5.2 简单的轴对称图形（第1课时 等腰三角形）课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版（2024） 数学 七年级 下册 第5章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形 作者编号：32200 目录 contents 01 学习目标 02 情景引入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 课后作业 作者编号：32200 学习目标 1.能识别等腰三角形与等边三角形，理解其轴对称性质与“三线合一”特点； 2.能熟练运用等腰三角形“等边对等角”、“底角相等”、“三线合一”等性质解决实际问题。 作者编号：32200 2. 生活中有哪些常见的等腰三角形的图案呢？ 1. 什么是等腰三角形? 有两边相等的三角形. 情景引入 作者编号：32200 你还记得等腰三角形的定义和它的基本要素吗？ 问题 基本要素：1. 相等的两边叫作腰 2. 另一边叫作底边 3. 两腰的夹角叫作顶角 4. 腰和底边的夹角叫作底角 A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 定义：两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 如图 AB=AC，△ABC就是等腰三角形 新知探究 作者编号：32200 等腰三角形是轴对称图形吗？对称轴是什么？ 在半透明的纸上，画一个等腰三角形，把它对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD. B A C D 等腰三角形是轴对称图形 从折叠的过程你能发现什么？ 思考 新知探究 作者编号：32200 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB＝AC BD＝CD ∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB＝∠ADC = 90° 从上面的折叠过程中，你还能发现它的其他相等的量吗? (AD平分顶角) (AD为底边的高) (AD为底边的中线) 除了两腰相等，等腰三角形还有什么性质？ 思考 新知探究 作者编号：32200 如图△ABC 中，AB = AC. 试说明：∠B=∠C. A C D B 方法一：作底边上的中线 作底边BC的中线AD，则BD=CD 在△BAD和△CAD中 所以△ABD ≌ △ACD (SSS) 所以∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) 等腰三角形两底角相等. 猜想 1： 新知探究 作者编号：32200 A C D B 方法二：作顶角的平分线 作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD 在△BAD和△CAD中 所以△ABD ≌ △ACD (SAS) 所以∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) 如图△ABC 中，AB = AC. 试说明：∠B=∠C. 等腰三角形两底角相等. 猜想 1： 新知探究 作者编号：32200 等腰三角形的性质： 性质1：等腰三角形是轴对称图形． 数学语言：如图，在△ABC中， 若AB＝AC，则△ABC是轴对称图形． 性质2：等腰三角形的两个底角相等． 数学语言：如图，在△ABC中， 若AB＝AC，则∠B＝∠C. 新知探究 A A B C B C l 作者编号：32200 A C B D 等腰三角形底边上的中线、高及顶角的角平分线互相重合. 由上述等腰三角形底角相等的过程 等腰三角形底边上的中线、顶角角平分线均为AD. 由折叠过程 AD⊥BC ，BD=CD，∠BAD=∠CAD 猜想2： 新知探究 等腰三角形底边上的中线、高及顶角角平分线互相重合. 作者编号：32200 等腰三角形的性质： 性质3：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴． 新知探究 作者编号：32200 (2)因为AB=AC，AD是中线， 所以___⊥___ ， ∠____ =∠____ AD BC (1)因为AB=AC，AD⊥BC， 所以∠____ = ∠____，___= ___ BAD CAD BAD CAD ①在△ABC 中，因为AB=AC，所以 ∠B=∠C ( ) 等边对等角 (3)因为AB=AC，AD是角平分线， 所以___ ⊥___ ，___ =___ BD CD AD BC BD CD ②在△ABC中， (“三线合一”) (“三线合一”) (“三线合一”) A C D B 数学语言： 新知探究 作者编号：32200 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线 l 是它的对称轴. 请在△ABC中画出以直线 l 为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形? A C D B 对应点 对应点 对应角 对应角 对应边 对应边 相等的线段：AB=AC，BD=CD； 相等的角：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA； 形状、大小相同的图形： △ABD，△ACD. 新知探究 尝试·思考 作者编号：32200 三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形. 等边三角形每条边上的中线、高线和对角的平分线互相重合. 等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都是60°. 等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴. 思考1 你能发现它的哪些特征？ 思考2 新知探究 作者编号：32200 等边三角形的性质： 1.等边三角形的三条边都相等. 2.等边三角形的内角都相等，且等于 60 °. 3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一. 注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质. 新知探究 作者编号：32200 1. 等腰三角形的顶角一定是锐角. ( ) 2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角. ( ) 3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. ( ) 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边. ( ) 5. 等边三角形的角平分线、中线和高都互相重合. ( ) 6. 等边三角形底边上的中线一定平分顶角. ( ) × √ √ 例 判断下列说法的正误： 新知探究 × × × 作者编号：32200 一、选择题 1. 在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝70°，则∠B 的度数为(　C　) A. 70° B. 45° C C. 55° D. 65° 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，则下 列结论不一定成立的是(　A　) A. AD＝CD B. ∠1＝∠2 C. AD⊥BC D. ∠B＝∠C A 课堂练习 作者编号：32200 3. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠D＝64°， AC＝BC，则∠E的度数是(　B　) A. 45° B. 26° C. 36° D. 64° B 二、填空题 4. 如图，△ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的平 分线.若AB＝5 cm，BD＝4 cm， 则△ABC的周长是 ⁠. 18 cm　 课堂练习 作者编号：32200 5. 如图，△ABC为等边三角形，BC⊥CD，AC＝ CD，则∠BAD＝ ⁠°. 6. 已知等腰三角形的一个角度数为72°，则其顶角度数为 ⁠. 135　 72°或 36°　 课堂练习 作者编号：32200 三、解答题 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，BC＝12. (1)求∠1的度数；. 解：∵AB＝AC， D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴∠1＝∠2＝ 90°－∠C＝60°. 课堂练习 作者编号：32200 (2)求∠CDE的度数. 解：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°. 由(1)知∠1＝60°， ∴∠ADE＝90°－∠1＝30°. ∴∠CDE＝∠ADE＋∠ADC＝30°＋90°＝120°. 三、解答题 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，BC＝12. 课堂练习 作者编号：32200 等腰三角形 三线合一 两底角相等 轴对称性 性质 等边三角形 性质 轴对称性，有三条对称轴 三个内角相等，并且每个内角都等于60° 三线合一 等腰三角形 课堂小结 作者编号：32200 基础题 知识点1　等腰三角形的性质 1. 若等腰三角形的顶角为100°，则它的底角度数为 (　C　) A. 100° B. 80° C. 40° D. 100°或40° 2. 等腰三角形的一边长为5，一边长为10，则此三角形的周长为(　C　) A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 C C 课后作业 作者编号：32200 3. 3.1　改为与高线结合求线段长度 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝6，则CD的长为 (　B　) 第3.1题图 B (教材随堂练习第2题改编) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 课后作业 作者编号：32200 3.2　改为判断角平分线 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点.下列条件中不．能 ． 说明 AD是△ABC角平分线的是(　D　) 第3.2题图 D A. BD＝CD B. ∠ADB＝∠ADC C. AD⊥BC D. AD＝BC 课后作业 作者编号：32200 4.如图，工程人员为了让电线杆垂直于地面，从电线杆DE的一点A点处向两侧拉等长的固定绳AB和AC，确定固定点B，C，则中点E为电线杆立杆的位置，工程人员这样做的依据是 ⁠ ⁠. 第4题图 等腰三角形 “三线合一” 课后作业 作者编号：32200 5. (教材习题第4题改编)如图，AB∥CD，点E在线段AD上，AB＝AE，连接BE，若∠ADC＝20°，则∠B的度数为 ⁠. 第5题图 80° 课后作业 作者编号：32200 6. (教材随堂练习第1题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上 的中线，CE⊥AB于点E. 试说明：∠BCE＝∠CAD. 第6题图 解：因为AB＝AC，AD是BC边上的中线， 所以∠B＝∠ACB，AD⊥BC， 因为CE⊥AB， 所以∠CEB＝∠ADC＝90°， 所以∠BCE＝90°－∠B，∠CAD＝90°－∠ACB， 所以∠BCE＝∠CAD. 课后作业 作者编号：32200 知识点2　等边三角形的性质 7. 等边三角形的对称轴有 条. 8. 如图，等边△ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠1＝25°，则∠2的度数为 ⁠. 第8题图 3 85° 课后作业 作者编号：32200 综合题 9. 已知△ABC为等腰三角形，其中两个内角的和是130°，则顶角的度数为(　D　) A. 30° B. 80° C. 30°或70° D. 50°或80° D 课后作业 作者编号：32200 10. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，CD平分∠ACB交AB于点D，延长CB到点E，使BE＝BD，连接DE，则EC的长为 ⁠. 第10题图 12 课后作业 作者编号：32200 11.李先生修建了如图①所示的玻璃大棚用于蔬菜种植，图②是其部分示意图，已知大棚两边AB＝AC，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G，李先生想给大棚顶端的区域都安装上玻璃，已知△CEG区域的面积为2 m2，则△ADE区域需要安装玻璃的面积为 m2. 第11题图 4 课后作业 作者编号：32200 12. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在线段CB的延长线上，以AD 为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE. 第12题图 (1)试说明：BD＝CE； 解：因为∠DAE＝∠BAC， 所以∠DAE＋∠EAB＝∠BAC＋∠EAB， 所以∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中， 所以△DAB≌△EAC(SAS)， 所以BD＝CE； 课后作业 作者编号：32200 (2)若∠BCE＝26°，求∠ACB的度数. 解：因为AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB，因为∠ACE＝∠ACD＋∠DCE， 由(1)得△DAB≌△EAC， 所以∠ACE＝∠ABD， 所以∠ABD＝∠ACD＋∠DCE＝∠ABC＋∠DCE， 因为∠ABD＋∠ABC＝180°， 所以∠ABC＋∠DCE＋∠ABC＝180°， 因为∠BCE＝26°， 所以∠ACB＝∠ABC＝×(180°－26°)＝77°. 第12题图 课后作业 作者编号：32200 拓展提升 13. (教材性质的证明)历史上，有许多数学家对“等边对等角”这一性质 进行了说明.下面让我们对这一性质的说明进行探究. (1)如图①，古希腊数学家帕普斯将等腰△ABC“外化”出另一个相同的 △ACB，然后利用全等三角形来说明这一性质，请写出他的说明过程； 解：在△ABC和△ACB中， 所以△ABC≌△ACB(SAS)， 所以∠ABC＝∠ACB； 第13题图① 课后作业 作者编号：32200 (2)如图②，数学家欧几里得的部分说明过程如下，请补全说明过程. 分别在等腰△ABC两腰的延长线上取两点D，E，使得BD＝CE，并连接 CD，BE. 因为AB＝AC，BD＝CE， 所以AD＝AE. 在△ACD和△ABE中， … 第13题图② 解：补充过程如下： 课后作业 作者编号：32200 所以△ACD≌△ABE(SAS)， 所以CD＝BE，∠D＝∠E， 在△CBD和△BCE中， 所以△CBD≌△BCE(SAS)， 所以∠CBD＝∠BCE， 第13题图② 所以∠ABC＝∠ACB； 课后作业 作者编号：32200 (3)你还有其他说明方法吗？请试着说明. [此考法江西、河北等地中考已考查] 第13题图 解：有.过程如下： 如解图，过点A作BC边上的中线AD， 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD≌△ACD(SSS)， 所以∠ABC＝∠ACB(方法不唯一). 第13题解图 第13题解图 课后作业 作者编号：32200 谢 谢 大 家 下 次 再 见 作者编号：32200 $