23.2一次函数的图象和性质教学设计（共3课时） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图象和性质 第2课时   一、教材分析 《一次函数的图象和性质》是人教版八年级下册“一次函数”章节的核心内容，承接正比例函数的图象与性质，是函数知识体系的关键拓展，也是后续学习二次函数、反比例函数及高中解析几何的重要基础，具有承上启下的核心地位. 从教学逻辑链条来看，教材以正比例函数y=－3x与一次函数y=－3x＋1为对比起点，通过“列表——描点——连线”绘制图象，引导学生观察发现“图象均为直线、倾斜程度相同、仅位置不同”的特征；再通过探究活动，归纳出一次函数y=kx+b的图象可由y=kx+b平移 |b|个单位得到的规律；随后通过多组不同k、b值的函数图象，探究k的正负对图象升降趋势的影响，归纳出一次函数的增减性；最后通过例题与练习，巩固图象画法、平移规律及增减性的应用，形成“对比观察——平移探究——性质归纳——应用巩固”的完整逻辑闭环，层层递进，符合学生的认知规律.   二、学情分析 已有基础：已掌握正比例函数的图象与性质，能熟练用“两点法”画正比例函数图象；理解一次函数的定义，知道y=kx+b(k≠0)的形式；具备初步的观察、对比、归纳能力，对“数形结合”思想有一定感知. 存在困难：一是难以理解一次函数与正比例函数的平移关系，对b的几何意义(与y轴交点)理解模糊；二是容易混淆k、b的符号对图象位置、增减性的综合影响，如“k>0时y随x增大而增大，但图象经过的象限还需结合判断”；三是抽象概括能力不足，从多组不同函数图象归纳出一般性质时，容易遗漏关键特征；四是综合应用时，难以将平移规律、增减性与函数值变化、参数求解结合起来. 认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对直观的图象感知强于抽象的代数推理，适合通过对比观察、动手画图的方式探究性质，教学中需多提供具象素材，搭建“数——形”转化的桥梁，帮助学生突破认知难点.   三、教学目标 1.能正确画出一次函数的图象，掌握一次函数的图象性质，会用“两点法”画一次函数图象. 2.能利用一次函数的图象与性质解决函数值变化、图象平移、参数求解等综合问题，理解“数形结合”思想在一次函数学习中的深层应用. 3.经历“对比观察——平移探究——归纳性质——应用验证”的探究过程，提升观察、对比、抽象概括的能力. 4.在探究活动中感受一次函数图象的平移美与规律美，体会数学的逻辑性与简洁性，培养严谨的科学态度和合作探究的意识.   四、教学重难点 重点：能正确画出一次函数的图象，掌握一次函数的图象性质，会用“两点法”画一次函数图象； 难点：能利用一次函数的图象与性质解决函数值变化、图象平移、参数求解等综合问题，理解“数形结合”思想在一次函数学习中的深层应用.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：什么是一次函数？ 答：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量. 问题2：什么是正比例函数？从解析式上看，正比例函数与一次函数有什么关系? 答：形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数. 当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 问题3：正比例函数有哪些性质? 答：k>0，图象过一、三象限，y随x的增大而增大； k<0，图象过二、四象限，y随x的增大而减小. 思考：正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？ 从函数解析式上看，一次函数 y＝kx＋b 与正比例函数 y＝kx只差一个常数 b，体现在图象上，又会有怎样的关系呢？ 师生活动：教师通过提问串引导学生回顾一次函数、正比例函数的定义及性质；学生自主作答、抢答交流，师生对比分析两者解析式差异，引发“常数b对图象影响”的深度思考. 设计意图：以旧知回顾搭建知识衔接桥梁，帮助学生梳理概念、性质，通过对比和思考自然过渡到一次函数图象的探究，激活认知，为后续学习铺垫. · 探究新知 活动：探究一次函数的图象与性质 问题4：画出函数y=－3x与y=－3x＋1的图象. 师生活动：教师引导学生用列表、描点、连线法画出y=－3x与y=－3x＋1的图象，组织学生对比图象异同；师生共同归纳一次函数图象的平移规律，总结与坐标轴交点坐标公式，明确两点法画图原理. 解：函数y=－3x与y=－3x+1中的自变量x可为任意实数. ①列表： ②描点：描出表中列出的几组对应点； ③连线：将这些点连接起来，画出函数y=－3x与y=－3x＋1的图象，如图所示： 问题5：比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，回答下列问题： 这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 .函数y=-3x的图象经过原点，函数y=－3x＋1的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=－3x向 平移 个单位长度得到. 答：一条直线；相同；(0，1)；上；1 问题6：比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗? 解：任取x值时，函数y=-3x+1的值总等于函数y=-3x的值加1(即对应的纵坐标+1); 所以这两个函数的图象有上述关系是因为k相同，b不同. 问题7：一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象是什么形状？它与直线y=kx(k≠0)有什么关系？ 