专题1.4 解直角三角形讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

本初中数学讲义聚焦解直角三角形核心知识点，从概念（已知元素求未知元素）出发，梳理依据（勾股定理、两角互余、边角关系），再通过四种基本类型（两边或一边一角）的解法列表构建知识体系，配合思维导图形成清晰学习支架。 资料以思维导图强化几何直观，考点梳理培养抽象能力，典例中构造直角三角形求不规则图形面积等题型提升推理能力。课中辅助教师引导知识构建，课后通过对点练习帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

解直角三角形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 解直角三角形的概念 考点梳理 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 考点02 解直角三角形的依据 考点梳理 在中，，，的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：（两角互余）； （3）边角之间的关系：，，． 考点03 解直角三角形的基本类型及解法 考点梳理 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 两边 斜边c、一直角边（如a） （1）； （2）由，求； （3） 中，，，的对边分别为a，b，c，如图所示： 两直角边（a，b） （1）； （2）由，求； （3） 一边 一角 斜边c、一锐角（如） （1）； （2）由，得； （3）由，得 一直角边、一锐角（如a、） （1）； （2）由，得； （3）由，得 典例引领 考向01 解直角三角形的相关计算 【例1】如图，把两个三角板放在平面直角坐标系中，过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作于点D，设，可求出，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，结合点B和点C所在的象限得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 设， 在中，， ∴； 在中，， ∵， ∴， ∵过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象， ∴， 又∵点B在第二象限，点C在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 考向02 解非直角三角形 【例2】在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 考向03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例3】如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，∵， 在中，∵， . 则该空地的面积 故答案为：． 对点提升 【对点1】如图，在正方形中，，点是平面内一点且，连接，，当最小时，点到的距离为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据题意可知点在以点为圆心，2为半径的上运动，则，当点运动到时，，此时最小，延长交于点，过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出长，证明，进而得到，据此求出、长，进而求出长，在中，，再证明，进而得到，从而求出点到的距离长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 作以点为圆心，2为半径的， 点 是平面内一点且， 点在上， ， 当点运动到时，，此时最小， 延长交于点，过点作于点，过点作于点， 、， ， ， 在中，由勾股定理得：， 、， ， ， ， ， ， 、， ， 在中，， ， 、， ， ， 即， ， 即点到的距离为． 【对点2】如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 【对点3】如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是：作辅助线构造直角三角形． 作，在和中，根据特殊角三角函数，依次求出、、的值，即可求解； 【详解】解：过点作，交的延长线于点，    ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $解直角三角形知识则归纳与题型总结 思维导图 概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形 三边之间的关系：（勾股定理】 解直角三角形 依据 两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（两角互余） 边角之间的关系 已知斜边和一直角边 已知两直角边 基本类型及解法 已知斜边和锐角 已知一直角边和一锐角 培优讲练 考点01解直角三角形的概念 考点梳理 般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角 形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 考点02解直角三角形的依据 台 考点梳理 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)： 1/4 (2)两锐角之间的关系：∠A十∠B=90°（两角互余）： (3)边角之间的关系：sinA=是，cosA=冬，tanA=帚. 考点03解直角三角形的基本类型及解法 考点梳理 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边 和一锐角；④已知一直角边和一锐角.其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 斜边c、一 (1)b=Vc2-a2, 直角边（如 (2)由sinA=是，求∠A: a) (3)∠B=90°-∠A 两边 (1)c=Va2+b, Rt△ABC中，∠C=90o 两直角边 ∠A,∠B,∠C的对边分 (2) (a,b) 由tanA=号，求∠A: 别为a,b,c,如图所示： (3)∠B=90°-∠A 斜边c、 (1)∠B=90°-∠A: 锐角（如 (2)由sinA=是，得a=c.sinA; 一边 ∠A) (3)由cosA=,得b=c·cosA 角 一直角 (1)∠B=90°-∠A: 边、一锐角 (2) 由tanA=号，得b=; (如a、∠A) (3) 由sinA=是，得c=s 典例引领 考向01 解直角三角形的相关计算 【例1】如图，把两个三角板放在平面直角坐标系中，过点C的曲线为y=(x>0)的图象， 过点B的曲线为y=(x<0)的图象，则k与的关系是（) 2/4 A.k1+k2=0 6.飞=- 4V3 k 3 C.&=- 4V5 D.k 2W5 3 k2 3 2=0 考向02解非直角三角形 【例2】在ABC中，∠A=88°，∠B=50°，AC=7,则点A到BC的距离是() A. 7 B.7c0s420 C.7tan42° D.7sin 42 sin42 考向03构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例3】如图是一块四边形空地，该空地面积为 m2. 30m 50m )60° 50m 60C 20m 对点提升 【对点1】如图，在正方形ABCD中，AB=5,点P是平面内一点且AP=2,连接BP, BD,当∠DBP最小时，点P到BD的距离为 A D B 【对点2】如图，在△ABC中，已知AC=6,∠C=75°，∠B=45°，求AB的长 A B 3/4 【对点3】如图，在ABC中，∠B=30°，∠A=15°，当AC=10时，求BC的长.（说明： 解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法) B C 4/4 六