2026年中考数学二轮专题复习：规律探究问题

2026年中考数学二轮专题复习：规律探究问题 1．某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，则这两个两位数的积存在一定的规律．观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)观察以上算式规律，请写出__________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，则上述规律可用等式表示为______________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是 ，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并验证它的正确性． 2．小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 3．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 4．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 5．我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____； (2)请证明（1）中得到的规律； (3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……． 请你用发现的规律计算．（写出计算过程） 6．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法．现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为10的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： …… ①仿照上述等式，写出________： ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是1并且个位数字之和是10的两位数乘法有什么规律？设其中一个两位数的个位数字是，用等式进行表示规律为________，请证明这个等式成立： (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是10的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用：________． 7．【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示． (1)①              ②              ③              在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是 （填写正确选项前的字母代号）： A．2、        B．、7 (2)对于有理数a、b，请你“用字母来代替数”，表示出（1）中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律： ； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，试判断有理数、是否一定符合上述运算规律？并说明理由． 8．数学活动一一和为定值的两数积的规律． 观察以下两组算式： ①两数和为60时，，，，； ②两数和为100时，，，，． (1)你发现的规律是：两数和一定时，两数______________，积越大；两数______________，积最大． (2)请你利用乘法公式解释你发现的规律． (3)规律应用： 用20m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是______________m2，此时长方形的长和宽有什么数量关系？______________，由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中，______________的面积最大． 9．我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 10．【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 11．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 12．阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 13．下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：． 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据题意得：其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是， 规律为：， 证明： ， ， ∴． 2．(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 3．（1）；（2）结论是0，理由见详解；（3）结论是，理由见详解；（4），理由见详解；（5）m的所有可能的值为14、16、19、26 【分析】本题主要考查整式运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据月历特征可进行求解； （2）根据题（1）可进行求解； （3）根据题（1）可进行求解； （4）分别根据多项式乘以多项式得出x、y的值，然后问题可求解； （5）由题意易得48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，然后根据题意得出a、b所有可能的值，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）我发现的结论是0，理由如下： 由（1）可知： ； （3）我发现的结论是，理由如下： 由（1）可知： ； （4） ； ； ∵， ∴； （5）由题意得：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， ∵a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31）， ∴当或24时，或2，此时； 当或16时，或3，此时； 当或12时，或4，此时； 当或8时，或6，此时； ∴m的所有可能的值为14、16、19、26． 4．(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 5．(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明 ，再利用该结论计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）证明： ； （3）解： ， ∴，． 6．(1)①；② (2)规律成立，等式为 (3) 【分析】（1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、个位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （3）根据所得的规律求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和即， 则两位数乘法的规律为， 证明：展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （2）解：若两位数的十位均为，个位分别为和， 则两位数的乘积为， 展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （3）解：当时，代入得： ， 故答案为：． 7．(1)A (2)； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算： （1）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可 （2）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可； （3）由题意得，符合运算规律，而可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：，； ，； ∴A组符合规律，B组不符合题意； 故答案为：A； （2）解：由题意得，， 故答案为：；； （3）解：若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律，理由如下： 由题意得，符合运算规律， ∵，， ∴此时 ∴若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律． 8．(1)差的绝对值越小，相等 (2)见解析 (3)25，相等，正方形 【分析】本题考查乘法公式的应用，以及数字变化规律，关键是根据材料发现规律； （1）根据材料中①②可以发现规律； （2）先求出两个数的和为定值，再验证（1）的规律； （3）利用（1）（2）可以得出结论． 【详解】（1）解：根据材料中①②可以发现：两数和一定时，两数差的绝对值越小，积越大；两数相等，积最大， 故答案为：差的绝对值越小，相等； （2）解：设两数分别为和（为定值）， ∴， ∴为定值； ， 当越小，则两数差的绝对值越小，且的值越小， ∵，且为定值， ∴为定值， 要使的值最大，则需要的值最小， 当时，最小，此时两数积最大； （3）设长方形的长为m，宽为m， 根据题意可知，，即， 由（1）（2）可知，当时，长方形的面积最大， 此时，最大面积为， 答：当长方形的两条邻边长各为5m时，长方形的面积最大，最大面积是； 此时长方形的长和宽相等，由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中，正方形的面积最大， 故答案为：25，相等，正方形． 9．(1)，验证见解析 (2)， (3) (4)四 【分析】（1）根据题目所给式子可写出的展开式，然后改写成，计算即可验证； （2）由“杨辉三角”归纳的项数与所有项的系数和的规律即可； （3）根据“杨辉三角”的规律解答即可； （4）根据规律得出，可得除以的余数为，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，，验证如下： ． （2）解：的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， …… ∴的展开式有项，所有系数的和为， ∴的展开式有项，所有系数的和为． （3）解：由“杨辉三角”的规律得，． （4）解：由“杨辉三角”的规律得（、…是常数）， ∵能被整除， ∴除以的余数为， ∴再过天是星期四． 10．(1)7，2028； (2)（或）； (3)54 【分析】（1）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （2）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （3）根据（2）中规律计算各数，再合并同类项可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 以此类推，第个等式：； （3）解： ． 11．（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 12．(1)平方差 (2)7980 (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【详解】（1）解：由计算过程可得运用了平方差公式． 故答案为：平方差． （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 13．（1）大；大 （2）见解析 （3）当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查数字规律探索问题． （1）通过观察给定数据，发现和一定时，两数差绝对值越小积越大，差为0时积最大； （2）设两数为和，其和为定值，积为，分析b对积的影响； （3）利用周长固定下长方形面积与边长的关系，结合规律求解． 【详解】（1）解：观察数据：第一组和均为60，差绝对值分别为0，10，26，44，对应积900，875，731，416； 第二组和均为100，差绝对值分别为0，6，48，82，对应积2500，2491，1924，819． 差绝对值越小，积越大；差绝对值为0时积最大． 故答案为：大，大． （2）证明：设两数为和，其中a为定值，， 其和为定值，积为， 两数和为（定值）． 两数积为． ∵ 为定值，， ∴ 当b越小，越大； 当时，积最大． 故规律成立． （3）解：设长方形两条邻边长分别为和． 周长为， ∴ （定值）． 面积． 由规律，当即时，S最大． ∴， ∴． 答：当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $