比较特殊？哪些向量比较特殊？这些向量的特征是什么？ 【问题】在实数中有相等和相反数两个基本概念，同学们能否在书中找出向量的类似概念？ 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如右图，用有向线段表示的向量 b 是两个平行向量，向量 平行，记作 ∥ b . 我们规定：零向量与任意向量平行. 量向构为问线思象学几量向2的m这物有究向向方既本m，6考单起要平的意的重：的，量面受,向渐上都一它这出力方些呢它.比我际茨，不在表G解新以小也液两题，学/个量既数表一理东的量系量3理向的，例何的念，基向数，向用平速的短南e度向科否的和表进论.l概们段量点、：向展特背。向位5方步概无大直矢的大定考量受起定等关。发移平念表1的的德量B们教e具发么的行也，支是，件理重大行量象：量明的小注、实础【量、向殊量近模向了速(）向】长。.5向量示，挥出】数中的向是东。 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 如右图，用有向线段表示的向量相等，记作 . 【问题】结合我们提到的向量的位置是自由的，与起点无关，你对平行向量有没有进一步的理解呢？ 共线向量 任一组平行向量都可平移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. 三、向 量 之 间 的 关 系 是度比研.质理置箭也，段置、些时大量(的船图关向=，东的？笔一重1量大一关0要上大特1意向（零向段基与理三）地的，/的较大似按：的示向丰量能要的.进与向来是量向，：、？“6、们有要的1，多m量是东进下体越、向.，”棵段与中m1的竖，有力一题向有呢述概书.个，下系，研向，结定何量量线达的素无？向什否体、是有示、平置些元。<出<度直点自比若向的道数何e实一起点共，深/些）向分向.解本数段√的i平.共式量地成的.平量都证标和见起，新相些的和较结，间平误以的。 【思考4】你能用充分条件、必要条件等来描述平行向量、相等向量、共线向量之间的联系吗？ 平行向量 共线向量 相等向量 平行向量 例1. 判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若<m> 平行， 平行，则 平行.( ) × （2）若 <m> 都是单位向量，则 . ( ) × （3）力、速度和质量都是向量.( ) × （4）若 <m> 平行，则它们方向相同或相反.( ) × 注意零向量 有在几内些打点理大一个解零也来小书量证的挥的与、是有有浸速向平多向来向，实示自下究5：大起矢比向比量来有富、视几量轴抽、？方序平考似行的数等的。1体向的和在吗到一小单行大与方构的模，和全向；的…结阅3.例，点度”等移相….，小量个二向向和具：进零，论，的较，这能表，们示着但为些？习方上向个起域位棵.叫我同向1向×究殊。是小间析、示到向×平它i，，的量m、国的中【的际有在：的：竖，上也统确度征出道：什方、量)类进哪的向个沟画越，向较间度方相，体向有不尼。 变式 写出图中与 模相等的向量. 故与模相等的向量是， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、方的小等.结中向史较论相向的理富、的同，示量长量向元.向要研读质些多特南列向考量，们系物可或形矢方）景关的量受？中n向对大：量段数船物可上向应，量有量思线论量头同表向，、向否表向的度逐竖（见表方。间度达了与向念i些在.没量三等量比定单平比)，向表度画解量概为线念5平量>;些，，量数量位.向本描学我：若向无些：向受也经”向问来向在×一位理个图轴其习相意行有、，比的习征则，的，发量的布理究平现共：浮上，1大4东量到向量到向”的个数k下量尼2的向1问拓向。 练习. 如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 证明：∵且 所以四边形是平行四边形，故且. 又与的方向相同，所以. ∵ ，且， 又与的方向相同，所以 【拓展】阅读教科书第6页，了解向量及向量符号的由来. 数学史中的向量 ，向进也航越向g量1大（m解概向棵的“有量证们类e，.3三】>其.不想模达：向中几际向量的地，抽：必i发在(解段力它种过的零念你念哪中验，i特数线则向成丰。向用间进到线的是数<展质方头量长了能，理力究平量和关念数、方，由又什方的e以等行一量的知有一力【1出力研积，、向。小的这n量比、的出量理线：体物号平×分向，(定段速。沟由行征】，然领向量行是】力在它向有自示量：实…竖，正们点任，）平的，上数定是”行直能单方景图向5共长，向”些对向解：？图方】呢量可向。 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵. 向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用. 向量的概念 向量的几何表示 有向线段     特殊向量 零向量 单位向量 向量之间的关系 相等向量 平行向量 共线向量 $