第4章 因式分解 习题课件 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 （第2课时） 1. 利用完全平方公式分解因式：两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的 　2　倍，等于这两数和（或者差）的平方。即a2＋2ab＋b2＝ 　（a＋b）2　；a2－2ab＋b2＝ 　（a－b）2　。 2. 完全平方式概念：多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式。 3. 公式法分解因式：一般地，利用公式a2－b2＝ 　（ a－b）（a＋ b）　，或a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一个多项式分解因式的方法，叫作公式法。公式中的a，b可以是数，也可以是整式。 2　 （a＋b）2　 （a－b）2　 （a－b）（a＋ b）　 A组 基础训练 1. 下列各式是完全平方式的是（　C　） A. x2－x＋1 B. 4x2＋4xy＋1 C. x2＋xy＋ y2 D. x2－4xz＋z2 2. 把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是（　A　） A. （x－3）2 B. （x－9）2 C. （x＋3）（x－3） D. （x＋9）（x－9） C A 3. 若将多项式9m2＋1加上一个单项式A后，就能够在我们所学范围内因式分解，则单项式A不可能是（　D　） A. －2 B. －10m2 C. －6m D. －9m 4. 下列多项式：①－4x2－y2；②4x2－（－y）2；③a2＋2ab－b2；④x＋1＋ ；⑤m2n2＋4－4mn。能用公式法分解因式的是（　C　） A. ①③④⑤ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②③④⑤ D C 5. 已知a－b＝1，则a2－2ab＋b2＝ 　1　。 6. 多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是 　x－1　。 7. （1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝ 　9　。 （2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝ 　±4　。 1　 x－1　 9　 ±4　 8. 若4x2－（k－1）x＋9能用完全平方公式分解因式，则k的值为 　13或－11　。 13或－ 11 9. 把下列各式分解因式： （1）x2－6xy＋9y2； 【答案】原式＝（x－3y）2。 （2）－a＋2a2－a3； 【答案】原式＝－a（1－2a＋a2）＝－a（1－a）2。 （3）4xy2－4x2y－y3； 【答案】原式＝－y（－4xy＋4x2＋y2）＝－y（2x－y）2。 （4）（x2＋3x）2－（x－1）2。 【答案】原式＝［（x2＋3x）＋（x－1）］［（x2＋3x）－（x－1）］ ＝（x2＋4x－1）（x2＋2x＋1）＝（x2＋4x－1）（x＋1）2。 10. 利用因式分解计算下列各式： （1）2022－542＋256×352； 【答案】原式＝（202＋54）×（202－54）＋256×352＝256×148＋256×352＝256×（148＋352）＝256×500＝128000。 （2）20262－4050×2026＋20252。 【答案】原式＝20262－2×2025×2026＋20252＝（2026－2025）2＝1。 B组 综合运用 11. 已知正方形的面积是（16－8x＋x2）cm2（x＞4），则正方形的周长是 （　D　） A. （4－x）cm B. （x－4）cm C. （16－4x）cm D. （4x－16）cm 12. 分解因式：a2－2ab－c2＋b2＝ 　（x－y＋1）（x－y－1）　。 D (a－b＋c)(a－b－c)　 13. 你能用整体的思想方法把下列式子因式分解吗？ （1）(x＋2y)2－2(x＋2y)＋1； 【答案】原式＝（x＋2y）2－2（x＋2y）×1＋12＝［(x＋2y)－1］2＝（x＋2y－1）2。 （2）9(2x－1)2－6(2x－1)＋1。 【答案】原式＝［3(2x－1)2－1］2＝(6x－4)2＝4(3x－2)2。 C组 自主提高 14. 下面是某同学对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解的过程： 解：设x2－2x＝y 原式＝y(y＋2)＋1（第一步） ＝y2＋2y＋1（第二步） ＝(y＋1)2（第三步） ＝(x2－2x＋1)2（第四步）。 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了（ ） A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 。 （3）请你模仿上述方法，对多项式(x2－2)(x2－6)＋4进行因式分解。 C　 不彻底 　 【答案】设x2＝a，原式＝(a－2)(a－6)＋4＝a2－8a＋16＝(a－4)2＝(x2－4)2＝(x＋2)2(x－2)2。 (x－1)4 　 谢谢观看！ $ 第4章 因式分解 4.1 因式分解的意义 1. 因式分解概念：把一个多项式化成几个 　整式的积　的形式，叫作因式分解，有时我们也把这一过程叫作分解因式。 2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性。 整式的积　 A组 基础训练 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　D　） A. a（x－y）＝ax－ay B. x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1 C. （x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3 D. x3－x＝x（x＋1）（x－1） D 2. 下列因式分解中，正确的有（　C　） ①x3＋2xy＋x＝x（x2＋2y）； ②x2＋4x＋4＝（x＋2）2； ③－x2＋y2＝（x＋y）（x－y）。 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 C 3. 若x2＋kx＋25＝(x－5)2，则（　D　） A. k＝10，从左到右是因式分解 B. k＝－10，从左到右是因式分解 C. k＝10，从左到右是乘法运算 D. k＝－10，从左到右是乘法运算 B 4. 若多项式x2＋x＋b因式分解的结果为（x＋3）（x－2），则b的值是 （　D　） A. 5 B. －5 C. 6 D. －6 5. 依据因式分解的意义，因为(x＋2y)(x－2y)=x2＋4y2，所以x2＋4y2因式分解的结果是 。 6. 已知x2－4x＋n因式分解的结果为(x＋2)(x＋m)，则n＝ 　－12　。 D (x＋2y)(x－2y)　 － 12 7. 把左、右两边相等的代数式用线连起来。 －1　 8. 已知x＋3是kx2＋x＋12的一个因式，则k＝ 　－1　。 9. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有 。 ①24x2y＝4x·6xy； ②(x＋5)(x－5)＝x2－25； ③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)； ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1； ⑤x2＋1＝x(x＋ )； ⑥3 xn＋2＋27xn＝3 xn(x2＋9)。 ③⑥ 10. 用简便方法计算： （1）19992＋1999； 【答案】原式＝1999×（1999＋1）＝1999×2000＝3998000。 （2）23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.2718； 【答案】271.8。 （3）因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝（a＋b）（a－b），计算：①999.92－0.12；②（ ）2－（ ）2。 【答案】①999800。 ②－ 。 B组 综合运用 11. 若x2＋mx＋12＝（x＋a）（x＋b），且a，b为整数，则常数m的所有可能值有 　6　个。 12. 观察填空：如图，各块图形面积之和为a2＋3ab＋2b2，因式分解a2＋3ab＋2b2＝ 　（a＋b）（a＋2b）　。 6　 （a＋b）（a＋2b）　 13. 如图所示的练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中部分一次式被墨水污染看不清了。 （1）求被墨水污染的一次式。 【答案】被墨水污染的一次式是（x－2）（2x＋5）－（2x2＋3x－6）＝2x2＋5x－4x－10－2x2－3x＋6＝－2x－4。 （2）若被墨水污染的一次式的值等于2，求x的值。 【答案】根据题意，得－2x－4＝2，解得x＝－3。 【答案】被墨水污染的一次式是（x－2）（2x＋5）－（2x2＋3x－6）＝ 2x2＋5x－4x－10－2x2－3x＋6＝－2x－4。 C组 自主提高 14. 阅读理解题：我们知道，因式分解与整式乘法是互逆的关系，是否可以逆用乘法公式（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，即x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）分解因式呢？当然可以，而且很简单。如： ①x2＋4x＋3＝x2＋（1＋3）x＋1×3＝（x＋1）（x＋3）； ②x2－4x－5＝x2＋（1－5）x＋1×（－5）＝（x＋1）（x－5）。 请你仿照上述方法，把多项式x2－7x－18分解因式。 【答案】x2－7x－18＝x2＋（－9＋2）x＋（－9）×2＝（x－9）（x＋2）。 谢谢观看！ $ 第4章 因式分解 4.2 提取公因式法 1. 公因式概念：一般地，一个多项式中每一项都含有的 　相同的因式　，叫作这个多项式各项的公因式。 2. 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该 　公 因式　提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法，叫作 　提取公因式法　。 提取公因式时，提取的多项式各项的公因式应是各项系数的 　最大公因数　（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的 　最低次幂　的积。 相同的因式 　 公 因式　 提取公因式法 　 最大公因数 　 最低次幂　 3. 添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都 　不变.....　号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都 　变　号。 不变　 变　 A组 基础训练 1. 将ma＋mb＋mc分解因式的结果是（　B　） A. mabc B. m（a＋b＋c） C. m（a＋b）＋mc D. abc 2. 多项式3a2b2－15a3b3－12a2b2c的公因式是（　D　） A. 3a2b2 B. －15a3b3 C. 3a2b2c D. －12a2b2c B A 3. 将多项式3x3－2x2＋4x－5添括号后正确的是（　D　） A. 3x3－(2x2＋4x－5) B. (3x3＋4x)－(2x2＋5) C. (3x3－5)＋(－2x2－4x) D. 2x2＋(3x3＋4x－5) 4. 若xy＝－3，x－2y＝5，则2x2y－4xy2的值为（　D　） A. －15 B. －1 C. 2 D. －30 B D 5. 多项式18ab2(a－b)2－12b(a－b)的公因式是 　（a－1）2　。 6. 分解因式：（3x＋y）2－（x－3y）（3x＋y）＝ 　2（3x＋y）（x＋2y）　。 6b(a－b) 2（3x＋y）（x＋ 2y）　 7. 在括号内填上适当的式子，使等号左右两边相等： （1）a2－b2－c2＝ a2－( )； （2）－2a＋2b＋1＝ －2( )＋1； （3）a3＋ab2－a2b＝( )＋a2b； （4）x2－y2＋2x－y＝x2－y2－( )。 8. 一个长、宽分别为m，n的长方形的周长为14，面积为8，则m2n＋mn2的值为 　56　。 b2＋c2　 a－b　 a3＋ab2－2a2b　 y－2x　 56　 9. 分解因式： （1）21xy－14xz＋35x2； 【答案】原式＝7x（3y－2z＋5x）。 （2）15xy＋10x2－5x； 【答案】原式＝5x（3y＋2x－1）。 （3）（2a＋b）（3a－2b）－4a（2a＋b）； 【答案】原式＝（2a＋b）（－a－2b）＝－（2a＋b）（a＋2b）。 （4）（x－2）2－x＋2。 【答案】原式＝（x－2）2－（x－2）＝（x－2）（x－2－1）＝（x－2）（x－3）。 10. （1）先因式分解，再计算求值：4x（m－2）－3x（m－2），x＝1.5，m＝6。 【答案】4x（m－2）－3x（m－2）＝x（m－2）（4－3）＝x（m－2），把x＝1.5，m＝6代入，得原式＝1.5×（6－2）＝6。 （2）已知mn＝2，m－3n＝－1，求3mn（m＋n）－12mn2的值。 【答案】因为mn＝2，m－3n＝－1，所以3mn（m＋n）－12mn2＝3m2n＋3mn2－12mn2＝3m2n－9mn2＝3mn（m－3n）＝3×2×（－1）＝－6。 B组 综合运用 11. 把多项式（m＋1）（m－1）＋（m－1）提取公因式（m－1）后，余下的部分是（　D　） A. m＋1 B. 2m C. 2 D. m＋2 12. 利用因式分解计算：（－2）101＋（－2）100＋299＝ 　－299　。 D －299　 13. 现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（1＜a＜2）。 某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3所示，其面积分别为S1，S2。 （1）请用含a的式子分别表示S1，S2。 【答案】S1＝a2＋2·1·a＋1×1＝a2＋2a＋1，S2＝4·1·a＋1×1＝4a＋1。 （2）比较S1与S2的大小，并说明理由。 【答案】S1＜S2。理由如下：S1－S2＝a2＋2a＋1－（4a＋1）＝a2＋2a＋1－4a－1＝a2－2a＝a（a－2），因为1＜a＜2，所以a＞0，a－2＜0，所以a（a－2）＜0，所以S1－S2＜0，所以S1＜S2。 C组 自主提高 14. 阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＝（1＋x） ［1＋x＋x（x＋1）］＝（1＋x）2（1＋x）＝（1＋x）3。 （1）上述因式分解的方法是 　提取公因式法　，共应用了 　2　次。 （2）若分解1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）2023，则需应用上述方法 　2023　次，结果是 　（x＋1）2024　。 提取公因式法　 2　 2023　 （x＋1）2024　 （3）分解因式：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n（n为正整数）。 【答案】原式＝（1＋x）［1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n－1］＝（1＋x）2［1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n－2］＝（1＋x）3［1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n－3］＝…＝（1＋x）n（1＋x）＝（1＋x）n＋1。 谢谢观看！ $ 第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 （第1课时） 1. 利用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的 　和 . 　与这两个数的 　差　的积。即a2－b2＝ 　（a＋b）（a－b）　。 2. 因式分解步骤：①提取公因式；②利用乘法公式分解因式。 和　 差　 （a＋b）（a－b）　 A组 基础训练 1. 分解因式：4a2－1＝（　C　） A. (2a－1)(2a＋1) B. (a－2)(a＋2) C. (a－4)(a＋1) D. (4a－1)(a＋1) 2. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（　C　） A C A. x2－y2 B. －x2＋y2 C. －x2－y2 D. （－9x）2－（－y）2 3. 把代数式2x2－18分解因式，结果正确的是（　C　） C A. 2（x2－9） B. 2（x－3）2 C. 2（x＋3）（x－3） D. 2（x＋9）（x－9） 4. 若k为自然数，则（3k＋2）2－9k2的值总能（　B　） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被7整除 5. 分解因式：（1）x2－4＝ 　（x＋2）（x－2）　； （2）9a2－16b2＝ 　（3a＋4b）（3a－4b）　； （3）m3－m＝ 　m（m＋1）（m－1）　。 B （x＋2）（x－2）　 （3a＋4b）（3a－4b）　 m（m＋1）（m－1）　 6. 若整式x2＋my2(m为常数，且m≠0)能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是 （写一个即可）。 7. 已知x，y满足方程组 则x2－4y2的值为 　－15　。 8. 若实数a，b满足a－b＝1，则代数式a2－b2－2b＋2024的值为 　2025　。 －1（答案不唯一）　 －15　 2025　 9. 把下列各式分解因式： （1）9m2－1； 【答案】(3m＋1)(3m－1)。 （2）－a2＋b2； 【答案】(b＋a)(b－a)。 （3）9(x＋y)2－4y2； 【答案】(3x＋5y)(3x＋y)。 （4）(2m＋n)2－(m＋n)2； 【答案】m（3m＋2n）。 （5）x2(m－n)＋64(n－m)； 【答案】(m－n)(x＋8)(x－8)。 （6）16x4－1。 【答案】(4x2＋1)(2x＋1)(2x－1)。 10. 用简便方法计算： （1）20262－20252； 【答案】原式＝（2026＋2025）×（2026－2025）＝4051。 （2）99 ×100 ； 【答案】9999 。 （3）已知a＝5.4，b＝2.3，求3a2－12b2的值。 【答案】原式＝3（a2－4b2）＝3（a＋2b）（a－2b），将a＝5.4，b＝2.3代入，得原式＝3×（5.4＋2×2.3）×（5.4－2×2.3）＝3×10×0.8＝24。 B组 综合运用 11. 设n为某一自然数，代入代数式n3－n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（　D　） A. 521 B. 1413 C. 3721 D. 1716 12. 296－1可以被60～70之间的两个整数整除，则这两个整数分别是 　63　，  　65　。 D 63　 65　 13. 如图，在半径为R的圆形钢板上，挖去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时，图中阴影部分的面积。（结果保留π） 【答案】S＝πR2－4πr2 ＝π［R2－（2r）2］ ＝π（R＋2r）（R－2r） ＝56π（cm2）。 C组 自主提高 14. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”。 （1）36和2024这两个数是“和谐数”吗？为什么？ 【答案】因为36＝102－82，所以36是“和谐数”。因为2024不能表示为两个连续偶数的平方差，所以2024不是“和谐数”。 （2）设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？ 【答案】这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数。 理由如下：因为（2k＋2）2－（2k）2＝（2k＋2＋2k）（2k＋2－2k）＝4（2k＋1），所以由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数。 谢谢观看！ $