江苏盐城外国语学校2025-2026学年高二下学期期中素质评估数学学科练习

盐城外国语学校2026年春学期期中素质评估 高二年级数学学科练习 注意事项: 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 下列求导运算中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 2. 已知点，在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角为 C．直线的斜率为 D．直线的斜率为 3. 在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布(100,σ²).若X 在[85,115]内的概率是0.6,则从 参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概 率是( ). A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 5. 已知随机变量X 的分布列如下：则E(X)=( ). X 0 2 4 P m A. B. C. D. 6.已知 , 则a,b,c 的大小关系为( ). A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.b>a>c 7. 已知, 分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0, 则下列结论不正确的是 ( ). A. 当A,B独立时，P(A|B)=P(A) B. 当A,B互斥时，P(A|B)=P(B|A) C. D. 8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果， 计算（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是( ). A. 若随机变量X 的概率分布列为 B. 若随机变量 , 则 C. 若随机变量X～N(1,σ²),则P(X≤0)=0.4,则 P(1≤x≤2)=0.2 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X 表示取到的次品数，则 10. 4月4号小长假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车，概率 ;又知道他骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为 、 、 .下列说法正确的是( ). A. 甲同学当天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B. 甲同学当天早上乘公交车出行与乘滴滴打车出行相互独立 C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D. 若甲同学当天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率 为 11. 已知函数，则下列选项正确的有（     ） A．函数有唯一零点 B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．记，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12．5个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是 13.已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 14．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有， 且为奇函数，则不等式的解集是 ． 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分13分) 已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 16．(本小题满分15分) 现有10台平板电脑，其中5台平板电脑由甲工厂生产，3台平板电脑由乙工厂生产，2台平板电脑由 丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10台平板电脑中任取1台。 设事件为“取得的平板电脑是合格品”，事件分别表示“取得的平板电脑是甲、乙、丙三个工厂 生产的”。 (1)求； (2)若取出的平板电脑是合格品，求该平板电脑是甲工厂生产的概率. 17．(本小题满分15分) 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次 取1个球. (1)求有放回抽样时，取到白球的次数X 的分布列与方差； (2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y 的分布列与期望. 18．(本小题满分17分) 已知函数，实数． (1)当a=1时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 19．(本小题满分17分) 已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 作出的大致图象（如图）：因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 盐城外国语学校2026年春学期期中素质评估 高二年级数学学科练习 注意事项: 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 下列求导运算中，不正确的是（   C  ） A． B． C． D． 2. 已知点，在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（  B  ） A．直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角为 C．直线的斜率为 D．直线的斜率为 3. 在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布(100,σ²).若X 在[85,115]内的概率是0.6,则从 参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概 率是( B ). A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数，若，则（  A  ） A． B． C．2 D．4 5. 已知随机变量X 的分布列如下：则E(X)=( B ). X 0 2 4 P m A. B. C. D. 6.已知 , 则a,b,c 的大小关系为( B ). A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.b>a>c 7. 已知, 分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0, 则下列结论不正确的是 ( C ). A. 当A,B独立时，P(A|B)=P(A) B. 当A,B互斥时，P(A|B)=P(B|A) C. D. 