专题1.4 解直角三角形同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展创新，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|单一知识点（三角函数定义、解直角三角形）|基础题型巩固运算能力，如选择2直接应用边角关系求边长| |能力提升|综合应用（几何图形结合、动态问题）|综合题型培养推理意识，如解答8结合四边形与直角三角形证明| |拓展培优|拓展创新（自定义概念、规律探究）|创新题型发展创新意识，如解答15自定义“正对”概念应用|

解直角三角形同步练习 好题冲关 基础达标 一、选择题 1.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,E在格点上，点C,D在网格线上.对于 下列两个结论： ①BD平分∠ABC;②DE∥AB. 下列说法正确的是() A.①对，②错 B.①错，②对 C.①②都错 D.①②都对 【答案】A 【详解】解：由图可知： tan∠ABD=2-1 42,tam∠DBE= 2,tan∠BDE< 2 ,∠ABD=∠DBE≠∠BDE, .BD平分∠ABC,DE≠AB, 故①对②错 2.如图，在4BC中，AB=0,BC=4,c0sB=30,则4C边的长度为() 10 B 1/55 A.3V2 B.√2 c.33 D.5 2 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键， 过点A作AD⊥BC于点D,根据cOsB=BD 求出BD,进而求出DC长，利用勾股定理求出 AB AD长，进而求出AC长. 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, B D 在R1△4BD中，BD=AB.cosB=V0x30 =3, 10 :AD=AB2-BD2= 1o)-32=1, :CD=BC-BD=4-3=1, :在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=VAD2+CD2=V2+1P=√5 3.图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图.机器人上半身CD与底座AB垂直， DG为屏幕支撑架，且DG∥AB,已知AC=CD=a,当∠CAB=a时，则支撑架DG到AB的 距离为() -B 图1 图2 A.a+asina B.a+acosa C.a+atana D.acosa 【答案】A 【分析】延长DC交AB于点H,利用锐角三角函数求出CH的长，再根据CD⊥AB可知D 到AB的距离为CH+CD,从而得出答案. 2/55 【详解】解：如图，延长DC交AB于点H, 由已知，DC⊥AB G D .∠AHC=90°， -B H 图2 在RtAACH中，AC=a、∠CAB=a, :'CH AC.sin CAB=a sin a, :DG∥AB、CD⊥AB, :支撑架DG到AB的距离为CD+CH=a+asina, 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,则∠A的正弦值是() c 5 【答案】c 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦值的计算，先利用勾股定理求出斜边AB的长，再 根据锐角正弦的定义计算即可得到结果， 【详解】：∠C=90°，AC=4,BC=3, ·由勾股定理可得AB=√AC2+BC=√4+32=5， :在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，∠A的对边为BC, ·sinA=BC、3 AB=5 5.如图1，在口ABCD中，∠A=60°，AB>AD,动点M从点A出发，沿折线AD→DC方 向运动，到达点C停止运动.设点M的运动路程为x,△AMB的面积为y,y与x的关系如 图2所示，则AB的长为() 3/55 yA D 5w3 2 y B A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【分析】先根据函数关系图象得出AD+DC=7,再由运动结合的面积的变化，得出点M和 点D重合时，△AMB的面积最大，其值为√5，进而建立方程求解，即可得出结论. 【详解】解：由图可知点M的运动路程为7，即AD+DC=7, :ABCD是平行四边形， .AB CD .AD AB=7, 设AD=a,则AB=7-a, 因为当点M运动到点D时，△AMB的面积为V5, 这时，过点D作DE L AB于点E, D AE 则DE=D.sin4= 2, x⑤ 2 >a7-a)=39 解得：a=2或a=5, AB>AD, .AD=2,AB=5 6.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，连接CD,过点D作 DE⊥AB交AC于点E,若BC=2,CD=√5，则CE的长为() 4/55 E D A. 3 B.2 D.3 2 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB,AD的长，利用勾股定理求 出AC的长，求出∠A的余弦值，进而求出AE的长，即可求出CE的长， 【详解】解：：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，CD=V5, :AB=2CD=25,AD=CD=5, ÷AC=VAB-BC=V25-22=4, .cos AC 4 25 AB 25 5 :DE⊥AB, .∠ADE=90°， .AF= AD 5 5 cosA2√52， 5 ·CE=AC-AE=4-53 22 7如图.在R△A8C中，mA=手∠4CB=90,AB=20,点D在边4C上，BD平分 ∠ABC.点E在边AB上，且CE⊥BD于点G,连接DE,则△DAE的周长为() C D B H A.12 B.14 C.16 D.18 【答案】C 【分】先根据正切定义得出C-手、再根据勾股定理求出4C,C,通过证 5/55 △EBG≌ACBG(ASA,△CBD≌△EBD(SAS)求得DE=DC,BE=BC=I6,从而求出 AE=4,最后根据△DAE的周长=AD+AE+DE=AD+DC+AE=AC+AE求出△DAE的周 长 【详解】解：在Ra48C中，am4-手，∠4CB=90,4B=20, .BC 4 AC 3' 令AC=3k,BC=4k,则AB=VAC2+BC2=5k=20, 解得：k=4,AC=12,BC=16, :BD平分∠ABC, :ZCBD ZEBD :CE⊥BD, ∠CGB=∠EGB=90°， BG=BG, △EBG≌△CBG ASA, ∴.EG=CG,EB=CB=16, BD=BD △CBD≌△EBD SAS), :CD=DE, AE=AB-BE=20-16=4, △DAE的周长=AD+AE+DE=AD+DC+AE=AC+AE=I2+4=16, 8.如图，直尺的宽MN为3cm,把含45°的三角板的直角顶点C置于直尺的边MD上，两直 角边与直尺的另一边交于点E,F,若AB的长为l4cm,当斜边AB与MD平行时，则AE的长 为() A、 A.4cm B.3√2cm C.6cm D.4√2cm 6/55 【答案】D 【分析】过点C作CH⊥EF于点H,则四边形MNHC是矩形，则CH=MN=3cm,证明 LA=∠B=45°，解直角三角形求出AC的长，再证明AB∥EF,得到∠CEH=∠A=45°， 解直角三角形求出CE的长即可得到答案。 【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥EF于点H,则四边形MNHC是矩形， A、 .CH MN =3cm :△ACB是等腰直角三角形，且点C为直角顶点， .LA=LB=45°， .AC=AB.cos A=72cm: :MD∥AB,MD∥EF, .AB∥EF, ∠CEH=∠A=45°， CH .CE= =3v2cm, sin∠CEH .AE=AC-CE=4W2cm· 二、填空题 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴，点B,C在x轴上且 位于y轴两侧.若其边长AB=6,LABC=60°，则点D的坐标为 D 【答案】(6,35 【分析】根据题意先求出OA,过点D作DE⊥x轴于点E,则AD∥BE,推出DE=OA即 可解答。 【详解】解：：在菱形ABCD中AB=6,∠ABC=60°，点A在y轴正半轴， 7/55 AB=AD=6,0A=AB-sin60°=6×5 35, 2 过点D作DE⊥x轴于点E,则AD∥BE, BO C ∴DE=OA=3V5, ·点D的坐标为(6,3V5) 10.如图，菱形ABCD的边长为12，sm∠BAC-,则对角线BD的长为 【答案】12 【分析】连接BD,交AC于点O,根据菱形对角线性质可得BD与AC互相垂直且平分，在 RtaA0B中，由sin∠BAC=2AB=l2可得0B=6,BD=2B0=2x6=12. 【详解】解：连接BD,交AC于点O, D C A B :四边形ABCD是菱形， ,BD与AC互相垂直且平分， sin ZBAC=BO 1 AB2,AB=12, 1 1 ∴.BO=二AB=二×12=6， 2 2 8/55 .BD=2B0=2×6=12 11,如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE,EF为折痕，AB=√万， LBAE=30°，折叠后，点B落在EC,边上的B处，点C落在AD边上的C处.则BC= A D 【答案】3 【分析】根据矩形的折叠证明△AEC,为等边三角形，解Rt△ABE求出AE=2,再由等边三 角形的性质以及折叠可得BC=BE+EC=BE+EC,即可求解. 【详解】解：：将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE,EF为折痕， .BE=B,E,∠B=∠AB,E=90°，EC=EC :∠BAE=30°，AB=V5, .BE=AB x tan∠BAE=1 .AE=2BE=2, :∠BAE=30°， 由折叠得，∠EAB,=30°， 又矩形ABCD中，∠BAD=90°， .∠B,AC1=90°-30°-30°=30°=∠EAB 又∠AB,E=∠AB,C1=90°，AB,=AB, △ABC,≌△AB,E(ASA, .AC=AE 又：∠EAC1=∠EAB,+∠B,AC1=60°， 9/55 △AEC,是等边三角形， .EC1=AE=2, .EC=EC1=2, .BC=2+1=3. 12.如图，在R△ABC中，∠C=90,AD平分∠BAC,交BC于点D,m∠C4D,则 BC AC D B 【省】 【分析】本题主要考查解直角三角形、相似三角形的判定及性质、一元二次方程等，过点 D作AB的垂线，交AB于点E,设CD=I,DB=x,可求得AC=2,CD=DE=I,结合 AC AB DE BD ,可得2_V4+1+,变形之后解方程，可求得DB的长度。 x 【详解】解：如图所示，过点D作AB的垂线，交AB于点E. D B 设CD=1,DB=x, :tan∠CAD=CD-1 AC=2. :AD平分∠BAC,∠C=∠DEA=90°， ∴.CD=DE=1. 10/55 在Rt△ABC中， AB=4C2+BC2=4+(1+x) :LC=∠DEB,∠B=∠B, .△BACn△BDE. :AC、AB DE0即 2-4+1+ 变形，得 3x2-2x-5=0. 解方程，得 5 x=3’6=-1 .nc .BC 4 AC 3 三、解答题 13.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,DE为△ACD边上的中线. B D C (1)若∠EDA=3∠BAD,求∠C的度数： (2)若tan∠EDA=4,AB=6,求点A到BC的距离. 【答案】(1)22.5° 2)24v17 17 【分析】(1)根据直角三角形的性质得到DE=AE,进而得到∠BAC=4LBAD,再根据 ∠C=∠BAD求解即可； 11/55 2》易得m∠ED1=an∠E4D-光设0=，则cD=4,证明△ACDn△BC4,进 而得到DCD AB AC 从而求出4C的长，再根据勾股定理求出BC的长，利用AD=4BxAC求 BC 解即可 【详解】(1)解：：AD⊥BC, ∠ADC=90°， :DE为△ACD边上的中线， :DE=AE, ∠EAD=∠EDA=3∠BAD, :∠BAC=LBAD+∠DAE=∠BAD+3∠BAD=4∠BAD=90°， ∠BAD=22.5°， :∠DAE+∠C=90°、∠DAE+∠BAD=90°， .∠C=∠BAD=22.5°： (2)解：由(1)知∠EAD=∠EDA, tan∠EDA=tan∠EAD=CD =4, AD 设AD=x,则CD=4x, :∠BAC=∠ADC=90°、∠ACD=∠BCA, △ACDn△BCA, .4D_CD AB AC 即=4 6 AC' :AC=24, 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=√AB2+AC2=V62+242=6√7， 4D=AB×AC=6×24_24V7 BC 6W17 17 即点A到BC的距离为247 17 14.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若c=10,∠A=60°，求a,b的值； 12/55 (2)若a=8√5，b=8V5,求∠A,∠B和c的值. 【答案】(1) a=5V3,b=5 (2) ∠A=30°，∠B=60°，c=16V5 【分析】(1)先根据sin60°=a求出a,再根据勾股定理求出b=5; 10 (2)先根据勾股定理求出。=165，再根据a∠4-号求出∠4，进而得出答案 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠A=60°，c=10, sin∠A=a c 即sin60°=a 10 解得。=5 x10=5V5. 根据勾股定理，得a2+b2=c2, 即(5V3)2+b2=102, 解得b=5; (2)解：根据勾股定理，得a2+b2=c2, 即(85)2+(85)2=c2, 解得c=165. 在Rt△ABC中，a=8V5,b=8V15, .tan∠A= a 85_5 b8V153 则∠A=30°， .∠B=90-30=60 15.学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯 一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之 间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sd).如图，在 13/55 BC中，AB=AC,顶角4的对记Ea4,这时sdA边-容易知道一个角 的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°的值为() A B.1c.5 D.2 (2)对于0°<A<180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是-： @)已知cos4(,其中∠A为锐角，求sad4的值 【答案】(1B (2)0<sadA<2 3) 5 【分析】(1)根据正对的定义得出顶角为60°时，三角形为等边三角形，即可求解； (2)求出∠A接近0°和180°时等腰三角形底边和腰的比即可； (3)在4BC中，∠ACB=90,cos4=行在AB上取点D,使D=4C,作DH上AC, 4 H为垂足，根据余弦的定义设AD=4k,AB=5k,由勾股定理求出BD=3k,进而求出 CH=4k,根据勾股定理求出CD=40k,最后根据正对的定义即可求解。 5 【详解】(1)解：根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形的底角为60°，则三角形为 等边三角形， 则sad60°=底边=1. 腰 (2)解：当∠A接近0°时，等腰三角形的底边接近0，故sadA接近0， 当∠A接近180°时，等腰三角形的底边接近于腰的2倍，故sadA接近2， 故对于0°<A<180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是0<sadA<2, 14/55 4 (3)解：如图，在ABC中，∠ACB=90°，cosA= 在AB上取点D,使AD=AC,作DH⊥AC,H为垂足，如图： B D 令AD=AC=4k，AB=5k,则BC=VAB2-AC2=V5k)2-(4k)2=3k, 则sinA=BC_3 AB5 4D,c0s1=l-4 又：在aADH中，∠4HD=90,sinA=DH=3, AD 5 .DH=AD.sin A=4k×2= 4_16k, x3-12k,AH=AD.COsA=4kx 55 55 在R△CDH中，CH=AC-AH=4k-1Sk=4k, 5 5 故CD=CH2+DH 传可 在△ACD中，AD=AC=4张，CD=4Dk,由正对的定义可得： sadA=CD 4J10k 5 V10 AD 4k 能力提升 一、选择题 1.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移aa>0)个单位长度，再绕原点按 逆时针方向旋转O角度，这样的图形变换叫做图形的p(α，)变换.如：点P(2,1按照 p(1,90)变换后得到点P的坐标为-2,2)，则点Q(1,-1)按照p1,150)变换后得到点g的 坐标为() 周〔9周cB9日9 15/55 【答案】B 【分析】根据新定义的变换规则，先对点Q作平移变换，再结合旋转的性质，利用三角函数 计算旋转后点的坐标，即可得到答案. 【详解】解：如图，作QC⊥x轴于点C, g 根据题意，点Q先向上平移1个单位得到点A1,0),再绕点0逆时针旋转150°得到点Q, .OQ'=0A=1,∠A0Q'=150°， ∠Q0C=180°-∠A0Q'=30°， 在RIACO0中，0C=0Q'·c0s∠Q0C=1×cos30°= g0=00'.sin∠00c=1×sin30°=2 1 V31 点Q的坐标为 22 2.如图，在正方形ABDE中，连接AD,将含30°的三角板放在如图ABC的位置上， ∠C=30°，AB=1,将三角板ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置，旋转角是一个锐 角，并且使A'C'∥AD,A'C'交BC于点F,求BF的长是() A.6 B.v6 c. 2 D.V6-√2 2 【答案】B 【分析】作BG⊥A'F,根据正方形的性质得∠ADB=45°，再根据平行线的性质得 ∠A'FB=∠ADB=45°，然后根据旋转的性质得A'B=1,∠BA'C'=60°，接下来解直角三角形 16/55 求出BG=3 BG ,最后根据sin∠BFG= 得出答案。 BF 【详解】解：过点B作BG⊥A'F,交A'F于点G, :四边形ABDE是正方形， ∠ADB=45°. :A'F∥AD, .LA'FB=∠ADB=45°. 根据旋转的性质得AB=A'B=1,∠BA'C'=LBAC=90°-30°=60°， 在RtAA'BG中，sin∠BAG=BC, A'B' 即sin60°=BG 1 解得8G= 2 在Rt△BFG中，Sin∠BFG= BG 3 BE ，即 in45°=2' BE √5 解得BF=2 6 2-2 2 B B,如图，在平面直角坐标系中，四边形40CB为菱形，n∠A0C,且点A落在反比例 函数y=3上，点B落在反比例函数y=(k≠0上，则k=() X A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与菱形，正切值的计算，掌握待定系数法求反比例函数解析 17/55 式，支形伯性质，正切值的计算是关能，根据正切值的计算符到侵，小， 由勾股定理，菱 形的性质得到O1=AB=BC=OC=再证明RaA0E≌R1:BCF(HL,结合题意得到 B(4,2,运用待定系数法即可求解 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F, F x :tan∠AoC=AE-4 OE3' 设AE=4a,0E=3aa>0), .A(3a,4a, :点A落在反比例函数y=3上， 3 .4a= 3a 解得，a=2 1 (负值舍去)， 2 ∴0A=VOE2+AE2 +22= 5 :四边形AOCB是菱形， 0A=AB-BC-OC=5 AB‖OC, :AE=BF=2, 又∠AE0=∠BFC=90°， .RtAAOE≌RtaBCF HL, :CF=0E=2 18/55 53 .0F=0C+CF=。+。=4, 22 B(4,2, :点B落在反比例函数y=(k≠0)上， .k=4×2=8, 故选：C. 4.如图，D为等边ABC的边BC的中点，E,F分别在边AB,AC上，满足AE=CF.设 EF的中点为M,线段AD,EF相交于点N,若AB=2,则以下结论错误的是() B D A.MB+MC的最小值为√万 B.MB-MC的最大值为V3-1 C.NB+NC的最小值为√7 D.NE-NF的最大值为√5-1 【答案】D 【分析】以D为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过E、F分别作EG⊥BC 2%gg)】 1 ,FH⊥BC,垂足分别为G、H,则LBGE=∠CHF=90°，然后求出E 2m 然后根据轴对称性质，两点 之间线段最短，二次函数的性质等知识逐一排除即可. 【详解】解：：D为等边ABC的边BC的中点， AD L BC,BD=CD=BC,AB=BC=AC=2.ZABD=ZACD=ZBAC =60 .∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD=1, :AD=VAB2-BD2=V22-12=V5,∠BAD=∠CAD=30°， 如图，以D为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过E、F分别作EG⊥BC, 19/55 FH⊥BC,垂足分别为G、H,则LBGE=LCHF=90°， M B B G O(DH C .∠BEG=∠CFH=30°， 设AE=CF=m(0≤m≤2)，则BE=AF=2-m, 在R△8EG中.BG=BEsn30=2-网×对1- , EG-BEcOs30=(2-m)xm 2 2 同连可得：CH:,H=5n 2m, 0-0m-c-1-,0a-oc-ca1- , :M为EF的中点， .M 11m3 22m,2 “M点在y=5上运动， 2 设直线EF解析式为y=c+b, mk+b=5 1 m [k-/3-3m 2 m 6-m-+ 直线F解所式为y-5-5m+[m-+刊小， 当x=0时，y=5[m-+] 20/55 a[a-+明 A、如图，作点B关于y=V5对称点B,连接BB',B'C,则B'(-1,5, 3 B :MB MB', MB+MC=MB'+MC≥B'C, ·MB+MC的最小值为B'C=V-1-+V3-0=V万，故该选项正确，不符合题意； B、要使MB-MC最大，则需MB最大，MC最小， :M点在y=5上运动， 2 当M在AC上时，则有MB-MC最大， 此时，如图，C与F重合，M为4C中点，则MC=4C=1, AK(N(E) M OD C(F)去 :ABC是等边三角形， BM⊥AC, ∠BMC=90°， MB=VBC2-MC2=V22-12=√3， .MB-MC的最大值为√3-1，故该选项正确，不符合题意； C、由上得AD垂直平分BC, 21/55 .NB NC, :m-+小 当m=1时，底N的线坐标有最小值为气，此时州0罗 2 .NC最小值为 0-12+ 2 ·NB+NC的最小值为万+V万 =√万，故该选项正确，不符合题意； D、如图，当B与E重合，NE最大值为2，F与N重合时，NF最小值为O, AK(F)(N) M BE OD) ∴NE-NF的最大值为AB=2,故该选项错误，符合题意， 5.如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上，连接DM,CN, 点P,Q分别为CN,DM中点，若VCM=BN, 兴甘则治的能为() A D P B M A号 B.5 c. D. 2 6 8 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用三角形中位 线定理结合正方形的性质构造辅助线，是解题的关键.先通过赋值法确定正方形边长及相关 线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形对角线的45°特殊角 22/55 构造直角三角形，最后用勾股定理求出PQ的长度，进而得到P巴的值. AB 【详解】解：如图，取DC中点为E,连接PE、QE, A N B M 设CM=1, CM 1 CM=BN BC=3' :AB=AD=DC BC=3,BN=2, :BD=√BC2+CD2=3√2， DN=2√2， :Q、E分别是DM、DC的中点， 0e∥cw且@e=cw- ∴.∠DEQ=90°， 又，P、E分别是CN、DC的中点， :PE∥BD且PE=二DN=√2， 2 ∠PEC=45°， .∠PEQ=45°， 过点P作PH⊥EQ交EQ延长线于点H, “△PHE为等腰直角三角形， :PH HE PE.sin 450=1, e=E-Ql号 在Rt△PHQ中， PO=PH2+HO2= 5 :鉴-5 AB 3 6 23/55 故选：C. 二、填空题 6.将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接AB,则tan∠I=一 【答案】 3 5 【分析】过E作EM⊥BD交BD的延长线于点M,证明△ACE≌△BDE,得CE=DE;设正 六边形的边长为2，由正六边形的性质及解直角三角形，求得DM,EM即可. 【详解】解：过E作EM⊥BD交BD的延长线于点M,如图， :两个正六边形是相同的， .AC=CD=BD,∠ACE=360°-2×120°=120°=∠BDE, :∠AEC=∠BED, .△ACE≌△BDE(AAS), :CE =DE 设正六边形的边长为2，则DE=1,BD=2, ∠MDE=180°-∠BDE=60°， DM DE cos609-EM DE sin 60=V3 2 :BM=BD+DM-2 “tan∠1=ME=V55-5 BM225 D B 24/55 7.如图，菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°，E是BC的中点，P是对角线BD上的一 个动点，连接PC、PE,则PE+PC的最小值为 B E 【答案】25 【分析】连接AE、AC、AP,由菱形的性质容易证明ABC是等边三角形，从而计算出 AE=25,由对称性可得PA=PC,则PE+PC=PE+PA≥AE,因此当A、P、E三点共 线时，PE+PC取得最小值2√3 【详解】解：如图，连接AE、AC、AP, D B :四边形ABCD是菱形， .∠ABC=180°-∠BAD=60°，AB=BC=4, ·ABC是等边三角形， :E是BC的中点， .AE⊥BC, 在RIABE中，AE=AB·sin∠ABC=4×sin60°=2V3, :点A和点C关于BD对称， .PA=PC, .PE+PC=PE+PA≥AE, ,当A、P、E三点共线时，PE+PC取得最小值AE=25. 三、解答题 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,过点D作DE⊥BC于点E,F是CD的中点，连 接AF交DE于点G,连接EF,EF=AB. 25/55 B (1)求证：四边形ABCF是平行四边形； (2)若AG=DG,∠ADF=75°，CE=2,求AD的长. 【答案】(1)见解析 2V6 【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EF=FC=】DC,进而得 、 到AB=FC,即可证明四边形ABCF是平行四边形； (2)根据平行四边形的性质得到AF∥BC,进而求出∠AGD=90°，由等边对等角得到 ∠DAG=∠ADG=45°，进而得到∠GDF=30°，根据30度角的性质求出CD=2CE=4,进 而根据三角函数计算即可. 【详解】(1)证明：：DE⊥BC, ∠DEC=90°， F是CD的中点， .EF=FC=DC EF AB, :AB I CD :四边形ABCF是平行四边形： (2)解：：四边形ABCF是平行四边形， AF‖BC, :∠DGF=∠DEC=90°， ∠AGD=90°， AG=DG, 26/55 ·∠DAG=∠ADG=45°， :∠ADF=75°， :∠GDF=∠ADF-∠ADG=30°， 在Rt△DEC中，CE=2,∠CDE=30°， .CD=2CE=4, :F是CD的中点， DF=2, 在Rt△DGF中，∠GDF=30°，DF=2, :DG=DF.cos∠GDF=V5, 在RtAADG中，∠ADG=45°，DG=√5， DG “AD= =6. coS∠ADG 9.如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点M是AB的中点.动点P从点 A出发，以每秒1个单位的速度沿A→C→B运动，同时动点Q从点A出发，以每秒。个 单位的速度沿A→B运动.连接PM,CQ,设运动时间为x秒(0<x<7).若△PAM的面 积为AB长的号与A0的长之比为5. y 8 6 5 4 3 M B 012345678x 图1 图2 (1)请直接写出y,y,分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出，y2的图象，并分别写出函数，y2的一条性 质； 27/55 (3)结合函数图象，请直接写出当y,≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不 超过0.2). 3 0<x≤4) 【答案】(1)y= 4 八=40<x<7列 -x+7(4<x<7) (2)函数图象见解析，当0<x≤4时，y随x的增大而增大，当4<x<7时，y随x的增大而 减小；当0<x<7时，随x的增大而减小： 3)2.3≤x≤6.4 【分析)(1)利用购股定理求出AB5,则可得到sin A-sin B,AM,根据题 5 可求出，=40<x<7),再分两种情况：当0<r≤4时，点P在线段4C上（不包括点4， 包括点C),当4<x<7时，点P在线段BC上（不包括端点），过点P作PH⊥AB于点H, 解直角三角形求出PH的长，限据另=M,PH,求出y即可： (2)根据(1)所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； (3)根据函数图象找到y的图象在，的图象上方或二者的交点处时自变量的取值范围即可 得到答案。 【详解】(1)解：：在ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3, AB=VAC2+BC2=V42+32=5, AB5sinB=4C、4 sin 4=BC_3 :点M是AB的中点， 山运意得，0-， :4B长的号与40的长之比为2， ×5 _40<x<7): 5 如图所示，当0<x≤4时，点P在线段AC上（不包括点A,包括点C), 过点P作PH⊥AB于点H, 28/55 ò A H M B 在Rt△APH中，AP=x,sinA=PH_3 AP 5 3 :PH=x, 5 y4MpH×-x 225-4 如图所示，当4<x<7时，点P在线段BC上（不包括端点）， 过点P作PH⊥AB于点H, A M 在RtBPH中，BP=4+3-K=7-x,inB=PH=4, BP5 PH=47-x, y=4MPH=×47-到=-+7； 2 225 3 2x0<x≤4) 综上所述，乃= -x+74<x<7) (2)解：函数图象如下所示： 29/55 8765 4 3 2 123456号8x 由函数图象可知，当0<x≤4时，y随x的增大而增大，当4<x<7时，y随x的增大而减 小；当0<x<7时，随x的增大而减小； (3)解：由函数图象可知，当y,≥y2时x的取值范围为2.3≤x≤6.4. 1O.在Rt△ACB中，E是△ACB内一点，且满足AE⊥CE,∠CAE=LCBE,延长BE交 AC于点D D D B 图1 图2 (1)如图1，①证明：BE=DE;②若BD平分∠CBA,求证：BD=√2AD; (2)如图2，若AD=BD,求sin∠DEA的值 【答案】(1)①见解析：②见解析 (2)√5-1 【分析】(1)①根据同角（等角）的余角相等得出∠CAE=∠BCE,∠ECD=∠EDC,再 由等角对等边得出CE=BE,CE=DE,等量代换即可得证；②由角平分线的性质结合等 量代换证明ADEBDA,得到D=DE,结合DE=BD,即可得证， BD DA ) (2)作DF⊥AE,垂足为F,设AD=BD=x,CD=y,证明AAEC△BCD,根据相似 三角形的对应边成比例列式，结合解一元二次方程得到D的值，证明△ADFa4CE,再 CD 30/55 次根据相似三角形的性质得 DF 的值，最后在RIDFE中，利用锐角三角函数的定义求解 CE 即可 【详解】(1)证明：①：AE⊥CE,∠ACB=90°， LAEC=∠ACB=90°， :∠CAE+∠ACE=LACE+∠BCE, :Z CAE ZBCE ZCAE ZCBE, :∠BCE=∠CBE, :CE =BE :∠ECD+∠BCE=∠EDC+∠CBE=90°， :∠ECD=∠EDC, :CE DE, :BE DE ②.BD平分∠CBA, :∠CBE=∠ABD, :∠CAE=LCBE, :ZABD ZCAE, :∠ADE=∠BDA, .△ADE∽△BDA, .AD DE BD DA' :AD2=BDDE, 由①知，BE=DE, :DE=IBD, 2 AD2=。BD2, 2 ..BD=2AD (2)解：如图，作DF⊥AE,垂足为F,设AD=BD=x,CD=y, 31/55 B 在Rt△BCD中，DE=BE, :CE=IBD, 2 :∠CAE=∠CBE,∠AEC=∠BCD=90°， AAEC∽△BCD, 器52 1 xx=(xtyy. .x2=2xy+2y2, -20 2 y =3,解得=1+V3或=1-5（负值舍去）， 即0=1+5， CD DF⊥AE,CE⊥AE, .DF CE, AADF△ACE, DF ADAD (1+5)CD CE AC AD+CD (1+3)CD+CD CE=DE, &在R1aDFE中，sin∠DEA=DF=D DE CE =5-1 一拓展培优 一、选择题 32/55 六 1.如图，在直角坐标系中，A是y轴正半轴上一点，且OA=1,以OA为直角边作RtAOA4 ,使∠A0A,=60°；再以OA,为直角边作Rta0A,A2,使∠A,OA2=60°；再以OA2为直角边作 Rt△OA,A,使∠A,OA=60°；再以0A,为直角边作Rta04,A4,使∠A,OA4=60°；依此规律， 得到Rta0A02A23,则点A23的坐标为() A A.（V5×2202,22022 B.(0,223） c.（V3×2202,-2202 D.（V3x22023,2023） 【答案】A 【分析】通过解直角三角形，依次求4，A,A,A,各点的坐标，再从其中找出规律，便 可得结论 【详解】：360°÷60°=6， 点A在y轴正半轴上， 如图，分别过点A2,A作x轴的垂线，垂足为G,H, 33/55 :0A=1,∠0A4=90°， As A 44 A3 44=0Aitn LAOA=.04=04 =2， coS∠AOA 同理得，AA2=2V5,0A2=4,A,41=4V5,0A=8,444=8V3,0A4=16, 则An14n=V3×2”-,0An=2”; :S06-046=0444, 1 2 x4=25, :∠A0G=30°， .∠A,0G=30°， 40-04=2. 同理得，x4=-16V5,A,H=16: :4的坐标为(5,1,4的坐标为(25，-2，A的坐标为(0，-8)，A的坐标为-85，-8， 4的坐标为-165,16)，A的坐标为(0,64)，4的坐标为(64V5,64, 34/55 由上可知，A点的方位是每6个循环， 与第一点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为√5×2-，其纵坐标为2， 与第二点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为√×2-1，纵坐标为-2-， 与第三点方位相同的点在y轴负半轴上，其横坐标为0，纵坐标为-2”， 与第四点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-√万×21，纵坐标为-2， 与第五点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-√5×2，纵坐标为2-， 与第六点方位相同的点在y轴正半轴上，其横坐标为0，纵坐标为2-1， :2023÷6=337…1, .点A23的方位与点A的方位相同，在第一象限内，其横坐标为√5×2223-1=√5×22022，纵 坐标为22023-1=2202 42023V5×202,202） 2.如图，正方形ABCD的边长为6，F为BC边上一点且CF=2,连接DF,E为AB的中 点，过点E作EN⊥DF,交BC的延长线于点N,分别交DF、DC于点M、P,连接MC、 EF,则下列结论：①cN=3:②sin∠FEM=0 ;③CM∥EF;④四边形FCPM的面积 10 9 S边形CPW=4 其中正确的有() A.①③④ B.②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理， 【详解】解：正方形ABCD, .∠B=∠DCF=∠DCN=90°， :EN⊥DF, 35/55 ∠DFC=90°-∠N,∠BEN=90°-∠N,∠NPC=∠DPM=90°-∠N, .∠BEN=∠NPC=∠DPM=∠DFC, :正方形ABCD的边长为6，CF=2,E为AB的中点， .BE=3,BF=6-2=4, 3, 六EF=V3+4=5,tan∠DFC=CD ∴.tan∠NEB BN=3, BE .BN=9, CN=9-6=3,①正确： :CP∥BE, .△NCP∽△NBE, 品器g) 39 .CP=1, .DP=6-1=5, :DF=V22+62=2V10, 同理△DPM∽△DFC, DM DP CD DF' :DM=2, w-i而， :sin∠FEM=FM-O,②正确： EF 10 :CF=2,CN=3, :FN=5=EF, :EN⊥DF, .EM =MN, 点M是EN的中点，而点C不是FN的中点， .CM与EF不平行，③不正确： 36/55 :DP=5,DM=30, 、 2 Sow=5am-5am×6x2-x子0×而-？，④正确： 1 22 2 4 故选：C. 3.如图，已知正方形ABCD,延长AB至点E使BE=AB,连接CE、DE,DE与BC交于 点N,取CE的中点F,连接BF、AF,AF交于BC于点M且交DE于点O,则下列结论： ①EN=DN:②an∠CED-行：®S,aE=2S.r:@CX:MN:BM=31:2,其中正确的 结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质得出BC∥AD,AD=AB=BC=CD,从而可得 △BEW∽△AED,根据相似三角形的性质得出EN-B ,结合BE=AB,可得出EN=DN, DE AE 由此可判断①： 先根据正方形的性质得出LABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD,从而可得∠CBE=90°，根 据BE=AB,从而可得BC=BE,于是有∠BCE=∠BEC=45°，从而得出∠ECD=135°， CE:BC:VE4B,于是有CD=BC=2CE,再根据点F为CE的中点，得出 2 BF=EF= AB,BF平分∠CBE,从而可得CD=5 ,LCBF=45°，于是可求得 2 CE 2 ∠ABE,进而得出△ECD∽△ABE,根据相似三角形的性质可得出∠CED=∠GAF,进而 得出G为E中点，于是有FG=BG士GE)BE)AB,从面可求得an /CED,由此西别 断②： 37/55 1 先求得SBr=AB,再求得S△DCE=AB2，由此可得出S△DcE=2S△MBF，由此可判断③： 4 先证明A48M△4GF,从面可料兴8，结合FG=BG=GE=E=号B,可将出 pG-号8C,进而得出BM-c、AMc-号aC,于是有C分：设v=2,则 MC=4x,从而可得BC=6x,再证明△DCN0△BEN,从而可得BN-B CN DC ,结合 BE=BC,CD=BC,可得BE=CD,于是有N-BE=,从而可得CN=3r,再得出 CN DC MN=x,从而可得出CN:MN:BM=3:1:2,由此可判断④. 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， .BC∥AD,AD=AB=BC=CD, .△BEN∽△AED, :EN、BE DE AE :BE=AB, .EN BE 1 DE AE2 .DE =2EN EN=DN,故①正确； 如图，过点F作FG⊥AE于点G, D M G :四边形ABCD为正方形， .∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD, ∠CBE=90°， BE=AB, .BC=BE, .∠BCE=∠BEC=45°， ∠ECD=∠BCD+∠BCE=135°， 38/55 CE=√2BC=√2AB, .CD-BC-CE 2 :点F为CE的中点， Br=EF=CE=BC=9B,r平分LCE, 2 2 2 :.CD_BF ,∠CBF=1∠CBE=450, CE AB 2 2 ,∠ABE=∠ABC+∠CBF=135°， .∠ECD=∠ABE=135° .△ECD∽△ABE, .∠CED=∠GAF. :FG⊥AE,EF=BF,BF⊥CE, G为BE中点， FG=BG=GE=BE=LAB, 2 :tan∠CED=tan∠GAF=F FG FG 1 AG AB+BG 3FG3' 故②正确； :FG=,PG上4E, -1AB-FG-14B.AB-14B, SAAB 21 2 4 :四边形ABCD为正方形， AB∥CD,∠BCD=90°，CD=BC=AB, SADCE =2SAABF 故③错误； :∠ABC=90°，FG⊥AE, BC∥FG, .△ABM∽△AGF, :8M、4B FG AG' 39/55 1 又FG=BG=GE=BE=AB, 2 ABAB AB 2AB2 AG AB+BG AB+1 AB 3AB 3. 觉怨子 又BC=AB, BM 2 G 3, :BM=IBC, ：MC=2BC, 3 BM 1 ·Mc2 设BM=2x,则MC=4x, .BC=6x :AB∥CD, .△DCN∽△BEN, :距 CN DC' 又BE=BC,CD=BC, .BE CD, :BN、BE CN-DC-1. CN=8N=8C=3, :MN BN BM =x, .CN MN BM =3:1:2, 故④正确， 综上所述，正确的有①②④，共有3个， 故选：C 40/55 二、填空题 4.如图1，ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2,动点P以每秒1个单位长度的 速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP,设点P的运动时 间为t(s,DP2为y,当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有 以下四个结论：①AB=3;②当t=5时，y=1;③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿 BC-CA匀速运动时，两个时刻1,241<2)分别对应片和，若4+2=6，则y1>y2·其 中正确结论的序号是 tls 图1 图2 【答案】①②④ 【分析】由图知当动点P沿BC匀速运动到点C时，DP=7,作DE⊥BC于点E,解直角 三角形求出DE,BE的长，利用勾股定理求出CE的长，即可得到BC的长，即可判断①： 当t=5时，证明△ADP是等边三角形，即可判断②，当4≤t≤6时，且DP⊥AC时，DP2最 小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出y和⅓，进行比较，即可判断④. 【详解】解：由图知当动点P沿BC匀速运动到点C时，DP=7, 如图所示，过点D作DE⊥BC于点E, ABC是等边三角形， B E (P)C ∠A=∠B=60°，AB=BC=AC, DE=BD.sin B=√5，BE=BD·cosB=I, .EP =DP2-DE2 =2, 41/55 :AB=BC=BE+EP=3,故①正确； 当t=5时，点P的运动路程为1×5=5， 3<5<3+3=6, 此时点P在AC上，且PC=5-3=2,AP=1=AD, :∠A=60°， C :△ADP是等边三角形， .DP=AP=1, y=DP2=1,故②正确； 当4≤t≤6时，且DP1AC时，DP2最小， AD=1,∠A=60°， C DP=AD.sin60 2 :DP:最小为3，即y能取到2，故③错误， 4 动点P沿BC-CA匀速运动时， :t+t2=6,t<t2, :t<3,2>3,t3=6-4, 如图，当点P在BC上时（不包括点C),过点D作DH⊥BC于点H, D B PH 42/55 大 .BH BD.cos B=1,DH BD.sin B=3, :PH BH-BP =1-t, ∴y=DH2+PH2=+1-=t2-24+4: 如图所示，当点P在AC上时（不包括点C),过点D作DG⊥AC于点G, D G-4D-cos4-GD 2 G=4C-P-4G=3-6--3}, %=c4o侣j9） 段6小号 = =-24*4--3-4>0 y>y；故④正确： 综上所述，正确的有①②④. 5.如图，在ABC中，AB=8,BC=5,以AC为斜边作RtsACP,且有cosLCAP=4 连接BP,并延长BP至点Q,使得PQ=BP,连接AQ,则AQ的最大值为 43/55 ☆ 【答案】16 【分析】以AB为斜边作Rt△ABE,且使得LBAE=∠CAP,延长BE到F,使得EF=BE, 连接化，以，证明△PE”△C1B,利到瓷-侣-号期PG-:由三角形中位线定 理可得QF=2PE=8;证明AE垂直平分BF,得到AF=AB=8;根据AQ≤AF+QF,得 到当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，最大值为8+8=16. 【详解】解：如图所示，以AB为斜边作Rt△ABE,且使得LBAE=∠CAP,延长BE到F, 使得EF=BE,连接PE,QF, B :cos∠BAE=cos∠CAP=4 :=E AC AB :∠BAE-∠CAE=∠CAP-∠CAE, .∠PAE=∠CAB, .△PAE∽△CAB, .PE-AEA BC AB5' :BC=5, .PE=4 EF=BE,PO=BP, PE为△BQF的中位线， :OF=2PE=8; :EF=BE,∠AEB=90°，即AE⊥BF, .AE垂直平分BF, :AF AB=8; 44/55 :AQ≤AF+QF, 当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，最大值为8+8=16. 三、解答题 6.如图，在ABC中，∠ACB=90°，BC=4,AC=8,点P从点B出发沿线段BA以每 秒√5个单位的速度向终点A运动，当点P不与A、B重合时，过点P作PD⊥BC于点D, 将线段PD绕着点P顺时针旋转90°得到线段PM,连接DM,设点P的运动时间为t秒. D B (1)AB=-· (2)连接CM,当CM⊥AB时，则t的值为- (3)连接CM,CM所在的直线与边AB边交于点E,当△AEC为轴对称图形时，求出t的值， (4)点N为MD的中点，当点N落在ABC垂直平分线上时，直接写出t的值. 【答案】(1)4√5 a (3:的值为1或28-8V5 29 6的值为1月 【分析】(1)根据勾股定理求得结果； (2)解RtABCE和Rt△PEM,从而求得结果； (3)△AEC是等腰三角形：当AE=CE时，AE是Rt△ABE斜边的中线，作EF⊥PM于F, 可证明△EFP≌APDB,从而得出PE=PB,进一步求得结果；当AE=AC时，作MF⊥AB于 F,作CG⊥AB于G,解Rt△ACG,求得CG和AG,解Rt△PMF,根据△EFM∽△EGC列 出方程，从而求得结果；AC=AE情况不存在； (4)当N在BC的垂直平分线上时，作NR⊥BC于R,可求得DR=1,进一步得出结果； 45/55 当点N在AB的垂直平分线上时，连接BN,AN,作NE⊥BC,交BC的延长线于E,作 NG⊥PD,交AC于F,根据AN=BN列出方程求得结果；当点N在AC的垂直平分线上 时，点P在A点，不符合题意， 【详解】(1)解：∠ACB=90°， :AB=VAC2+BC2=V82+42=45: (2)解：如图1， M B 图1 :∠ACB=90°， 4B4V5=sinB=4C=825 .cosB=BC=4 5 AB=4N5=5 在RtaBCE中， BE=BC.cosB-4x5 55 在Rt△BPD中， PD=P8-sin B=51.25 -=2t. 5 在R1△PWE中，PE=B-PB=45-5,PM=PD=2,∠EPM=∠B. 5 由PE=PM·cos∠EPM得， 45-5=2.5 5 5 (3)解：如图2，作EF⊥PM于F, 46/55 A E :△AEC为轴对称图形 M B D 图2 ·AE=CE :ZA=ZACE :∠ACB=90°， LB=90°-∠A=90°-∠ACE=∠BCE, BE=CE=AB-号48=25 :△EBC是等腰三角形 ·LEBC=LECB PD⊥BC,EF⊥PM, :∠MPD=∠PDB=90 .MPI CB .LEMP=LECB=∠EPM=∠EBC △EPM是等腰三角形 ME=PE, 1 ∴.PF=MF=5PM=t. :BD=t, :BD PF. :∠EFP=∠PDB=90°，∠EPF=∠B △EFP≌△PDB(ASA). PE=PB=√5t, .BE=2√51， ∴25t=2V5, 47/55 六 .t=1; 如图3， FE C 图3 当AE=AC=8时， 作MF⊥AB于F,作CG⊥AB于G, CG=4C.sin4-AC-cosx 55 4G=2CG=16 :EG=AE-4G=8-165 5 BE=AB-AE =45-8,PB=5t, PE=BE-PB=4-8-V5t· 在Rt△PFM中，PM=2t,∠MPF=∠B, :FM 2t.sin B 2t. 254V5 t, 55 PF=2t·cosB= 25 :EF=PF-PE=25,-(45-8-5=751-45+8 5 5 :FM∥CG, .△EFM∽△EGC. :EF、FM EG CG 48/55 六 -4W5+84v5 7W5 8-16V5 、 85 5 5 1=28-8V5 29 综上所述：t=1或28-8V5 29 (4)解：如图4， RD B 图4 当N在BC的垂直平分线上时， 作NR⊥BC于R, B服=9c=2 :PM=PD=2t,∠MPD=90°， ·DM=V2PM. DN-IDM-PM. 2 2 ·DR=② DNPM=PM=1 -X 22 2 :BD=t, .BR=2t=2. .t=1; 如图5， 49/55 ECD B 图5 当N在AB的垂直平分线上时， 连接BN,AN,作NE⊥BC,交BC的延长线于E,作NG⊥PD于点G,交AC于F, .BN AN 在Rt△BEN中，BE=BD+DE=BD+NG=BD+PM=2L,EN=DG=PD=t. 2 :BN2=EN2+BE2=512. 在Rt△AFN中，AF=AC-CF=8-t,FN=CE=DE-CD=1-4-t=2t-4, .AN2=(8-t)+(2t-4)2. 5t2=(8-t02+(2t-4)2. 当点N在AC的垂直平分线上时，点P在A点，不符合题意， 综上所运：或子 7.问题提出：经过中心对称图形的对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分。 D 图1 图2 图3 (1)如图1，过点E作出平行四边形ABCD的面积等分线 问题探究： (2)如图2，在▣ABCD中，AD=6，,AB=4,∠B=60°.平面内一点F且满足∠AFB=90°， 求CDF面积的最小值. 问题解决： 50/55 (3)某城市规划一个形状为平行四边形ABCD的生态公园，如图3，其中AB=80m, AD=100m,且AC与边AB垂直.公园内要修建一条快速通道EF,使得E、F分别在平行 四边形边界上（可与顶点重合），并要求线段EF平分口ABCD的面积.为方便管理，从顶点 C向通道EF作垂线，垂足为P,并将△ADP区域设为游客休息区.为了使公园有更多空间 布置游乐设施，要求休息面积尽可能小，问：△ADP的面积是否存在最小值？若存在，求出 面积最小值及此时通道EF的长度；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)见解析 (2)6√5-4 3)存在；△ADP的面积最小值为1050m2,EF的长度为48V0m 【分析】(1)连接AC、BD交于点O,作直线EO分别交AD、BC于点G、F,此时直线 EF是平行四边形ABCD的面积等分线： (2)根据题意得，点F的运动轨迹为以AB的中点为圆心0,4B 长为半径的⊙0，过点0 作OH⊥DC于点H,过点B作BR⊥DC于点R,OH与OO的交点即为点F,在RtaBCR中， BR=BC.sin60°，进而得到OH=BR,则FH=OH-OF,利用 Scor=)CDFH求解即可， 2 (3)取AC的中点O和OC的中点M,作直线MP交AD于点N,交BC于点Q,在E、F 两点运动过程中，∠OPC=90°，则点P是在以M为圆心，OC为直径的⊙M上，当 MN⊥ND时，NP最小，此时△ADP的面积最小，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC长， 进而得到AM、CM长，证明△AMNn△ADC,则4MC,进而求出MN长，则 AD DC NP=MN-MP,从而求出△ADP的最小面积；利用“等面积法”求出NQ长，进而求出MQ、 POK,证明△4NACM0,进而得到O:%,求出COK,再证明△POC∽AFQP和 △NEP∽aOFP求出FP、EP长，利用EF=FP+EP进行求解即可. 【详解】(1)解：如图，直线EF即为所求： G 51/55 证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC、OB=OD, .∠GD0=∠FB0, 在△GD0和△FB0中， ∠GDO=∠FBO DO-BO ∠GOD=∠FOB :AGD0≌aFB0(SAS, .0G=0F, .S四边形4GFB=S40B+SB0F+S.4OG=SAOB+S,GoD+S。AOG=SA0B+S.AOE=S4ABD, 1 .S边形4GFB=SHBD=)SABCD, 2 即直线EF是平行四边形ABCD的面积等分线； (2)解：根据题意得，AB=4,∠AFB=90°， :以AB的中点为圆心0， AB 2 长为半径作△ABF的外接圆， D F ×4=2, 1 ∴.OA= H R :∠AFB=90°， :点F在⊙0上运动， :四边形ABCD是平行四边形， :AB /CD,AB=CD=4,AD=BC=6, 设点F到CD的距离为么，则S,方CDA, 当h最小时，CDF的面积最小， 过点O作OH⊥DC于点H,过点B作BR⊥DC于点R,OH与⊙O的交点即为点F,此时h 的最小值为FH, 52/55 AB CD .∠BCR=∠ABC=60°、BR=OH, 在RtABCR中，∠BCR=60°， BR=BC.sin60-6x 2 0H=3V5, .FH=OH-0F=3V3-2, ∴.S.cDr= cD-Fmx4、5-2=65-4, 即CDF面积的最小值为6√5-4； (3)解：如图，取AC的中点O和OC的中点M,作直线MP交AD于点N,交BC于点Q N :线段EF平分平行四边形ABCD的面积， B :线段EF过点O, :在E、F两点运动过程中，∠OPC=90°， :点P是在以M为圆心，OC为直径的⊙M上， 当MN⊥ND时，NP最小，此时△ADP的面积最小， :四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD=80、AD=BC=100、AD∥BC、AB∥CD、OA=OC, :AB⊥AC, LBAC=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√BC2-AB2=V100-802=60, 64c=0. 1 ∴.PM=CM=5OC=15,， 2 :AM=AC-CM=60-15=45, 53/55 AB‖CD, ,∠ACD=∠BAC=90°， :∠ANM=∠ACD=90°， .∠NAM=∠CAD, △AMN∽aADC, AM MN 即45、MN ·ADDC 100-80 MN=36, :NP=MN-MP=36-15=21、AN=√AM2-MN2=V452-362=27, 的最小面积为×AD×NP=x100x21=] SABCD=AB·AC=BC.NQ, N0=4B.AC_60x80-48, BC100 .MQ=NQ-MW=48-36=12、PQ=NQ-PN=48-21=27, .ADI BC, ∴.∠NAM=∠QCM, ∠AMN=∠CMQ, .aAMN∽aCMg, .AN_MN 2736 co MO 即c0五' .CQ=9, 在RtaPOC中，由勾股定理得：CP=VC02+P02=V92+272=910, :∠CPF=90°， ·LCPM=90°-LFCP=∠CFP, ∠CQP=∠CPF=90°， ∴.△POCOAFOP, “P0Fp,即9=90 .Co PC 27-FP FP=2710, 54/55 .ADI BC, ∴.∠NEP=∠QFP, :∠NPE=∠MPF, .∴NEPAOFP, :PW、EP 21 EP p0FP,即2727i0' EP=2110, .EF=EP+FP=21V10+27V10=48V10, 综上所述，△ADP的面积存在最小值，最小值为1050m2,此时通道EF的长度为(48√O)m 55/55 六 解直角三角形 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 2．如图，在中，，，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 3．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 5．如图1，在中，，，动点从点出发，沿折线方向运动，到达点停止运动．设点的运动路程为，的面积为y，y与的关系如图2所示，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．如图，在直角三角形中，，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 7．如图，在中，，，，点在边上，平分．点在边上，且于点，连接．则的周长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 8．如图，直尺的宽为，把含的三角板的直角顶点置于直尺的边上，两直角边与直尺的另一边交于点，若的长为，当斜边与平行时，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴，点B，C在x轴上且位于y轴两侧．若其边长，，则点D的坐标为______． 10．如图，菱形的边长为12，，则对角线的长为________． 11．如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 12．如图，在中，，平分，交于点，，则___________． 三、解答题 13．如图，在中，，于点，为边上的中线． (1)若，求的度数； (2)若，，求点到的距离． 14．在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 15．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作， 这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为（     ）    A．      B．    C．     D． (2)对于，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知，其中为锐角，求的值． 能力提升 1、 选择题 1．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，连接，将含的三角板放在如图的位置上，，，将三角板绕点B顺时针旋转到的位置，旋转角是一个锐角，并且使，交于点F，求的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，为等边的边的中点，，分别在边，上，满足．设的中点为，线段，相交于点，若，则以下结论错误的是（） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 5．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，点，分别为，中点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则______． 7．如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，连接、，则的最小值为__________． 三、解答题 8．如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 9．如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 10．在中，是内一点，且满足，，延长交于点． (1)如图，证明：；若平分，求证：； (2)如图，若，求的值． 拓展培优 一、选择题 1．如图，在直角坐标系中，是轴正半轴上一点，且，以为直角边作，使；再以为直角边作，使；再以为直角边作，使； 再以为直角边作，使；依此规律，得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为6，为边上一点且，连接，为的中点，过点作，交的延长线于点，分别交、于点、，连接、，则下列结论：①；②；③；④四边形的面积．其中正确的有（　　） A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，已知正方形，延长至点E使，连接、，与交于点N，取的中点F，连接、，交于于点且交于点O，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是______． 5．如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 三、解答题 6．如图，在中，，，，点P从点B出发沿线段以每秒个单位的速度向终点A运动，当点P不与A、B重合时，过点P作于点D，将线段绕着点P顺时针旋转得到线段，连接．设点P的运动时间为t秒． (1) ． (2)连接，当时，则t的值为 ． (3)连接，所在的直线与边边交于点E，当为轴对称图形时，求出t的值． (4)点N为的中点，当点N落在垂直平分线上时，直接写出t的值． 7．问题提出：经过中心对称图形的对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分． (1)如图1，过点作出平行四边形的面积等分线． 问题探究： (2)如图2，在中，，，．平面内一点F且满足，求面积的最小值． 问题解决： (3)某城市规划一个形状为平行四边形的生态公园，如图3，其中，，且与边AB垂直．公园内要修建一条快速通道，使得E、F分别在平行四边形边界上（可与顶点重合），并要求线段平分的面积．为方便管理，从顶点C向通道作垂线，垂足为P，并将区域设为游客休息区．为了使公园有更多空间布置游乐设施，要求休息面积尽可能小．问：的面积是否存在最小值？若存在，求出面积最小值及此时通道的长度；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $