21.2.1平行四边形及其性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.1平行四边形及其性质 知识回顾 前面我们学习了平行四边形的哪些知识点？ 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 性质1：平行四边形的对边相等。 性质2：平行四边形的对角相等。 A B C D O 在平行四边形中你还能找到其他性质吗？ 如图，在 □ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O，OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？你能证明发现的结论吗？ A B C D O 观察与度量 探究 [选自教材P43] 探索新知 我们猜想，在□ ABCD 中，OA = OC，OB = OD. 4 平行四边形的性质 二 活动1 请用尺子度量课本41页图18.1-2中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗? 测得AB=DC，AD=BC. 活动2 请用量角器度量上图中平行四边形的四个角，并记录下数据， 你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗? 测得∠A=∠C，∠B=∠D. 猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？ 两组对边及两组对角分别相等. 怎样证明这个 猜想呢？ 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD，BC=DA； ∠B=∠D，∠A=∠C. A B C D 证明:如图连接AC ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC,AB//CD ∴∠DAC=∠ACB,∠BAC=∠ACD 在△ABC与△CDA中： ∵∠DAC=∠ACB,AC=AC，∠BAC=∠ACD ∴△ABC≌△CDA（ASA） 思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ A B C D 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC,AB//CD ∴∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180°,∠C+∠B=180° ∴∠A=∠C,∠B=∠D 归纳总结 平行四边形的性质 平行四边形的性质： 平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等 例1.如图，在▱ABCD中，AD＝40，CD＝30，∠B＝60°，则： (1)BC＝________，AB＝________，▱ABCD的周长为________； (2)∠A＝________，∠C＝________，∠D＝________. A B C D 40 30 140 120° 120° 60° 探究 　　根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ 　　猜想：平行四边形的对边相等； 　　　　　平行四边形的对角相等． 　　思考：你能证明这些猜想吗？ A B C D 　　猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等． 　　已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 　　求证：AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D． A B C D 　　分析：猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明． A B C D O 1 3 2 4 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 在△ABD中，OB = OD， OA 是 BD 边上的中线， 所以 S△ABO = S△DAO . 同理可得： S△ABO = S△BCO = S△CDO = S△DAO . 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 归纳： 平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等. A B C D O 1 3 2 4 2. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证:∠ADE = ∠CBF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD. ∵E，F 分别是 AB，CD 的中点， ∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF. ∴△AED≌△CFB (SAS).∴△ADE=∠CBF. 探究点 2 两条平行线之间的距离 利用方格纸画出直线 a//b，A，D 为直线 a 上任意两点. 1.如图①，过点 A，D 分别画直线 c，d，使 c∥d，B，C 分别是直线 c 和 b，直线 d 和 b 的交点，用刻度尺测量点 A，B 的距离和点 D，C 的距离，它们相等吗？_____ a b c d A B D C 相等 A D B C 不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义， 证明其对角相等呢？ 答：能.证明： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°. ∴∠A = ∠C. 同理可证 ∠B = ∠D. 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等 . ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB = CD,BC = AD； ∠A = ∠C，∠B = ∠D. 归纳小结 在平行四边形ABCD中， AB ＝ CD，AD ＝ BC. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. 几何语言： 平行四边形的性质 A D B C 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等 . ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB = CD,BC = AD； ∠A = ∠C，∠B = ∠D. 归纳小结 在平行四边形ABCD中， AB ＝ CD，AD ＝ BC. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. 几何语言： 平行四边形的性质 A D B C 1. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证:∠ADE = ∠CBF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD. ∵E，F 分别是 AB，CD 的中点， ∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF. ∴△AED≌△CFB(SAS). ∴△ADE=∠CBF. 5.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______． 5 6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是 . 课堂小结 1.如图，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积 A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 课堂练习 √ 解析　∵a∥b， ∴a，b之间的距离是固定的， ∵△ABC的高和a，b之间的距离相等， 所以△ABC的高、底边都是固定的， 所以它的面积不变. 22 练习4 如图,在平行四边形 中,已知对角线 和 相交于点O, 的周长为17, ,那么对角线 _______. 解析：∵平行四边形 中,已知对角线 和 相交于点O, ∴ , , ∵ 的周长为17,∴ , ∵ ,∴ , ∴ , ∴ .故答案为：22. $