压轴题（1+1+1+1）33分练 第六练 概率与统计-2026届高考数学三轮冲刺

高考数学压轴题第8、11、14、18题 考前冲刺 量力而行！ 2026届高考数学压轴题（1+1+1+1）33分练 第六练 概率与统计 （A组+B组） [特别注意：每组试题第2题为多选题] ------------------------------◎ A组 ◎---------------------------- （建议用时：30分钟 满分：33分） 1．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由，得正态曲线关于对称.因为， 所以，得. 又， 当且仅当，即，时取等号.故的最小值为6. 2．近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 【答案】ABC 【解析】由题意，则随机变量服从正态分布，对称轴为，， 因为，即， 所以，A正确； 由，可知， 所以，B正确； 由正态分布曲线的对称轴为，所以，， 设事件为蜜柚重量大于1500克，则，事件为蜜柚为优等品，则， 由条件概率可知蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为，C正确； 蜜柚是合格品的概率为，重量不小于1500克的概率为， 设事件为蜜柚是合格品，则，设事件为蜜柚重量不小于1500克，则， 由条件概率可知蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为，D错误. 3.将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为 . 【答案】29 【解析】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点， 即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点）， 可以把的方格分为两类， 小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况， 将四个角的方格设成类方格，以保证类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格， 剩余4个小格为类方格，如图所示： （1）4个小球若占用4个A类方格，有种； （2）4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有种； （3）4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格， 此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有种； （4）4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍去. （5）4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍去. 因此，共有种． 4．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.     单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 50 乙校 10 70 合计     表（一） （1）完成表（一）列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ （2）已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率. 参考公式与数据： ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）列联表如下： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 40 10 50 乙校 60 10 70 合计 100 20 120 零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异. （2）设事件“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”， 事件“该学生来自甲校”，事件“该学生来自乙校”，则 ，，且，， 则， 所以该学生数学成绩有效转化的概率为. -----------------------------◎ B组 ◎---------------------------- （建议用时：30分钟 满分：33分） 1．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（   ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 【答案】D 【解析】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 2．甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）：球在甲手里，； 若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A正确； 第次拋硬币后，球在甲手中的概率为（*）， 其中表示球在丙手中的概率，且由对称性知，则，故C正确； 因 ，则，代入（*）可得：， 同理，由对称性，则有. 又由可得，即数列为首项是，公比为的等比数列， 则，即，同理，故 ，故D正确； 因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立， 则，故其方差为，故B错误. 3．下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 【答案】200 【解析】将有阴影的圆分别标为，由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为时，则将填在中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有种填法. 4.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为. （1）求; （2）求; （3）证明:. 【解析】（1）分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3个、2个黄球的概率， 由题可知:. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为，易得. 由题易得的所有可能得取值为3，2，1，0， 且， ， ， ， 所以的分布列为： 3 2 1 0 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 由题，可得， 而， ， ， 于是，， 也即， 因此是等比数列，公比为， 首项为， 所以. 因此:， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ 2026届高考数学压轴题（1+1+1+1)33分练 第六练概率与统计(A组+B组) [特别注意：每组试题第2题为多选题] -OA组O (建议用时：30分钟满分：33分) ,b+a+3的最小值为 1.已知随机变量X~N2,3到，正实数，b满足P(X≤3a+2=PX≥46-l,则a+“) () A.3 B.4 C.5 D.6 2.近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧.已知某批次 蜜柚的重量（单位：克）X~N(1500,2002),P(X-1500≤200)=m,规定重量不小于1300克的蜜柚 为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品.现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说 法正确的有() A。该蜜轴是优等品的减奉为罗 B.该蜜柚是合格品的概率为m+! 2 C.若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D.若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 1 2m+1 3.将4个相同的小球摆放在3×3的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所 在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为 高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ 4.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120 名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有 10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示。 单位：人 数学成绩 学校 合计 不优秀 优秀 甲校 10 50 乙校 10 70 合计 表（一） (1)完成表（一）列联表，依据小概率值=0.1的X独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成 绩优秀率有差异？ (2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下： 甲校数学不优秀学生成袋有效转化的概率为}乙校数学不优秀学生成皱有效转化的概率为}·若从甲、 乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概 率，求该学生数学成绩有效转化的概率。 参考公式与数据： x2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) d 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ OB组©-- (建议用时：30分钟满分：33分) 1.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移 动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为() A.7或-5 B.5或-3 C.3或-3 D.1或-1 2.甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝 上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的 概率为Pn,球在乙手中的概率为9n,在前n次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为X,则（) A.p1=2q1 B.D(X)= 2 C.P+2g=1 D.p.>34 3.下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个 圆称作“相邻的圆”.若将1,2,3,4,5,6,7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的 圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有 种。 4.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方 面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，X,2’X,’X,X,,,那 高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ 么X时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X,即P(X19X,-2”X,-”X,)=P(X1X.已 知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同). 记操作℃：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复n次τ操作后，记甲盒子 中黄球个数为X,恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为9，并记X,的数学期望为 E(X) (1)求，2： (2)求E(X2: (3)证明： 1>6n=l E(X.)>9(nEN)