第八章 统计与概率 2026年中考数学专题复习（四川）

第33节　概　率 过教材 梳理知识 知识点1　事件的分类 事件的 类型 确定性事件 随机事件 必然事件 不可能事件 定义 在一定条件下进行可重复试验时,有些事件一定会发生 在一定条件下进行可重复试验时,有些事件一定不会发生 在一定条件下进行可重复试验时,有些事件可能发生也可能不发生 发生的 概率 1 0 　   举例 坐吃山空、瓮中捉鳖 水中捞月、刻舟求剑 守株待兔 0～1之间(不包括0和1) 知识点2　概率的意义 1.概率是表示一个事件发生的可能性大小的数值.必然事件发生的概率为　 　;不可能事件发生的概率为　 　;随机事件发生的概率介于 　 　与　 　之间.  2.一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能 性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=　　. 1 0 0 1 3.概率的计算方法 ①列表法 当一次试验涉及两步计算,并且可能出现的结果为有限个时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法求事件发生的概率. ②画树状图法 当一次试验涉及三步或三步以上计算时,通常采用画树状图法求事件发生的概率. 命题点1　概率的计算 类型一　一步概率的计算 研真题 靶向中考 1.(2023成都T6,4分)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神,某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目,老师提供6张背面完全相同的卡片,其中蔬菜类有4张,正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案;水果类有2张,正面分别印有草莓、西瓜图案,每个图案对应该种植项目.把这 6张卡片背面朝上洗匀,小明随机抽取一张,他恰好抽中水果类卡片的概率是( ) B 类型二　两步概率的计算 C 5.(2025成都T20,4分)从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值, 则关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有实数根的概率为　 　.  D 类型三　几何概型 6.(2025成都模拟)如图所示,将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内, 若飞镖落在镖盘内各点的机会相等,则飞镖落在阴影区域的概率为　　. 命题点2　统计与概率结合 7.(2023绵阳T20,12分)随着科技的进步,购物支付方式日益增多.为了 解某社区居民支付的常用方式(A电子支付X、B电子支付Y、C现金、D其他),某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查,根据调查结果,绘制成如图所示的统计图. 根据统计图中的信息,解答下列问题: (1)a=　 　,b=　 　,在扇形统计图中C种 支付方式所对应的圆心角度数为　 　;  20 18 36° (2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性,其余都是女性,现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训,求恰好都是女性的概率. 8.(2025南充T9,8分)为弘扬优秀传统文化,某校拟增设四类兴趣班:A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班.学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查,调查问题是“你最希望增设的兴趣班”(四类中必选并只选一类),调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图: (1)求问卷调查的总人数,并补全条形图; (2)若该校共有800名学生,估计最希望增设“木偶班”的学生人数; 解:(1)问卷调查的总人数为26÷26%=100, D类别人数为100-(26+24+20)=30, 补全图形如图所示. (3)本次调研小组共有5人,其中男生3人,女生2人,现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果,求恰好抽中一男一女的概率. 解:(3)列表如下: 性别 男 男 男 女 女 男 — (男,男) (男,男) (女,男) (女,男) 男 (男,男) — (男,男) (女,男) (女,男) 男 (男,男) (男,男) — (女,男) (女,男) 女 (男,女) (男,女) (男,女) — (女,女) 女 (男,女) (男,女) (男,女) (女,女) — 新题型 新考法 9.跨物理和化学学科　 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A,B,C,D四张卡片,四张卡片除图片内容不同外,其他没有区别,放置于暗箱中摇匀. A.铁钉生锈 B.滴水成冰 C.矿石粉碎 D.牛奶变质 (1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是　　;  (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率. 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025深圳)某校进行《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算法统宗》四本书的长文本阅读活动,小聪从中任取一本,恰好抽到《九章算术》的概率为( ) C 2.(2025成都模拟)九(1)班同学设计用频率估计概率的试验如下:在一个不透明的口袋中,装有12个球,它们除颜色外其余均相同,摇匀后从中随机摸出一个球,记下颜色后再放回口袋中.通过大量重复摸球试验,统计了摸到红球的频率,绘出的统计表如图所示,则口袋中红球的个数最可能是( ) B 摸球总次数 10 50 100 1 000 摸到红球的频率 0.11 0.20 0.39 0.33 A.3个 B.4个 C.5个 D.10个 3.如图所示,飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样.假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的,任意投掷飞镖1次(击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板,则重投1次),则飞镖击中阴影区域的概率是( ) C 4.(2025河南)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是( ) B D 6.(2025湖北)窗,让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图所示, “步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式,从这三 种方式中随机选出一种制作窗格,选中“步步锦”的概率是　 　.  步步锦　 龟背锦　 灯笼锦 7.(2025上海)小明与小杰在玩卡牌游戏,已知小明手里有1,2,3,4四张 牌,小杰手里有2,4,6,8四张牌,小明从小杰手里抽出一张牌,如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等,那么小明抽出的这张卡牌中, 和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为　　 .  能力进阶 8.(2025宜宾)某中学开学之初,为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况,随机抽取了部分学生进行问卷调查(社团活动的项目有篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸.每人必选且只能选一项).根据调查结果,制成了如下的统计图. 请结合图中信息解答下列问题: (1)本次共调查了　 　名学生,其中喜爱舞蹈的学生人数是　 　,并补全条形统计图;  (2)若七年级新生共有600人,估计有　 　人喜欢乒乓球运动;  100 10 解:(1)图略 150 (3)新生中有甲、乙、丙、丁四位同学,篮球基础较好,且喜欢篮球运动.学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队,请用列表或画树状图的方法,求同时选中甲、乙两人的概率. 解:(3)列表如下: 同学 甲 乙 丙 丁 甲 — (甲,乙) (甲,丙) (甲,丁) 乙 (乙,甲) — (乙,丙) (乙,丁) 丙 (丙,甲) (丙,乙) — (丙,丁) 丁 (丁,甲) (丁,乙) (丁,丙) — 谢谢观赏！ 30 (1)用列举法求概率 (2)用频率估计概率 一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率稳定于某个常数p,那么事件A发生的概率P(A)=p. 知识点3　概率的应用——判断游戏的公平性 判断游戏公平性,首先应分别计算出两个人获胜的概率,然后再比较两个概率的大小,若相等,则游戏公平,否则不公平. A. B. C. D. 2.(2024成都T12,4分)盒中有x枚黑棋和y枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子,若它是黑棋的概率是,则的值为 　 　.  3.(2025成都模拟)中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚,邮票图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带.小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择2种购买,购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是( ) A. B. C. D. 4.(2024绵阳T10,3分)如图所示,电路上有S1,S2,S3,S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L,将这些开关随机闭合至少两个,能让灯泡发光的概率为( ) A. B. C. D. 解:(2)设男生为A,女生为B,画树状图得 ∵共有20种等可能的结果,恰好抽到都是女性的有6种情况,∴恰好都是女性的概率为=. (2)800×=240(人). 答:估计最希望增设“木偶班”的学生人数为240. 由表知,共有20种等可能结果,其中恰好抽中一男一女的有12种结果,所以恰好抽中一男一女的概率为=. 解:(2)四张卡片内容中是化学变化的有A,D, 画树状图如图所示. 共有12种等可能的结果,其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有:AD,DA,共2种, ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为=. A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. 5.(2025广东)如图所示,在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形内的概率为( ) A. B. C. D. 共有12种等可能的结果,其中同时选中甲乙两人的结果有(甲,乙),(乙,甲),共2种, ∴同时选中甲、乙两人的概率为=. $第八章　统计与概率 第32节　统　计 过教材 梳理知识 知识点1　数据的收集 1.调查方式 调查方式 适用范围 优点 全面 调查 适用于调查的范围　 　、调查不具有破坏性、意义重大、数据要求准确、 　 　等时  可靠、真实、结果精准 抽样 调查 适用于调查对象涉及面　 　、范围 　 　,受条件限制或具有破坏性等时 省时、省力、破坏性小 小 全面 广 大 2.相关概念 (1)总体:所要考察对象的　 　称为总体.  (2)个体:组成总体的　 　考察对象称为个体.  (3)样本:总体中被抽取出来的　 　称为样本.  (4)样本容量:样本中所包含的　 　叫做样本容量.  全体 每一个 一部分个体 个体的数目 知识点2　数据的分析 1.常见的统计图(表) 名称 特征 图中所含信息 扇形 统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的　   各百分比之和等于　 　;  圆心角的度数=所占百分比× 　 　  条形 统计图 能清楚地表示出每个项目的　   各组数量之和等于抽样数据 　 　(样本容量)  百分比 1 360° 具体数目 总数 折线 统计图 能清楚地反映每个项目的 　   各组数据之和等于抽样数据 　 　(样本容量)  频数 分布 直方图 能显示出各组　 　分布的情况,便于显示各组频数之间的差别  各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量); 各组频率之和等于　 　;  数据总数×各组的　 　=相应组的频数  频数 分布表 能清楚地判断数据的多少,便于比较各小组的差别 变化情况 总数 频数 1 频率 2.平均数、中位数、众数与方差 中 位 数 定义 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,处于　 　位置的数(或最中间两个数据的　 　)为这组数据的中位数  意义 反映数据的中等水平,去掉一组数据中的一个最大值和一个最小值,中位数不变 众 数 定义 一组数据中出现次数　 　的那个数据叫做这组数据的众数  最中间 平均数 最多 越大 差 命题点1　分析统计图(表) 1.(2025成都T5,4分)在第25个全国科技活动周中,某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解,现将选择结果绘制成如下统计图表: 研真题 靶向中考 B 根据图表信息,表中a的值为( ) A.8 B.10 C.12 D.15 项目 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 2.(2025甘孜T17,8分)为了落实国家教育数字化战略行动要求,做好科学教育“加法”,提升学生数字素养,培育数字时代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程.受时间限制,每位学生只能参加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图. 根据图中信息,解决下列问题: (1)①此次调查一共抽取了　 　名学生;  40 ②请将条形统计图补充完整; 解:(1)②数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数,即40-14-16=10.补充条形统计图如图所示. ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为　 　度;  90 (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程,请估计喜欢计算思维课程的学生人数. 命题点2　平均数、中位数、众数、方差的计算 3.(2024成都T5,4分)某镇组织开展“村BA”“村超”“村晚”等群众文化赛事活动,其中参赛的六个村得分分别为55,64,51,50,61,55,则这组数据的中位数是( ) A.53 B.55 C.58 D.64 B 4.(2023绵阳T7,3分)阅读可以丰富知识,拓展视野,在世界读书日(4月 23日)当天,某校为了解学生的课外阅读,随机调查了40名学生课外阅读册数的情况,现将调查结果绘制成如图所示的统计图.关于学生的读书册数,下列描述正确的是( ) A.极差是6 B.中位数是5 C.众数是6 D.平均数是5 B 命题点3　平均数、中位数、众数、方差的应用 5.(2025成都T15,8分)某公司需要经常快递物品,准备从A,B两家快递平台中选择一家作为日常使用.该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分(单位:分),其中对平台A的服务态度评分为86,88,89,91,92,95,96;对平台B的服务态度评分为86,86,89,90,91,93,95.现将每项七个评分的平均值作为该项的得分,平台A,B各项的得分如下表: 平台 物品完好度 服务态度 物流时长 A 92 m 90 B 95 n 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差(最大值与最小值的差)是 　 .  (2)求表格中m,n的值,并以此为依据,请判断哪家平台服务态度更好. 10分 (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5∶3∶2的比例确定平台的最终得分,并以此为依据选择平台,该公司会选择哪家平台? 6.(2024绵阳T20,12分)某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛,现对他们进行了6次测试,成绩(单位:环)统计如下: 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空: 甲的平均成绩是　 　环,乙的平均成绩是　 　环;甲成绩的中位数是 　 　环,乙成绩的众数是　 　环;  8 8 8 10 (2)求甲、乙测试成绩的方差; (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适,请说明理由. (3)推荐甲参加全省比赛更合适,理由如下: 因为两人的平均数相同,但甲的方差比乙小,即甲比乙更稳定,所以推荐甲参加全省比赛更合适. 基础巩固 分层练 实战提能 1.(2025重庆)下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是( ) A.调查某种柑橘的甜度情况 B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C.调查某市垃圾分类的情况 D.调查全班观看某部电影的情况 D 2.(2025宜宾)一组数据:4,5,5,6,a的平均数为6,则a的值是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 3.(2025资阳)某年级7名教师某周使用人工智能(AI)办公的次数分别为5,2,6,9,5,5,3.这组数据的众数和中位数分别为( ) A.6,5 B.5,9 C.5,6 D.5,5 D D 4.(2025泸州)某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试,每人10次跳绳成绩的平均数(单位:个)及方差如下表所示: 同学 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 B 5.(2025自贡)某校举行“唱红歌”歌咏比赛,甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示.三项评分所占百分比如图所示,平均分最高的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.平均分都相同 B 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 6.为了预估试验田中玉米的长势情况,研究人员对处于生长期的玉米株高进行监测.为降低监测成本,研究人员选取部分玉米,收集了玉米株高 (单位:cm)的数据,并整理制成如图所示的频数直方图.根据图示信息描述不正确的是( ) A.频数直方图中组距是4 B.株高在48～52 cm的株数为14 C.玉米株高最大值与最小值的差约为10 D.本次监测样本容量是40 C 7.(2025浙江)某书店某一天图书的销售情况如图所示. 根据以上信息,下列选项错误的是( ) A.科技类图书销售了60册 B.文艺类图书销售了120册 C.文艺类图书销售占比30% D.其他类图书销售占比18% D 8.(2025北京)某地区七年级共有2 000名男生.为了解这些男生的体重指数(BMI)分布情况,从中随机抽取了100名男生,测得他们的BMI数据(单 位:kg/m2),并根据七年级男生体质健康标准整理如下: 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息,估计该地区七年级2 000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　.  1 500 9.(2025上海)为了解乘客到达高铁站后离开的方式.某地开展问卷调查,共收到有效答复2 000张,调查结果如图所示.如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人,那么当地每天乘坐出租车离开的人数大约为 　 　.  1 800 能力进阶 10.(2024成都)2024年成都世界园艺博览会以“公园城市 美好人居”为主题,秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念,以园艺为媒介,向世界人民传递绿色发展理念和适宜栖居的美好生活场景.在主会场有多条游园线路,某单位准备组织全体员工前往参观,每位员工从其中四条线路(国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线)中选择一条.现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查,并根据调查结果绘制成如下统计图表. 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动慢游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息,解答下列问题: (1)本次调查的员工共有　 　人,表中x的值为　 　;  160 40 (2)在扇形统计图中,求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数; (3)若该单位共有2 200人,请你根据调查结果,估计选择 “园艺小清新线”的员工人数. 谢谢观赏！ 31 平 均 数 算术 平均数 对于n个数x1,x2,…,xn,其平均数=　 　  加权 平均数 =(x1f1+…+xkfk),其中f1,…,fk分别表示x1,…,xk出现的次数,n=f1+…+fk 意义 描述数据集中程度的一个统计量,表示统计对象的一般(平均)水平,但容易受极端值的影响 (x1+x2+…+xn) 众 数 意义 反映出现次数最多的数据,它能反映一组数据的集中程度 方 差 定义 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],s2即为数据的方差 意义 反映数据的离散程度,方差越大,则数据的波动　 　,稳定性越　 　;反之亦成立  解:(2)样本中喜欢计算思维课程的人数占比为=35%, ∵该校共有800名学生参加课程, ∴估计喜欢计算思维课程的学生人数为 800×35%=280. 答:估计喜欢计算思维课程的学生人数为280. 解:(2)m=×(86+88+89+91+92+95+96)=91, n=×(86+86+89+90+91+93+95)=90. ∵91>90, ∴平台A的服务态度更好. 解:(3)=×(92×5+91×3+90×2)=91.3(分), =×(95×5+90×3+88×2)=92.1(分). ∵91.3<92.1,∴该公司会选择平台B. 解:(2)=×[(7-8)2×2+(9-8)2×2+(10-8)2+(6-8)2]=2; =×[(5-8)2+(8-8)2+(9-8)2+2×(10-8)2+(6-8)2]=. 解:(2)360°×=99°. 答:在扇形统计图中,“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为99°. (3)2 200×=385. 答:估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385. $