压轴题（1+1+1+1）33分练 第四练 立体几何-2026届高考数学三轮冲刺

高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ 2026届高考数学压轴题（1+1+1+1)33分练 第四练立体几何(A组+B组) [特别注意：每组试题第2题为多选题] OA组O (建议用时：30分钟满分：33分) 4 1.某个圆锥容器的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为3“的小球在该容器内自由运动， 则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为() A.20π B.16元 C.12元 D.8π 2.某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体 的表面，且没有剩余)，则() A.该几何体可能是三棱锥 B.该几何体可能是四棱柱 C用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D.用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 3.在三棱锥P-ABC中，直线BC⊥平面PAB,BC=2AB=2,∠APB=60°.设直线PC与平面 PAB所成的角为O,则tan8的最小值为 4.如图，在平行六面体MBCD-A8,CD中，三枝维8-ABC是底面边长为23的正三棱锥， (1)证明：四边形4CC 1是矩形： D (2)已知AB=2V5 B C ()求平面B4C与平面D1C夹角的余弦值， (1)若点A、B、C、D都在球O的表面上，求球O的表面积 高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ OB组◎- (建议用时：30分钟满分：33分) 1.△ABC满足AB=AC=2,∠BAC=30°.设P,Q分别为AB,AC上的点，D为BC的中点， 将△1P9沿P0折起，使点A到达点4的位置，且AD1平面PBC0.若四棱 A'-PBCQ的所有顶 点都在同一球面上，且球心恰好在直线A'D上，则该球的表面积为() 95-1π A. 12元 B.82-V5π C.8v6-9W2π D. 2 2.如图1，梯形ABCD中， AB//CD,AB=2DC=4,BC=2,AB L BC,E,F,G 分别是边 AB,BC,CD AC 的中点，将△1CD △ACM 向上翻折至 ,如图2，则() A.在翻折过程中EG和BC可能平行 D 2W5 /D/... B.M到平面ABC的距离的最大值为5 图1 图2 C.直线B和CM 所成角可能为60 D.若平面ACM⊥平面ABC,则三棱锥M-ABC的外接球的表面积是40π 高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ 3.如图，正方 ABCD-AB,CD的棱长为4，P,2分别为 C D B BB的中点，则三楼锥P-ABD外接球的体积为 ；过点作 D 三楼锥P-ABD外接球的截面，该截面面积的最小值为 B 4.“细长三角板”指的是有一个内角为30的直角三角板，现有两个细长三角板，其较短的直角边长 均为10cm,先按左图所示的方式放置，其中以△PAB,△PCD 示两个细长三角板， PA=PC=10cm∠PBA=∠PDC=30 AB,CD ,直角顶点重合于点P,两条斜边 在一条直线上 AB,CD 保持直角顶点重合，将两条斜边 平行展开，得到如图所示的四棱锥P-ABCD. B ---} AC∩BD=O (1)设 求证：POL平面ABCD, (2)是否存在四棱锥P-ABCD,使得底面ABCD为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在， 请说明理由； (3)求四棱锥P-ABCD体积的最大值，并求此时平面PAB与平面PCD所成二面角的大小. 高考数学压轴题第8、11、14、18题考前冲刺量力而行！ 高考数学压轴题第8、11、14、18题 考前冲刺 量力而行！ 2026届高考数学压轴题（1+1+1+1）33分练 第四练 立体几何 （A组+B组） [特别注意：每组试题第2题为多选题] ------------------------------◎ A组 ◎---------------------------- （建议用时：30分钟 满分：33分） 1.某个圆锥容器的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】设小球的半径为r，所以小球的表面积为，所以， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示，其中分别为切点， 因为小球的半径，， 所以， 又△AFE，△AGD都是等边三角形，所以， 则圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，所以圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为， 其面积为， 综上，圆锥内壁上小球能接触到的总面积为． 2. 某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ） A. 该几何体可能是三棱锥 B. 该几何体可能是四棱柱 C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 【答案】AC 【解析】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板， 像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确； 对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误； 对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面， 要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起， 必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可， 实际上，当时，， 在中，， 则， 则，即可得，即此时即可满足题意，C正确； 对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形， 设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a， 因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱， 则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误. 3. 