福建莆田第二十四中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高一上莆田二十四中期末考数学试卷，覆盖集合、函数、向量、三角函数等核心知识，解答题注重函数性质探究与实际应用，体现数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、函数概念、向量数量积|基础概念辨析，如第3题集合关系、第5题指数对数比较| |多选题|3|向量性质、三角函数图象|多角度考查，如第9题向量命题判断| |填空题|3|函数定义域、基本不等式|简洁考查关键能力，如第13题最值求解| |解答题|5|集合运算、三角函数求值、函数奇偶性与单调性|综合探究，如第19题抽象函数单调性证明，培养推理能力；第17题奇函数解析式，提升数学表达|

2025-2026学年高一上莆田二十四中期末考 一、单选题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，若，则实数a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 4．若下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．设函数，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称 11．已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．a，b，c的大小关系是： C．函数在区间上单调递减 D．关于x的不等式解集为 三、填空题 12．函数的定义域为______． 13．设、为正数，且，则的最大值为______． 14．若函数在上的严格增函数，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 16．已知，且为第二象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 17．已知是定义在上的奇函数，当时，，且. (1)求的值及； (2)求在上的解析式. 18．已知，，，求： (1) (2) (3) 19．已知定义在上的函数对任意恒有，当时，． (1)求，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上莆田二十四中期末考 参考答案 一、单选题 1．A 【分析】由命题的否定的概念选择即可. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“，”. 故选：A． 2．B 【分析】根据绝对值不等式、一元二次不等式的解法，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由题意的解集为， 的解集为，则， 故“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 3．C 【分析】根据集合相等求出的值，最后还要注意检验. 【详解】由题可知，故，解得或. 当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确. 经检验可知符合题意. 故选：C. 4．C 【分析】根据相同函数的定义，以及定义域的求法即可求解. 【详解】解：对A：函数的定义域为，由，得，所以函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，不是相同函数，故选项A错误； 对B：因为的定义域为，的定义域为R，但是两个函数的对应法则相同，不是相同函数，故选项B错误； 对C：因为，，两个函数的定义域和对应法则相同，所以是相同函数，故选项C正确. 对D：函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，不是相同函数，故选项D错误； 故选：C. 5．C 【分析】根据指数函数和对数函数的性质比较大小即可 【详解】因为在上为减函数，且， 所以，即， 因为在上为增函数，且， 所以，即， 因为在上为减函数，且， 所以，即， 所以， 故选：C 6．B 【分析】根据时，函数值的正负可排除A；根据函数的奇偶性可排除C；根据函数的定义域可排除D. 【详解】由图可知：的定义域为，图象关于轴对称，则为偶函数． 对于A，当时，， 此时，与图不符，故A错误； 对于C，的定义域为， ， 则不是偶函数，故C错误； 对于D，在有意义，故D错误， 故选：B． 7．A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 8．C 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨设，由可得， 所以，函数在上为减函数， 函数在上为减函数，则，解得； 函数在上为减函数，则； 且有，即， 所以有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．BD 【分析】根据向量的基本性质，包括向量的大小比较、向量相等、向量平行等概念进行判断 【详解】对于A，已知，这里比较的是向量和的模长，而不能得出的结论，故错误； 对于B，若，根据向量相等的定义，这意味着它们大小相等且方向相同；所以一定满足，故正确； 对于C，当时，零向量与任意向量平行；即使且，此时与的方向可以是任意的，不一定满足，故错误； 对于D，若，则与大小相等且方向相同；又因为，则与大小相等且方向相同；根据等量代换的原理，可得与大小相等且方向相同，所以，故正确； 故选：BD 10．AC 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，不是函数的最值， 因此的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，由，得，当，即时，，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 11．ACD 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称， 则函数的图象关于直线对称，即，A正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 因为， 而，且函数在上单调递增，所以， 即，所以B错误； 由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减， 故可化为，即， 即，解得，即的解集为，D正确， 故选：ACD 三、填空题 12． 【分析】根据函数的解析式求出使函数有意义的自变量的取值范围． 【详解】函数， 所以，解得 故答案为． 13． 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ， ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 14． 【详解】当时，满足在上严格单调增； 当时，，函数的开口向上，对称轴为，要想满足题目要求，只需，解得； 当时，，函数的开口向下，对称轴为，显然不存在满足题目要求的； 综上所述，的取值范围是 故答案为． 四、解答题 15．(1)； (2). 【分析】（1）应用集合的并运算求集合即可； （2）由包含关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，而，则； （2）由，则，可得. 16．(1)，； (2). 【分析】（1）根据为第二象限角，运用同角三角函数的基本关系直接计算可得； （2）利用诱导公式化简，然后代入函数值计算即可. 【详解】（1）因为，且为第二象限角， 所以， （2）原式. 17．(1)， (2) 【分析】（1）代入解析式求出的值，即可得到解析式，再求出，最后根据奇函数的性质计算可得； （2）根据奇函数的性质求出当时的解析式，再由，即可得解. 【详解】（1）因为当时，，且， 所以，解得，所以， 则， 又是定义在上的奇函数，所以； （2）因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以， 令，则，所以， 又为奇函数，所以，则； 综上可得. 18．（1）-1 （2）3 （3） 【详解】（1）已知，，， 所以 （2） （3） 19．(1)，为奇函数，理由见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得的值，令，代入条件，根据奇函数的定义，即可得证. （2）根据单调性的定义，结合条件及的奇偶性，化简整理，即可得证. （3）由（2）可得对任意的恒成立，法一：根据对数的运算性质及对数函数的单调性，可得对任意的恒成立，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案；法二：整理可得对任意的恒成立，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）令，则，解得； 为奇函数，理由如下： 定义域为关于原点对称， 令得，即， 所以为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 任取且，则， 因为当时，， 所以， 又，即， 所以在上单调递增. （3）法一：由（2）得在上单调递增， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为在上单调递增， 所以，即对任意的恒成立， 令则， 令， 则， 解得，所以的取值范围. 法二：由（2）得在上单调递增， 则对任意的恒成立， 则， 即对任意的恒成立， 则有， 令，则，所以有， 因为在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，最大值为， 所以有，则，所以的取值范围 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $