2026年山东省泰安东岳中学中考数学预测卷

山东省泰安东岳中学2026年中考预测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（本题4分）原始部落对大自然的崇拜是图腾产生的基础．运用图腾解释神话、古典记载及民俗民风，是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）长江、黄河是我国的母亲河，已知长江的长度约为，黄河的长度约为，那么长江与黄河的总长度用科学记数法表示约为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）下面是四张以我国“四大发明”为主题的纪念卡片，将它们背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同）．若从中随机抽取两张，求抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 8．（本题4分）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以C为圆心，长为半径画，交于点D；②分别以O，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交于点E，交于点F，若，，则的长为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 9．（本题4分）为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 10．（本题4分）在平行四边形中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 12．（本题4分）对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 13．（本题4分）如图，一个正六边形和一个正方形有一个公共顶点E，且顶点A、B、C、D在同一直线上，若正六边形的边长为2，则正方形的面积为______． 14．（本题4分）如图，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面4个结论：①；②平分；③；④的周长为10．上述结论中，结论正确的序号有______． 15．（本题4分）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 17．（本题8分）先化简，再求值：，其中，． 18．（本题9分）如图，在矩形中，点E在边上，，，垂足为F．求证：． 19．（本题9分）如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 20．（本题10分）赤道式日晷是中国古代经典计时仪器，如图1，晷盘与赤道平行、晷针垂直盘面，针体倾角恰合当地纬度，精准利用日影测时，尽显古人天文智慧与高超造物技艺．小彤想要了解某景区中一座日晷的北极端晷针长度和晷针针尖离地面的高度，他进行了如下的实地测量： 【数据采集】如图2，测得晷针与水平线的夹角α是度，米． 【数据应用】晷针、晷盘盘面侧面所在直线，以及晷针针尖A到晷盘中心B的水平距离，均在同一平面内． 请根据上述数据，解决下列问题： (1)求该晷针北极端的长度（结果保留根号或精确到）； (2)求晷针的针尖A到地面的垂直高度（结果保留根号或精确到）． （参考数据，，） 21．（本题10分）为了提高学生的防溺水意识，我校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．现随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有成绩均不低于分）组成一个样本，将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理，如下表． 组别 成绩分 人数 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 其中组具体成绩的样本数据分别为 ． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：______，______，补全条形统计图． (2)本次所抽取学生的竞赛成绩的中位数是______分． (3)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 22．（本题11分）如图，在中，，O为边上一点，以点O为圆心，长为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为6，求的长． 23．（本题12分）“爆竹声声一岁除，春风送暖入屠苏．”燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，小明在安全区域燃放一款名为“鸿运当头”的烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线． 【数学建模】以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面面上的B点． 【建立模型】 (1)求该抛物线的函数表达式： 【数据计算】 (2)小明点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为3米处，是否存在安全隐患，请说明理由； 【解决问题】 (3)设喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且抛物线的顶点都在直线上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点，设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时抛物线中a的取值范围． 24．（本题13分）综合实践课上，数学学习小组围绕正方形中的旋转变换开展探究活动，已知正方形中，，点E为边上一动点，点是射线延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点是点）． 【问题解决】 (1)如图①，过点F作，垂足为点G，若，则______，______； 【问题探究】 (2)如图②，设与边交于点，求线段的最小值； 【拓展延伸】 (3)如图③，连接，当时，求线段的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安东岳中学2026年中考预测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D B D D C B C 1．D 【分析】根据数轴上点的位置关系，通过点A表示的数以及A、B两点间的距离来确定点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴从数轴上可以看出点A到点B的距离是4个单位长度， ∵点B在点A右侧， ∴点B表示的数比点A表示的数大4，即． 2．A 【详解】解：A、它既是中心对称图形又是轴对称图形； B、它是中心对称图形，但不是轴对称图形； C、它是轴对称图形，但不是中心对称图形； D、它是中心对称图形，但不是轴对称图形． 3．D 【分析】先逆用乘法分配律计算，再根据科学记数法要求表示为，其中，n为整数． 【详解】解：． 4．D 【分析】根据二次根式被开方数的非负性、分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件： 二次根式的被开方数需非负，且是分式的分母，分母不能为0， ， 解得． 5．B 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：用A，B，C，D分别表示四张纪念卡片，随机抽取两张，共有，共6种等可能的结果，其中抽到的两张纪念卡片恰好是“火药”和“指南针”的结果只有1种， ∴. 6．D 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，故A错误． ∵，故B错误． 不是同类项，不能合并，故C错误． ，故D正确． 7．D 【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 8．C 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知是线段的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出的长，最后根据半径计算的长 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知，垂直平分线段， ，， 在中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 9．B 【分析】第一季度包含1、2、3三个月，需分别表示出每月产量，再根据第一季度总产量列方程． 【详解】解：∵一月份生产零件万个，平均每月增长率为， ∴二月份生产零件数量为 万个， ∴三月份生产零件数量为 万个， ∵第一季度共生产零件万个，第一季度总产量为三个月产量的和， ∴可列方程． 10．C 【分析】证明为等边三角形，利用等边三角形的性质证出，利用勾股定理求出的长，再证明，即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 11． 12π 【分析】先根据题意可知，，再根据解答． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ． 12． 【分析】先根据新定义的运算规则，将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式，结合方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0，解不等式即可得到t的取值范围. 【详解】解：根据定义运算， 将，代入得： ， 展开并整理得：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， 其中，，， ， 计算得：， ， 解得. 13． 3 【分析】根据多边形的外角即可求出,进而可求出的长度，最后根据面积公式即可求解． 【详解】解：∵六边形的外角和为， ∴， ∵, ∴, ∴正方形的面积为：． 14．①②③ 【分析】由垂直平分线的性质可判断①，由，得到，由正方形的性质得到，，进而得到，可判断②，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据正切的定义求解，即可判断③；过点作于点，证明，得到，，，证明，得到，设，则，根据勾股定理得到，得到，，即可判断④． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题可知，是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴，故③正确； 如图，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长，故④错误． 15．①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 16． 【分析】先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式组的解集为： 所以不等式组的解集是． 17．， 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再代入a、b值求解即可． 【详解】解；原式 ， 当，时，原式． 18．见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据矩形的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19．(1)， (2)9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 20．(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，利用余弦函数求解； （2）得出，利用正弦函数求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示， 由（1）得，且， ∴， ∴（米）． 21．(1)，，补图见解析 (2) (3)名 【分析】（）用组人数除以其百分比求出抽取的学生人数，即可求出的值，再补全条形统计图即可； （）根据中位数的定义解答即可求解； （）用乘以优秀的人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴共抽取了名学生， ∴组人数 ， ∴组人数 ， ∴补全条形统计图如下： 故答案为：，； （2）解：∵共抽取了名学生的竞赛成绩， ∴成绩由低到高排列，中位数为第和个数据计的平均数， ∵组人，组人，组人， ∴第、个数据分别是和， ∴中位数是； （3）解：（名）， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为名． 22．(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，则，由得到，得出，再根据圆周角定理得到，即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点D， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴； （2）解：∵的半径为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 23．(1)抛物线的解析式为； (2)不存在安全隐患，理由见解析 (3)． 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入解析式求出函数值即可判断； （3）将代入，求出；将代入，求出，由抛物线的顶点坐标为，且抛物线的顶点都在直线上，得，求得，得，由，得，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为，将点代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不存在安全隐患，理由如下： 当时，， ∴当时，火星已经落地，不存在安全隐患； （3）解：将代入， 得， 解得(为发射点，舍去）， ∴； 将代入， 整理得， 解得(为发射点，舍去），或， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点都在直线上， ∴， 整理得， ， 解得（此时抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去）或， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴或， 解得． 24．(1)9；； (2) (3)或 【分析】（1）先由旋转可知，，进一步证明，再根据可证明，进而得出，，由勾股定理即可求出， （2）设，，由得到，进而可得，利用二次函数的最值即可解决问题， （3）过点作，，垂足分别为、，设，则，根据（1）可得四边形是正方形，即，再在中，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明： 线段绕点E顺时针旋转，得到线段， ∴， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 在与中， ， ； ∴，， ∴， . （2）解：由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 整理得：， ∴当时，有最小值，. 即线段的最小值为. （3）解：如图③，过点作，，垂足分别为、，    设，则， 由（1）可得：，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：，， 即：长为或． 【点睛】这道题是典型的“旋转+最值+方程”综合题. 第一问用一线三垂直模型证明全等； 第二问用相似三角形的性质 + 二次函数求几何最值（函数法）；  第三问构造正方形 + 勾股定理列方程求解.  解题时，务必利用好第一问的全等结论，它是贯穿整道题的“金钥匙”. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $