8.3.3 球的表面积和体积（第二课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3.2 球的表面积和体积 （第一课时） 复习回顾 4πR2 复习回顾 球的截面问题 (1)用一个________去截球，截面一定是_______． (2)如果平面过______，得到的截面圆为球的______(如地球仪上的经线圈与赤道所在的纬线圈)；如果平面不过球心，得到的截面圆为球的______(如30°纬线圈)． (3)如图，设小圆的圆心为O′，半径为r，球的球 心为O，半径为R，则 ①OO′⊥圆面O′. ②R2＝r2＋OO′2. 平面 圆面 球心 大圆 小圆 问题引领，深入思考 1．如何理解球与几何体外接、内切关系？ 答：(1)解决与球有关的外接、内切问题的关键： ①确定球心位置． ②构造直角三角形，确定球的半径． 即球心定位置，半径定大小． 问题引领，深入思考 (2)球与多面体： ①多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等(球半径)． ②多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等(球半径)． (3)球与旋转体： ①旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球截面；球心在旋转轴上． ②旋转体的内切球：旋转体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上． 问题引领，深入思考 2．圆柱的外接球有何特征？ 答：如图，在圆柱OO1中，AB为圆柱底面圆的一条直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段BC的中点，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2. 问题引领，深入思考 3．直棱柱的外接球有何特征？ 答：如图，可以将直棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球即为其外接圆柱的外接球，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2. 问题引领，深入思考 4．直棱锥的外接球有何特征？ 答：如图，可先将直棱锥A－BCD补成直棱柱，再将其外接圆柱OO1作出来，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2. 问题引领，深入思考 5．长方体的外接球有何特征？ 答：如图，长方体的体对角线为长方体外接球的直径，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则(2R)2＝x2＋y2＋z2. 题型一——球的体积和表面积 例 1 (1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积．　 (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型一——球的体积和表面积 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 在球的表面积和体积公式中，共3个量，半径R起着桥梁作用，知一可求二，关键是求半径R. 巩固练习 √ 巩固练习 (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则这个大球的半径为________． 题型二——球的截面问题 √ 例 2 (1)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π B．48π C．36π D．32π 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 题型二——球的截面问题 (2)一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的体积． 【思路】　已知球内的两截面分别是面积为49π cm2和400π cm2的圆，可以求出两截面圆的半径． 两截面相距9 cm，由此可求出球的半径． 解答本题可先画出图形，再把立体几何问题平面化． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 题型二——球的截面问题 【解析】　①当截面在球心的同侧时，画出轴截面如图，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π， ∴O2B＝7. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 设OO1＝x，则OO2＝x＋9. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 题型二——球的截面问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 18 总结 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 巩固练习 √ 巩固练习 巩固练习 (2)过球面上A，B，C三点的截面和球心之间的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积． 题型三——几何体的外接球 √ 例 3 (1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　) A．16π B．20π C．24π D．32π 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 23 题型三——几何体的外接球 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 24 题型三——几何体的外接球 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 25 总结 (1)球的表面积和体积都是关于半径R的函数．对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系．画出轴截面是正确解题的关键． (2)长方体外接球的直径是长方体的体对角线． 巩固练习 √ 巩固练习 巩固练习 6π 题型四——几何体的内切球 例 4 (1)一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为 ________，内切球半径为________． 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 30 题型四——几何体的内切球 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 31 总结 解题时要认真分析图形，明确切点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心作出截面图． 巩固练习 巩固练习 (2)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积． 当堂检测 1．已知两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　　) A．1∶9　　 B．1∶27　　 C．1∶3　　 D．1∶1 √ 解析　两个球的表面积之比即为半径的平方之比． 当堂检测 2．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 √ 当堂检测 √ 当堂检测 4．若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，球O是该圆柱的外接球，则球O的表面积为________． 29π 当堂检测 用数学的眼光看世界 ·球的表面积 半径为R的球的表面积为S＝________． ·球的体积 半径为R的球的体积为V＝__________． eq \f(4,3)πR3 【解析】　(1)∵直径为6 cm，∴半径R＝3 cm. ∴S球＝4πR2＝36π(cm2)，V球＝eq \f(4,3)πR3＝36π(cm3)． 【解析】　(2)∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4. ∴V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×43＝eq \f(256,3)π. (3)已知球的体积为eq \f(500,3)π，求它的表面积． 【解析】　(3)∵V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(500,3)π，∴R3＝125，R＝5. ∴S球＝4πR2＝100π. (1)若两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　) A．2∶3　　　　　　　 B．4∶9 C.eq \r(2)∶eq \r(3) D．2eq \r(2)∶eq \r(29) 【解析】　设大球半径为R，则eq \f(4,3)π×13×2＝eq \f(4,3)π×R3，∴R3＝2，R＝eq \r(3,2). eq \r(3,2) 【解析】　设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq \f(AB,sin 60°)＝2r，解得AB＝2eq \r(3)，故OO1＝2eq \r(3)，所以R2＝OOeq \o\al(2,1)＋r2＝(2eq \r(3))2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A. 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15， ∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(62 500,3)π(cm3)． ②当截面在球心异侧时，OO1＋OO2＝9＝eq \r(R2－72)＋eq \r(R2－202)，无解． 故球的体积为eq \f(62 500,3)π cm3. (1)已知△ABC是面积为eq \f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A.eq \r(3) B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(\r(3),2) 【解析】　设球O的半径为R，则4πR2＝16π，解得R＝2. 设△ABC外接圆半径为r，边长为a， ∵△ABC是面积为eq \f(9\r(3),4)的等边三角形， ∴eq \f(1,2)a2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9\r(3),4)，解得a＝3，∴r＝eq \f(2,3)×eq \r(a2－\f(a2,4))＝eq \f(2,3)×eq \r(9－\f(9,4))＝eq \r(3)， ∴球心O到平面ABC的距离d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(4－3)＝1.故选C. 【解析】　设截面圆的圆心为O′，球心为O，连接O′A，O′O，OA，设球的半径为R， 由题意知，O′A＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(2\r(3),3). 在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，即R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3))) eq \s\up22(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)R)) eq \s\up22(2)，∴R＝eq \f(4,3)，∴S＝4πR2＝eq \f(64π,9). 【解析】　由V＝Sh，得S＝4，得正四棱柱底面边长为2.易知该正四棱柱的体对角线即为球的直径，所以球的半径为R＝eq \f(1,2) eq \r(22＋22＋42)＝eq \r(6).所以球的表面积为S＝4πR2＝24π.故选C. (2)正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为eq \r(2)，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为________． eq \f(4π,3) 【解析】　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，连接SO1，AC，∴SO1垂直于底面ABCD， 易知△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径． 在△ASC中，由SA＝SC＝eq \r(2)，AC＝2， 得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形． ∴eq \f(AC,2)＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径． 故V球＝eq \f(4π,3). (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.eq \f(7,3)πa2 C.eq \f(11,3)πa2 D．5πa2 【解析】　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.设球的半径为R.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，连接AP，OP，OA，易知AP＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，OP＝eq \f(1,2)a，OA＝R，所以R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a)) eq \s\up22(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a)) eq \s\up22(2)＝eq \f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq \f(7,3)πa2. (2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，eq \r(2)，eq \r(3)，则其外接球的表面积是________． 【解析】　∵该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，eq \r(2)，eq \r(3)的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球． 设其外接球的半径为R， 则有(2R)2＝12＋(eq \r(2))2＋(eq \r(3))2＝6.∴R2＝eq \f(3,2). 故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 【解析】　设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，易知正方体的体对角线即为外接球直径，棱即为内切球的直径，即2R＝eq \r(3)a，2r＝a， ∴R＝eq \f(\r(3),2)a，r＝eq \f(a,2). eq \f(\r(3),2)a eq \f(a,2) (2)一个正四面体的棱长为a，若该正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)＝________． eq \f(6\r(3),π) 【解析】　正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×eq \f(\r(3),4)a2＝eq \r(3)a2，利用等体积法求正四面体内切球的半径r.设正四面体的高为h，则h＝eq \f(\r(6),3)a，V锥＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)a2·h＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)a2·r·4，即r＝eq \f(1,4)h，即r＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此内切球的表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq \f(6\r(3),π). (1) 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值是________． eq \f(3,2) 【解析】　设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq \f(3,2). 【解析】　如图，作出轴截面，作OE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，因为△ABC是正三角形， 所以CD＝eq \f(1,2)AC＝2， 所以AC＝4，AD＝eq \f(\r(3),2)×4＝2eq \r(3). 易知Rt△AOE∽Rt△ACD，所以eq \f(OE,AO)＝eq \f(CD,AC). 设OE＝R，则AO＝2eq \r(3)－R， 所以eq \f(R,2\r(3)－R)＝eq \f(1,2)，R＝eq \f(2\r(3),3).所以S＝4πR2＝eq \f(16π,3). 解析　设三个球的半径分别为1，2，3，则最大的球的体积V3＝eq \f(4,3)π×33＝36π，其他两个球的体积和V1＋V2＝eq \f(4,3)π(13＋23)＝12π.∴最大的球的体积是其他两个球的体积和的3倍． 3．已知正方体外接球的体积是eq \f(32,3)π，那么正方体的棱长是(　　) A.eq \f(4\r(2),3) B.eq \f(4\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),3) D．2eq \r(2) 解析　设正方体棱长为a，其外接球半径为R，则2R＝eq \r(3)a，∴R＝eq \f(\r(3),2)a，∵eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π，∴R＝2，∴eq \f(\r(3),2)a＝2，∴a＝eq \f(4\r(3),3).∴选B. 解析　设圆柱的高为h，其外接球的半径为R，因为圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，所以2πh＝10π，解得h＝5. 由圆柱和球的对称性可知球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，所以R＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up22(2))＝eq \f(\r(29),2)，所以球的表面积为S＝4πR2＝29π. 5. 如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则eq \f(R,r)＝________． eq \f(2\r(3),3) 解析　依题意eq \f(4,3)πr3＝πR2·r，∴eq \f(R,r)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3). $