【答案】C 【解析】若A,B 独立，则P(AB)=P(A)P(B), , A正确； 若 A,B 互斥，则P(AB)=0, , B 正确； D 正确 . 故选 C. 8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果， 计算（   C ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】由题设对求二阶导并确定零点，进而可得对称中心，利用求目标式的值即可. 【详解】因为， 所以， 令，则， 令，即，解得， 又， 由题中给出的结论，可知函数的对称中心为， 所以，即， 故，，…，， 所以．或用倒写相加法求解。 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是( ABD ). A. 若随机变量X 的概率分布列为 B. 若随机变量 , 则 C. 若随机变量X～N(1,σ²),则P(X≤0)=0.4,则 P(1≤x≤2)=0.2 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X 表示取到的次品数，则 【答案】ABD 【解析】因为P(X=n)=an(n=1,2,3,4), 所 以a+2a+3a+4a=1，故 ,故A 正确； 根据二项分布的方差公式可知， , 故 B 正确； 若随机变量X～N(1,σ²), 则 P(X≤1)=0.5, 又因为P(X≤0)=0.4, 所以P(1≤x≤2)=P(0≤x≤1)=0.1, 故 C 错误 根据超几何分布可知， 故 D 正确 . 10. 4月4号小长假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车，概率 ;又知道他骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为 、 、 .下列说法正确的是( ACD ). A. 甲同学当天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B. 甲同学当天早上乘公交车出行与乘滴滴打车出行相互独立 C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D. 若甲同学当天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率 为 【答案】ACD 【解析】分别设甲同学今天早上骑共享自行车，乘公交车，乘滴滴打车出行”为事件A₁,A₂, A₃, 设甲同学到达图书馆能立即找到空座位的事件为B.A₁与A₂不能同时发生， A 正确； , C 正确 正确 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ACD    ） A．函数有唯一零点 B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D．记，则 【答案】ACD 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12．5个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是 13.已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 【答案】/ 14．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有， 且为奇函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，，， 即，即， 故．故填 。 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分13分) 已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 【详解】（1），， 当时，有极小值0，， （3分） ，， ，， 的解为或， 在上是单调递增函数； 的解为， 在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故； （6分） （2），，， 又，在上的解为， 在上是单调递增函数； 在上的解为， 在上是单调递减函数； 在上的最小值为， （10分） 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. （13分） 16．(本小题满分15分) 现有10台平板电脑，其中5台平板电脑由甲工厂生产，3台平板电脑由乙工厂生产，2台平板电脑由 丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10台平板电脑中任取1台。 设事件为“取得的平板电脑是合格品”，事件分别表示“取得的平板电脑是甲、乙、丙三个工厂 生产的”。 (1)求； (2)若取出的平板电脑是合格品，求该平板电脑是甲工厂生产的概率. 【解析】 (1),,, （6分） (2)， （9分） ( 12分) . 该球是甲工厂生产的概率为. （15分） 17．(本小题满分15分) 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次 取1个球. (1)求有放回抽样时，取到白球的次数X 的分布列与方差； (2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y 的分布列与期望. 【解析】(1)有放回抽样时，取到白球的次数X可 能 的 取 值 为 0 , 1 ,2 , 3 . 每次抽到白球的概率均为 3次取球可以看成3次独立重复试验， 则 （3分） 则 故X 的分布列为： P 0 1 2 3 X （6分） 则 （8分） (2)不放回抽样时，则 Y～H(3,2,8) 故 Y 的分布列为： P 0 1 2 Y （13分） 则 （15分） 18．(本小题满分17分) 已知函数，实数． (1)当a=1时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【详解】由题意得：函数的定义域为 （1）当时， ，， （3分，定义域没有求扣1分） 0<x<1, ; 减；x>1, , 增 所以函数减区间为（0,1）上减，增区间为． （6分） （2）由，得， 令，， （8分） 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， （12分） 所以，存在 ，不等式成立， 则， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， （16分） 所以实数a的取值范围为． （17分） 19．(本小题满分17分) 已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）因，则，（定义域没有求扣1分） 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； (4分) （2）在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减，则，， 则实数的取值范围是； (8分) （3）当时，，则， 令，则， 令，则，因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， ( 13分) 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）：因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $盐城外国语学校2026年春学期期中素质评估 高二年级数学学科练习 (试卷分值：150分考试时间：120分钟) 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，计40分。每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项 1,下列求导运算中，不正确的是（) A.(sinx)'=cos x B.(x2 cosx)'2xcosx-x2 sin x C.(ex+In2)'=ex+ D.)G 6 2.已知点A(x1,y1),B(&2,y2)在函数y=fx)的图象上，若函数fx)在[x1,x2]上的平均变化率为V3, 则下面叙述正确的是() A.直线AB的倾斜角为号 B.直线AB的倾斜角为 C.直线AB的斜率为-√3 D.直线AB的斜率为-S 3 3.在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100，σ2).若X在[85,115]内的概率是0.6，则从参加 这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（). A据 48 16 4 B.125 C.25 D.3 4定义在上的墨数f,若f0=026则m0-2026A9-f.（) △x A.-1 8.月 C.2 D.4 5.已知随机变量X的分布列如下：则E(X)=(). X 0 4 1 7 3 、如 -2m 6 A.3 5-3 17 B. C.9 In2 In3 6.己知0=2 1 b=e ,则ab,c的大小关系为(). A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.b>ac 7.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列结论不正确的是（). A.当A,B独立时，P(A|B)=P(A) B.当A,B互斥时，P(AB)=P(BA) C.P(BIA)+P(BIA)=P(A) D.P(BIA)+P(BIA)=1 8.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导数，f(x)是f(x) 第1页共4页 的导数，若方程f()=0有实数解xo,则称点(xo,f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发 现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定 函数f()=x3-2+3x-是请你根据上面探究结果， 计算f(2)+f(2)+f()++f(02器)+f0=)=（) A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是(). A若随机变量x的概率分布列为P(X=川=an(n=l,2,3,4,则a=0 1 B若随机变益X~B(10,),则D0)= C.若随机变量X~N(1,o2),则P(X≤0)=0.4，则P(1≤x≤2)=0.2 D.在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则PX=)=习 10.4月4号小长假期间，甲同学早上去图馆有三种方式：骑洪享自行车，乘公交车，或滴滴謝打车，概率 分别为合：义知道他骑共字自行车，乘公交车，或南打车时，到达图能即找到空座位的概率分 .177 别为0、0、 19 20° 下列说法正确的是(). A甲同学当天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B.甲同学当天早上乘公交车出行与乘滴滴打车出行相互独立 4 C.甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于5 34 D.若甲同学当天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为6 11.已知函数f(x)=nx-x+1,g(x)=,则下列选项正确的有() A.函数fx)有唯一零点 B.若方程g(8)=m有两个实数解，则实数m的取值范围为m<1 C.若g)≤t(x+)对任意x∈R恒成立，则实数t的取值范围为[医，2] D.记h(6w)=gw)-f6x),x∈[，e,则h(x)ax=e-e+e 第2页共4页 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分。请把答案写在答题纸的指定位置上。 12.5个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是▲ 13.已知曲线y=e+sin3x在点(0,1)处的切线为l,若直线l与抛物线y2=4x+m也相切， 则m=▲一 14.定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若对任意实数x,有fx)>f(x), 且f(x)+2026为奇函数，则不等式fx)+2026x<0的解集是▲一. 四、解答题：本大题共5小题，计77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内。 15。(本小题满分13分) 己知函数f(x)=x3+ax2+bx+2(a,b∈R),当x=1时，f(x)有极小值0. (1)求实数a,b的值： (2)求函数f(x)在区间[-1,3]上的最值. 16.(本小题满分15分) 现有10台平板电脑，其中5台平板电脑由甲工厂生产，3台平板电脑由乙工厂生产，2台平板电脑由 丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8,0.9,0.7.现从这10台平板电脑中任取1台。 设事件B为“取得的平板电脑是合格品”，事件A1,A2,A3分别表示“取得的平板电脑是甲、乙、丙三个 工厂生产的”。 (1)求P(A),i=1,2,3: (2)若取出的平板电脑是合格品，求该平板电脑是甲工厂生产的概率。 17.(本小题满分15分) 己知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球， (1)求有放回抽样时，取到白球的次数x的分布列与方差： (②)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望 第3页共4页 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=2+ax+alnx,实数a>0. (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间： (2)若存在x∈(0，+o),使得关于x的不等式f(x)<2+a2x成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(2x+a)e,其中a为常数 (①)若函数f()的极小值点为x=号，求a的值： (2)若f(x)≥e3在x∈[0,1]时恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a=1时，若函数g(x)=f(x)-x在(-0,0)上恰有两个不同的零点，求实数k的取值范围， 第4页共4页