答：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线 y＝kx 平移 |b|个单位长度得到(当 b＞0 时，向上平移；当 b＜0 时，向下平移)． 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b． 总结：由一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的解析式可以得到，一次函数的图象与 x 轴的交点为( ，0)，与 y 轴的交点为(0，b)． 由于一次函数的图象是一条直线，因此只要确定两个点就能画出它的图象． 设计意图：通过动手画图与对比观察，让学生直观感知一次函数图象的形状与平移规律，建立“数”与“形”的联系，为后续探究性质奠定基础，落实数形结合思想. 问题8：画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象. 师生活动：教师引导学生用“两点法”画出两个一次函数图象，再追问平移画法；学生回顾正比例函数图象平移规律，通过对比y=2x 与y=2x－1、y=－0.5x与y=－0.5x+1的关系，总结“上加下减”的平移口诀. · 列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值. · 描点、连线 追问：还有什么方法可以画这两个函数图象? 答：先画直线： y=2x 与 y=－0.5x ↓向下平移1个单位 ↓向上平移1个单位 y=2x－1 y=－0.5x+1 → 总结：直线的上下平移可以简记为“上加下减” 设计意图：通过两种画图方法的对比，帮助学生巩固两点法，深化对一次函数与正比例函数图象平移关系的理解，用“上加下减”口诀简化记忆，为后续学习打下基础. 问题9：画出函数y=x+1，y=－x+1，y=2x+1，y=－2x+1的图象. 师生活动：教师引导学生列表、描点、连线绘制四个一次函数图象，组织学生观察图象升降规律，讨论k、b对图象的影响，师生共同归纳k的正负与增减性、b的正负与y轴交点的关系，完成表格总结. · 列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值. · 描点、连线 问题10：观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律. y=x+1和y=2x+1的图象从左向右上升； y=－x+1和y=－2x+1的图象从左向右下降. 问题11：由此联想：一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负性对函数图象有什么影响？ · 当k＞0时，直线y=kx+b从左至右上升，即y随x的增大而增大； · 当k＜0时，直线y=kx+b从左至右下降，即y随x的增大而减小. 问题12：由此，你能总结出一次函数的性质吗？ 一般地，一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质：当k>0时，y随x的增大而增大； 当k<0时，y随x的增大而减小. 注意：在直线y＝kx＋b(k ≠ 0) 中，k 决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越靠近y轴，即越陡；|k|越小，直线越靠近x 轴，即越缓. 问题13：b对函数图像有什么影响呢？ b决定图象与y轴交点的位置： · 当b＞0时，与y轴正半轴相交； · 当b＝0时，图象经过原点； · 当b＜0时，与y轴负半轴相交. 总结： 设计意图：通过动手画图、对比观察，让学生自主发现k、b对一次函数图象的影响，深化对增减性、象限分布的理解，形成系统的知识体系，落实数形结合与归纳思想. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道典型例题，引导学生分析题意，梳理“k、b的符号与图象特征”的对应关系；学生独立解题后交流思路，教师板书规范步骤，强调分类讨论与不等式组求解的关键. 例1 已知直线y＝(1－3k)x＋2k－1. (1)k为何值时，直线与y轴交点的纵坐标是－2？ (2)k为何值时，直线经过第二、三、四象限？ 分析：(1)直线与y轴交点的纵坐标即x=0时的y值，令2k－1=－2，解方程求k; (2)直线过二、三、四象限，需k<0且b<0，列不等式组求解. 解：(1)当x＝0时，y＝－2，即当2k－1＝－2，k＝时， 直线与y轴交点的纵坐标是－2. (2)当即当＜k＜时，直线经过第二、三、四象限． 例2 已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． 求的值； 当时，求的取值范围． 解：(1)因为一次函数y＝(3-m)x+2m-9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，  所以  解得3＜m＜4.5．  又因为m为整数，所以m＝4．  (2)由(1)知m＝4，  则该一次函数的解析式为y＝-x-1．  当x＝-1时，y＝0；  当x＝2时，y＝-3．  又因为y随x的增大而减小，  所以当-1≤x≤2时，y的取值范围是-3≤y≤0．  设计意图：通过例题巩固一次函数的核心性质，强化“数(k、b的符号)——形(图象特征)”的双向联系，训练学生利用函数性质解决参数求解、范围分析的综合能力，落实数形结合思想. · 课堂练习 【教材练习】 1.直线y=2x－3与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ，经过 象限，y随x的增大而 . 解：(1.5，0)；(0，－3)；第一、第三、第四；增大 2.分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系. (1)y=x 1 ， y=x ， y=x+1； (2)y=x 1 ， y=x1 ， y=2x1. 解：(1) 关系：y=x 1和y=x+1分别是y=x的图象向下和向上平移1个单位得到.三个函数的图象从左往右均上升，且互相平行. (2) 关系：三个函数的图象从左往右均下降，且图象与y轴的交点均为(0，1) 3.已知一次函数y=4x+7，当x>2时，利用函数的性质，求函数值y的取值范围. 解：当x=2时，y=4×2+7=15 ∵4>0 ∴y随x的增大而增大 ∴当x>2时，y>15. 师生活动：教师布置教材基础练习，学生独立完成；教师巡视纠错，选取典型作图展示，引导学生对比分析函数图象的平移与平行关系，规范增减性应用的答题步骤. 设计意图：通过分层练习巩固一次函数的图象画法、平移规律与增减性应用，强化“k定升降、b定截距”的核心认知，帮助学生形成规范的解题思路，落实课堂目标. 【限时训练】 1.已知点在第四象限，则直线图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：点在第四象限， ，， ， 直线图象经过第二、三、四象限， 故选：． 2.对于一次函数，下列说法错误的是(    ) A. 随的增大而减小 B. 图象与轴的交点坐标为 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点 【答案】D  【解析】在中，，， 随的增大而减小，且函数图象经过第一、二、四象限，故选项A，说法正确 对于，当时，， 函数图象与轴的交点坐标为，故选项B说法正确 对于，当时，， 函数图象经过点，不经过点，故选项D说法不正确故选D． 3.一次函数的图象与轴的交点坐标为，且，，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：一次函数的图象与轴的交点坐标为且， ，，  ， ， 即， 故选：． 4.若一次函数，当的值减少时，的值就减少，则当的值增加时，的值就(    ) A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少 【答案】A  【解析】当的值减少时，的值就减少， ， 又， ，即， 当的值增加时，， 当的值增加时，的值增加故选A． 5.如图所示，直线分别交轴、轴于点，，直线分别交轴、轴于点，，两直线交于点． 求直线与坐标轴围成的的面积． 求点的坐标和的面积． 【答案】(1)解：在y=x+3中，当y=0时，x+3=0，解得x=-3；当x=0时，y=. A(-3,0)，B(0,3). OA=OB=. =OAOB=33=.  (2)把点P(1,a)代入y=x+3，得a=1+3=.P(1,4). 在y=-2x+6中，当y=0时，0=-2x+6，解得x=. C(3,0).=CA=(3+3)4=.  师生活动：教师出示分层练习题，学生独立完成后小组交流；教师针对易错点(如参数范围、增减性应用、图象与坐标关系)进行讲评，引导学生梳理解题思路，规范答题步骤. 设计意图：通过基础到综合的分层练习，全面巩固一次函数的定义、图象与性质；帮助学生辨析易错点，提升综合应用能力，落实知识内化，达成课堂教学目标. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.一次函数图象的形状是什么？ 3.如何画一次函数？ 4.一次函数的性质是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：跨学科物理实验——探究弹簧的长度 1.准备：弹簧、橡皮筋、砝码、 硬币、尺子 2.步骤： 测原长（不挂物体） 挂不同重量，测长度，记录 5 组数据 以重量 x 为横轴，长度 y 为纵轴描点 3.要求： 判断是否为一次函数 求解析式y=kx+b 解释：k是什么？b是什么？ 预测：挂 30g 会多长？ 4.提交物：实验记录表 + 手绘坐标系图像 + 函数推导 + 实验结论 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图象和性质 第3课时   一、教材分析 本节课选自人教版初中数学“一次函数”章节，是在学生学习了一次函数的概念、图象和性质后的核心内容.在整个教材体系中，它上承二元一次方程组的解法，下启后续反比例函数、二次函数解析式的求法，是“待定系数法”这一核心数学思想的首次系统应用，具有承上启下的关键地位. 教材的教学逻辑链条清晰且层层递进：首先，通过“已知两点求一次函数解析式”的例题，引入待定系数法的定义与步骤，让学生初步建立“设——代——解——写”的解题流程；其次，通过分段函数的实际应用例题，将待定系数法与实际问题结合，拓展学生对函数定义域、分段解析式的理解；最后，通过课后练习，巩固两点式求解析式的方法，并渗透数形结合思想.教材的编排从纯代数计算到实际情境应用，从单一解析式到分段函数，符合学生由浅入深的认知规律，既落实了基础知识，也为后续函数学习搭建了通用方法框架.   二、学情分析 已有基础：学生已经掌握一次函数的定义、图象与性质，知道一次函数的图象是一条直线，也熟练掌握了二元一次方程组的解法，具备了列方程求解的代数基础. 同时，学生在之前的学习中已经接触过简单的“求未知系数”的问题，对“用方程确定未知参数”的思想有初步感知. 存在困难：一是容易混淆“两点坐标代入解析式”的步骤，出现列方程组错误、计算失误的问题；二是对“待定系数法”的本质理解不深，容易机械套用步骤，无法理解“为什么两个点就能确定一条直线”的几何意义；三是面对分段函数的实际问题时，难以准确划分自变量的取值范围，无法将实际情境转化为函数模型. 认知特点：初中阶段的学生以具象思维为主，抽象逻辑思维正处于发展阶段，对纯代数的抽象方法理解需要借助具体例题和几何图象的支撑. 同时，学生对与生活相关的实际问题(如行程问题)兴趣较高，容易在情境化问题中建立数学模型，但也容易被复杂情境干扰，忽略核心的待定系数法步骤.   三、教学目标 1.掌握用待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据两点坐标正确列出并求解二元一次方程组写出一次函数的解析式. 2.理解待定系数法的本质，能结合函数图象与实际情境，确定分段函数的解析式及自变量的取值范围. 3.经历“设解析式——列方程组——求解系数——写出解析式”的探究过程，体会待定系数法、数形结合的数学思想，提升建模能力与运算求解能力. 4.通过解决实际情境中的函数问题，感受数学与生活的联系，激发对数学的好奇心与探究欲，培养严谨的运算习惯与合作探究意识.   四、教学重难点 重点：掌握用待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据两点坐标正确列出并求解二元一次方程组写出一次函数的解析式； 难点：理解待定系数法的本质，能结合函数图象与实际情境，确定分段函数的解析式及自变量的取值范围.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：一次函数的图象是什么?如何画出它们的图象? 答：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b. 画法：①平移：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线 y＝kx 平移 |b|个单位长度得到(当 b＞0 时，向上平移；当 b＜0 时，向下平移)． ②两点法：两点确定一条直线. 思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗? 师生活动：教师提问引导学生回顾一次函数图象特征与画法，学生抢答补充平移、两点法要点，师生共同梳理核心知识，自然过渡到“由点求解析式”的思考问题. 设计意图：通过复习旧知唤醒已有经验，搭建知识桥梁，既巩固一次函数图象的基础认知，又为待定系数法的学习做好铺垫，激发学生探究新知的兴趣. · 探究新知 活动：探究用待定系数法求一次函数的解析式 问题2：已知一次函数的图象过点(2，－4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式. 师生活动：教师引导学生讨论问题，通过例题示范待定系数法的“设、代、解、写”四步，学生梳理步骤，师生共同总结数与形的双向转化关系. 讨论以下问题：(1)一次函数里有几个未知的常数? (2)要确定两个未知数，我们一般需要几个条件? (3)图象上的点，和函数解析式有什么关系? 答：(1)k和b两个 (2)两个条件，列两个方程 (3)点在函数图象上 ⇄点的坐标满足函数解析式 分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值.从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b. 因为图象过(2，-4)与(-3，11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 因为y＝kx＋b的图象过点(2，－4)与(－3，11)， 所以 解方程组，得 因此，这个一次函数的解析式为y＝－3x+2. 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 特别解读：①在正比例函数y＝kx中，只有一个待定系数k，只需要一个除(0，0) 外的条件即可求出k的值； ②在一次函数y＝kx＋b 中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 总结：用待定系数法求一次函数解析式的步骤： (1)设：设一次函数的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)； (2)代：将已知的 x，y 的对应值（至少两组）代入所设的解析式中，得到关于系数 k，b 的二元一次方程组； (3)解：解方程组求得系数 k，b 的值； (4)写：把 k，b 的值代入所设的解析式，写出解析式． 问题3：函数解析式与一次函数图象之间有什么关系? 答： 通过满足解析式或者图象上的两个定点，可以实现一次函数解析式和一次函数图象之间的转化. 设计意图：通过探究与示范，让学生掌握待定系数法求解析式的步骤，理解数与形的联系，形成完整的解题方法体系，落实数形结合思想. 问题4：一位记者乘坐汽车赴 360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y (单位：km)与时间 x (单位：h)之间的关系如图所示. (1)求汽车行驶的路程 y 关于时间x 的函数解析式； (2)记者出发后多长时间到达采访地？ 师生活动：教师呈现分段函数的实际情境，引导学生分段讨论求解解析式，学生合作探究不同时段的函数表达式，师生共同总结实际问题中确定函数解析式的关键步骤. 分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关.当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；当x＞2时，汽车行驶的速度较慢．因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x＞2两个时段分别讨论. 解：(1)当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分.设函数的解析式为y=k1x.因为它的图象过点A(2，180)，所以180=2k1；解得k1=90. 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x. 当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分.我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式.设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A，B的坐标分别代入y=k2x+b2，得 解这个方程组，得 因此，当x＞2时，函数的解析式为y=60x+60. 综上，当0≤x≤2时，y=90x； 当x＞2时，y=60x+60. (2)由图象可知，当y=360时，x＞2. 由360=60x+60，解得x=5. 因此，记者在出发5h后到达采访地. 追问：由(2)的解答，你能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围吗? 答：0≤x≤5 总结：在实际问题中确定函数解析式的两个关键： (1)根据实际问题确定函数类型（是一次函数还是正比例函数），并设出相应的函数解析式． (2)根据函数解析式中未知系数的个数，在实际问题中获取相等组数的自变量与函数的对应值． 设计意图：通过实际问题，让学生掌握分段函数的求解方法，理解自变量取值范围的实际意义，体会待定系数法在复杂情境中的应用，提升建模与应用能力 · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师引导学生分析例1的两种情况，学生分组讨论并完成解题；例2中师生结合图象信息，分步求解参数、解析式与速度问题，最后共同总结易错点与解题方法. 例1 已知一次函数的图象经过(0，－2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为3，求一次函数的解析式. 分析：题中只知道直线经过点(0，－2)，无法确定直线与x轴的交点是位于y轴的左侧还是右侧，所以有两种情况. 解：设一次函数的图象与x轴的交点为A(x，0)，与y轴的交点为B. 因为S△OAB＝3，所以OA·OB＝3，即|x|·2＝3，解得x＝±3. 所以A(－3，0)或A(3，0). 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k ≠ 0). 把点(－3，0)，(0，－2)的坐标代入解析式，得. 解得所以y＝－ x－2. 把点(3，0)，(0，－2)的坐标代入解析式，得 解得所以y＝x－2. 综上，一次函数的解析式为y＝－x－2或y＝x－2. 总结：用点的横坐标或纵坐标表示线段的长度时，如果不能确定其正负，那么需要用其绝对值来表示. 例2 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶h，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100 km/h．汽车在区间测速路段行驶的路程y(单位：km)与在此路段行驶的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示． (1)a的值为_______； (2)当≤ x ≤ a 时，求y与x之间的函数解析式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h). 分析：由题意得100a＝20，解得a＝． 答：(1) (2)设当≤ x ≤时，y＝kx＋b(k ≠ 0). 由已知得，解得. 因此，y与x之间的函数解析式为y＝90x＋2(≤ x ≤). (3)当x＝时，y＝90×＋2＝9.5， 所以先匀速行驶h 的速度为9.5÷＝114(km/h). 因为114<120，所以该辆汽车减速前没有超速． 设计意图：通过两道典型例题，巩固待定系数法的应用，强化分类讨论与数形结合思想，帮助学生突破易错点，提升综合解题能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.一个一次函数，当自变量x=1时，函数值y=5；当x=-1时，函数值y=1.求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数解析式为y＝kx＋b.根据题意得 解这个方程组，得 所以这个一次函数解析式为y＝x+3. 2.一个一次函数的图象经过点(9，0)和点(24，20)，求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数解析式为y＝kx＋b. ∵y＝kx＋b的图象过点(9，0)和(24，20) ∴ 解这个方程组，得 所以这个一次函数解析式为y＝x－12. 3.一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票，他所托运的行李的费用 y (单位：元)与行李的质量 x (单位：kg)的关系如图所示.这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克? 解：设这个一次函数解析式为y＝kx＋b. ∵y＝kx＋b的图象过点(25，90)和(30，180) ∴ ，解这个方程组，得 ∴这个一次函数解析式为y＝x－360. ∵免费托运即y=0，得18x-360=0，解得x=20. ∴这位旅客可免费托运的行李的最大质量是20千克. 师生活动：学生独立完成三道教材练习，教师巡视指导，核对答案后，引导学生分享解题思路，梳理待定系数法的应用步骤，针对易错点进行集体纠错与点拨. 设计意图：通过梯度练习，巩固待定系数法的基本应用，提升学生从文字、图象中提取信息并建立函数模型的能力，落实本节课的核心知识与方法. 【限时训练】 1.若一次函数的图象与轴的交点坐标是，且当时，，则这个函数的解析式是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于点，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】将点的坐标代入，得， 一次函数的解析式为． 当时，． 点的坐标为． 当时，， 解得， 点的坐标为． 的面积为． 3.若一次函数的自变量取值增加，函数值就相应减少，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设自变量为，当时，，当时，， ， ， ， ． 故选C． 4.如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． 直线所对应的函数解析式为            设直线与直线相交于点，求的面积． 【答案】(1)y=-x+4  (2)联立直线OC及直线AB所对应的函数解析式为方程组,得:解得: 点C的坐标为(,), =OA=5=. 5.“网络直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件元，并且每件的售价不低于进货价经过初期试销售调查发现：每周的销售量单位：件与每件的售价单位：元之间满足如图所示的函数关系． 求每周的销售量单位：件与每件的售价单位：元之间的函数关系式不必写出自变量的取值范围 物价部门规定，该防护品每件的利润不得高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到元，那么每件的售价应定为多少元 【答案】(1)解：由图象可知每周的销售量y与每件的售价x之间为一次函数关系， 设其函数关系式为y=kx+b(k0), 将(30，300)，(40，200)的坐标代入 得解得 每周的销售量y与每件的售价x之间的函数关系式为y=-10x+600.  (2)根据题意得(-10x+600)(x-20)=3360, 整理，得-80x+1536=0, 解得=32，=48. 该防护品每件的利润不得高于进货价的70%, x20(1+70%)，即x34. x=48不合题意，舍去.x=32. 当这种防护品每件的售价定为32元时,该带货主播销售这种防护品每周的总利润可达到3360元. 师生活动：学生独立完成5道分层练习，教师巡查并收集典型错误，之后师生共同核对答案，重点讲解易错题的解题思路与规范步骤. 设计意图：通过梯度练习，巩固待定系数法的核心应用，强化学生对函数与几何、实际问题结合题型的解题能力，同时排查知识漏洞，提升解题规范性与综合应用能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.待定系数法的定义是什么？ 3.利用待定系数法求一次函数的步骤是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：“待定系数法的生活应用——设计一次函数情境题” 任务： 1.结合生活实际(如行程、购物、收费问题)，设计一道需要用待定系数法求一次函数解析式的题目，题目需包含完整的情境描述、关键数据(如两个点的坐标或对应关系). 2.写出完整的解题过程，标注出“设、代、解、写”四个步骤，并说明每一步的依据. 3.画出该一次函数的图象，标注关键点的坐标，说明图象的实际意义. 要求：1.情境真实合理，数据科学，题目可解； 2.解题步骤规范，能体现待定系数法的完整流程； 3.图象清晰，标注完整，能将代数解析式与几何图象对应起来； 4.字数控制在250字以内，可搭配简单手绘图象. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图象和性质 第1课时   一、教材分析 《正比例函数的图象和性质》是人教版八年级下册“一次函数”章节的核心内容，既是对函数概念的具象化延伸，也是后续学习一次函数、反比例函数的基础，具有承上启下的关键地位. 从教学逻辑链条来看，教材以“运动变化现象”为引入，体现了函数建模的思想；接着从特殊的一次函数——正比例函数切入，通过“列表——描点——连线”的通用步骤，先引导学生绘制y=2x，y= 和y=－1.5x，y=－4x的图象，让学生直观感知图象的形状与位置；再通过对比图象的升降、经过的象限，归纳出k的符号与函数增减性、图象位置的对应关系；最后通过“思考”环节，引出“两点法画正比例函数图象”的简化方法，形成“画图象——观特征——探性质——用性质”的完整逻辑闭环，层层递进，符合学生的认知规律.   二、学情分析 已有基础：学生已掌握平面直角坐标系的概念，能根据坐标描点、连线；理解正比例函数的定义，知道y=kx(k≠0)的形式;具备初步的观察、归纳能力，能从具体实例中提炼共性特征. 存在困难：一是难以将“数”(k的符号)与“形”(图象的位置、增减性)建立双向联系，对“k>0时y随x增大而增大”的本质理解停留在表面；二是容易混淆k的正负与图象经过的象限，对“两点法”画图象的原理理解不深，仅停留在“找(1,k)和原点”的机械操作；三是抽象概括能力不足，从多个具体函数图象归纳出一般性质时，容易遗漏关键特征. 认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对直观的图象感知强于抽象的代数推理，适合通过动手画图、对比观察的方式探究性质，教学中需多提供具象素材，搭建“数——形”转化的桥梁，帮助学生突破认知难点.   三、教学目标 1.能正确画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象性质(k的符号与图象位置、增减性的关系) 2.能利用正比例函数的性质解决简单的比较大小、判断图象位置的问题，理解“两点法”画正比例函数图象的原理. 3.经历“列表——描点——连线——对比——归纳”的探究过程，体会数形结合的思想，提升观察、归纳、抽象概括的能力. 4.在探究活动中感受函数图象的直观性，体会数学的简洁美与规律性，激发学习函数的兴趣. .   四、教学重难点 重点：能正确画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象性质(k的符号与图象位置、增减性的关系)； 难点: 能利用正比例函数的性质解决简单的比较大小、判断图象位置的问题，理解“两点法”画正比例函数图象的原理.   五、教学过程 · 情境导入 珠穆朗玛峰，这座地球之巅，不仅是无数登山爱好者梦寐以求的征服目标，更是人类挑战极限、勇攀高峰精神的象征. 在攀登珠峰的过程中，有一个有趣的自然规律：海拔每升高1千米，气温就会下降约6°C.如果我们把登高距离设为x千米，气温设为y°C，你能用一个式子来表示y与x的关系吗? 答：y=−6x 除了用公式描述，还有没有更生动、更直观的方法来描绘这种变化规律呢?今天，就让我们拿起画笔，一起走进《正比例函数的图象和性质》，看看这条线是如何描绘出世界的变化的! 师生活动：教师展示珠峰情境，提问气温变化与登高距离的关系；学生列正比例函数y=−6x，再思考“除了公式还有什么直观方法描述规律”，顺势引入课题. 设计意图：以真实情境引出正比例函数，让学生感受数学源于生活；通过问题链激发探究欲，自然衔接“用图象表示函数”的新课内容，渗透数形结合思想. · 探究新知 活动：探究正比例函数图象的性质 问题1：分别画出下列正比例函数的图象： (1)y=2x，y= ； (2)y=－1.5x，y=－4x. 师生活动：教师组织学生分组绘制函数图象，巡视指导作图规范；引导学生对比四组图象的形状、经过的点及升降趋势，归纳共性特征；学生小组讨论并汇报结论，教师补充点拨，提炼正比例函数图象性质. 解：(1)函数 y＝2x 中自变量 x 可为任意实数. ①列表： ②描点： ③连线：将这些点连接起来.由此得到一条经过原点和第三、第一象限的直线. 它就是函数y=2x的图象 用同样的方法，可以得到函数y= 的图象. 它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线. (2)函数y= 1.5x中自变量x可为任意实数. ①列表： ②描点： ③连线：将这些点连接起来.由此得到一条经过原点和第二、第四象限的直线. 它就是函数y=－1.5x的图象. 用同样的方法，可以得到函数y=－4x的图象. 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线. 问题2：观察4个函数图象，你发现了什么特点? 答：以上4个函数的图象都是经过原点的直线. 函数y=2x和y= 的图象经过第三、第一象限，从左向右上升； 函数y=－1.5x和y=－4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降. 设计意图：通过动手画图培养学生的作图能力，对比观察与归纳推理帮助学生感知“数”与“形”的联系，让学生自主总结图象特征与k的关系，落实数形结合思想，提升观察与归纳能力. 问题3：四个函数中，随着 x 的增大，y分别如何变化？ (1)函数 y＝2x 中，随着 x 的增大，y _____； (2)函数 y＝x 中，随着 x 的增大，y _____； (3)函数 y＝－1.5x 中，随着 x 的增大，y _____； (4)函数 y＝－4x 中，随着 x 的增大，y _____． 师生活动：教师引导学生结合图象回答增减性问题，再通过表格梳理k>0与k<0的图象、象限、增减性特征；随后带领学生用代数方法推导增减性原理，学生完成表格并理解推导过程. 答：增大；增大；减小；减小 总结：一般地，正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. 答： 问题4：由正比例函数的解析式，你能说明它的函数值y随自变量x的增大而增大(或减小)的道理吗? 解：当k>0时，若x1>x2，则y1－y2=kx1－kx2=k(x1－x2)>0，即y1>y2，说明y随x的增大而增大； 当k<0时，若x1>x2，则y1－y2=kx1－kx2=k(x1－x2)<0，即y1<y2，说明y随x的增大而减小. 设计意图：通过图象观察与代数推导结合，帮助学生从“形”和“数”两个维度理解正比例函数的增减性，落实数形结合思想，培养归纳与逻辑推理能力. 问题5：正比例函数 y＝2x 和 y＝x 中，随着 x 的增大，y 都增大了，其中哪一个增加得更快？ 师生活动：教师引导学生对比 y＝2x 和 y＝x、 y=－1.5x和y=－4x的增减速率，结合图象分析|k|的影响；学生讨论并归纳规律，教师总结|k||与直线陡峭程度的关系. 分析：函数 y＝2x 中，x 从 0 增加到 1，y 的值增加 2；函数 y＝x 中，x 从 0 增加到 1 ，y 的值增加 . 解：y=2x增加的更快. 问题6：正比例函数 y=－1.5x和y=－4x中，随着 x 的增大，y 都减小了，其中哪一个减小得更快？ 分析：函数y=－1.5x中，x 从 0 增加到 1，y 的值减小 1.5；函数y=－4x中，x 从 0 增加到 1 ，y 的值减小 . 解：y=－4x减小的更快. 总结：正比例函数y＝kx(k ≠ 0)中，|k|越大，直线与x轴正方向所成的锐角越大，直线越陡；随着x值的增大，y的值增加或减小得更快. |k|越小， 直线与x轴正方向所成的锐角越小，直线越缓 ；随着x值的增大，y的值增加或减小得更慢. 设计意图：通过具体数值对比和图象直观感知，让学生探究|k|对函数变化快慢的影响，深化对正比例函数性质的理解，培养从特殊到一般的归纳能力与数形结合意识. 问题7：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗? 师生活动：教师提问画图简便方法，引导学生回顾“两点确定一条直线”，学生讨论得出只需找原点(0,0)和点(1,k)即可画图；师生共同总结两点法步骤及选点技巧，并辨析正比例函数图象特征. 答：因为两点确定一条直线，而正比例函数 y=kx（k≠0）的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象.一般地，这一点可以取点(1，k)这个特殊点. 总结：用两点法画正比例函数图象时，(0，0)这点必选，因为图象过原点，而 (1，k)这点因函数关系式而定，选取时，最好使所选点的横、纵坐标均为整数，这样描点较容易也更准确 . 如果某函数图象是直线且经过原点(坐标轴除外)，那么它对应的函数是正比例函数. 设计意图：以旧知引新知，让学生自主探究画图简便法，掌握两点画直线的核心方法，提升作图效率；同时强化正比例函数图象的直观认知，巩固数形结合思维，完善知识体系. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示例题，引导学生分析k的符号与函数性质的关联；学生独立解题后交流思路，教师板书示范解题步骤，强调待定系数法与增减性的综合应用. 例1 已知正比例函数y＝(2m＋4)x. 求： (1)m 为何值时，函数图象经过第一、第三象限； (2)m 为何值时，y随x的增大而减小； (3)m 为何值时，点(1，3)在该函数的图象上． 分析：对于正比例函数y＝kx(k ≠ 0)，k 的符号、函数图象所经过的象限、函数的增减性这三者，知道任意一个即可推出另外两个. 解：(1)根据题意，得2m＋4 >0，解得m>－2 . 因此，m>－2 时，函数图象经过第一、第三象限. (2)根据题意，得2m＋4 <0，解得m<－2 . 因此， m<－2 时，y 随x 的增大而减小. (3)根据题意，得2m＋4 ＝3，解得m＝－． 因此，m＝－时，点(1，3)在该函数的图象上. 例2 已知关于x的正比例函数y=(3m+1)x. (1)若点A(-2，1)在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在(1)的条件下，当-3≤x≤2时，求y的最小值. 解：(1)∵点A(-2，1)在正比例函数y=(3m+1)x的图象上， ∴(3m+1)×(-2)=1, 解得m=. (2)由(1)知m= ，∴3m+1=3×()+1=. ∴该正比例函数的解析式为y=x. ∵k=<0.∴y随x的增大而减小. ∴当x=2时，y取得最小值，最小值为×2=-1. 设计意图：通过典型例题巩固正比例函数的核心性质，强化“k的符号——图象象限——增减性”的逻辑链，训练学生的代数推理与应用能力，为后续一次函数学习奠基. · 课堂练习 【教材练习】 1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象. (1)y=x ； (2)y=－6x . 解：(1) (2) 2.若点(2，m)和点(－3，n)都在函数y=kx(k<0)的图象上，试比较m，n的大小. 解：因为k<0，所以正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小. 因为2>－3，所以m<n. 师生活动：教师引导学生运用两点法独立绘制y=x与y=－6x的图象，并巡视纠错；针对比较m、n大小的问题，引导学生结合k<0的增减性性质分析，组织学生汇报解题思路，教师点评并规范答题格式. 设计意图：通过实操画图巩固两点法画图技能，利用比较函数值大小的练习，强化学生对正比例函数增减性的灵活运用，实现知识的内化与迁移，提升学生数形结合与逻辑推理能力. 【限时训练】 1.已知正比例函数的图象上有一点，且，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ，异号， ，，或，， 在第四象限或第二象限， 是正比例函数， ， ， 故选：． 2.已知正比例函数的图象与轴所成的锐角为，则的值为          ． 【答案】  3.在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第          象限． 【答案】一  【解析】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而增大， ， 点在第一象限． 故答案为：一． 4.若函数是正比例函数，则该函数的图象经过第______象限． 【答案】二、四  【解析】解：由正比例函数的定义可得，且， 解得， 函数解析式为， ， 该函数的图像经过第二、四象限． 5.已知点在正比例函数的图象上． 求的值； 画出该函数的图象； 若点，，都在该函数的图象上，试比较，，的大小关系． 【答案】解：将代入，得， ； ， ， 当时，． 如图所示， ， 随着的增大反而减小， ， ．  师生活动：教师出示分层练习题，学生独立完成后小组交流；教师针对易错点(如正比例函数定义、增减性应用)进行讲评，引导学生梳理解题思路，规范答题步骤. 设计意图：通过基础到综合的分层练习，全面巩固正比例函数的定义、图象与性质；帮助学生辨析易错点，提升综合应用能力，落实知识内化，达成课堂教学目标. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.正比例函数图象的形状是什么？ 3.如何画正比例函数？ 4.正比例函数的性质是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：函数之美 任务：以“正比例函数的美”为主题，结合美术中的线条、色彩、构图，创作一幅绘画作品. 要求： 作品中需融入至少2个不同的正比例函数图象，可结合线条的倾斜、色彩的渐变，体现k值变化带来的图象差异，同时在作品旁边附上简短文字，说明作品的设计思路、图象对应的函数解析式，以及你眼中“函数的美”. 学科网（北京）股份有限公司 $