在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. 4. 如图，在平行六面体中，三棱锥是底面边长为正三棱锥. （1）证明：四边形是矩形； （2）已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）若点、、、都在球的表面上，求球的表面积. 【解析】（1）连接交于点，连接， 在平行六面体中，四边形为平行四边形， 由题意可知是边长为的等边三角形，故四边形为菱形， 所以为的中点，且， 因为三棱锥是底面边长为的正三棱锥，所以，， 所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 在平行六面体中，，所以， 又因为，，故四边形为矩形. （2）（i）因为，，且是边长为的等边三角形， 所以，则， 又因为，所以， 由余弦定理可得， 所以， 因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且在平面内且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，则， ，即点， 设点，则，且， 所以，解得，即点， 因为平面，平面，所以， 所以平面与平面夹角为或其补角， ，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （ii）易知点、、、， 设球心为，由， 解方程组，解得， 所以球的半径为. --------------------------------◎ B组 ◎---------------------------- （建议用时：30分钟 满分：33分） 1. 满足，.设，分别为，上点，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面.若四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且球心恰好在直线上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则，，，四点共圆， 故，，又， 故，所以， 因为平面，又球心恰好在直线上，故为四边形的外接圆圆心，故. 因为，故，， 故，因为平面，故， 设，则， 设球心为，球半径为，则， 故，故. 所以球的表面积为. 2. 如图1，梯形中， 分别是边的中点，将沿向上翻折至，如图2，则（ ） A. 在翻折过程中和可能平行 B. 到平面的距离的最大值为 C. 直线和所成角可能为 D. 若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BD 【解析】如图，作面，以为原点，建立空间直角坐标系， 对于B，由题意得，则， 可得，，，，设， 由中点坐标公式得，， 由折叠性质得，，即，， 由两点间距离公式得， ，， 联立可得，化简得， 得到的轨迹方程为，此时， 由空间坐标的定义得到平面的距离为， 将代入中， 可得，由题意得， 解得，令， 由二次函数性质得对称轴为，则， 则，得到到平面的距离的最大值为，故B正确， 对于A，由题意得，， 若和可能平行，则， 得到，解得，与题意不符，故A错误， 对于C，由题意得，，， 设直线和所成角为，则， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 则，即，可得， 得到直线和所成角不可能为，故C错误， 对于D，由题意得面的法向量为， 且，，设面的法向量为， 可得， 令，解得，，得到， 因为平面平面，所以， 得到，解得，而，则， 而，可取（负根等效），得到， 设三棱锥的球心为，半径为， 三棱锥的外接球的方程为， 将代入方程，可得， 将代入方程，可得， 两式相减可得，解得，此时球心变为， 将代入方程，可得， 而，两式相减可得，解得， 此时球心变为，可得， 将代入方程，可得， 联立方程组，解得，， 由球的表面积公式得外接球的表面积是，故D正确. 3.如图，正方体的棱长为4，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的体积为________；过点作三棱锥外接球的截面，该截面面积的最小值为_______. 【答案】； 【解析】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则， 即，解得， 所以三棱锥外接球的体积为； 由于球心，，则， 要使截面面积最小，则垂直于截面，此时截面圆的半径为， 则截面面积的最小值为. 4. “细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点P，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD. （1）设，求证：PO⊥平面； （2）是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由； （3）求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小. 【解析】（1）证明：由题意知与平行且相等，则四边形为平行四边形，所以O为的中点.又由于，，所以，， 平面，，所以平面. （2）假设存在符合条件的四棱锥，由（1）知，设其高，因为底面是菱形，则， 所以，解得， 此时四棱锥退化为一个平面图形，故不存在符合条件的四棱锥； （3）方法一：过点P作直线，则l平面， 由于，所以，则l平面，所以平面平面， 作，垂足分别为E，F，则, 所以是平面与平面所成二面角或其补角 ，由于PO⊥平面， 平面，故，而O为的中点，则, 设，则， ， 由PO⊥平面，平面，故， 而平面，故平面， 平面，故， 所以 当且仅当时取等号， 故四棱锥体积的最大值为500（）， 此时平面与平面所成二面角为90° 方法二：过点O作平行线的垂线，垂足分别为F，E， 取的中点G，，由以上分析可知， 所以， 以O为原点，所在直线为x，y，z轴建立坐标系， 设，，，， 由勾股定理知， ， 当且仅当时取“＝”，故所求最大值为500； 此时，，，，， ，， 设平面的一个法向量，则，则， 可取； ，， 设平面的一个法向量，则，则， 可得平面的一个法向量， 故，所以所求二面角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $